2023-2024学年福建省莆田市城厢区砺成中学九年级（下）月考数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年福建省莆田市城厢区砺成中学九年级（下）月考数学试卷（含答案），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.−2的倒数是( )
A. 2B. −2C. 0D. −12
2.据初步统计，2016年高青县实现地区生产总值(GDP)约为205.48亿元．其中205.48亿元用科学记数法表示为( )
A. 205.48×107元B. 20.548×109元C. 2.0548×1010元D. 2.0548×1011元
3.下列运算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. (3a)3=9a3C. a3−2a3=−1D. (a2)3=a6
4.不等式x+1≤3的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，DC=13AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
6.若两个相似三角形的周长比为1：3，则它们的面积比为( )
A. 1：2B. 1：3C. 1：6D. 1：9
7.将一副直角三角尺按如图位置摆放在同一平面内，使两个直角三角尺的斜边AB/​/DF，含30°角的直角三角尺的直角顶点E在含45°角的直角三角尺的斜边AB上，且点F在CB的延长线上，已知∠A=45°，则∠1的度数是( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°
8.《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位.在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”设绳索的长为x尺，下列方程正确的是( )
A. 102+x2=(x+5)2B. 102+(x−4)2=x2
C. 102+x2=(x−4)2D. 102+(x−1)2=x2
9.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且∠OAC=30°，OD绕着点O顺时针旋转，连结CD交直线AB于点E，当DE=OD时，∠OCE的大小不可能为( )
A. 20°
B. 40°
C. 70°
D. 80°
10.已知抛物线y=ax2+bx+4(a,b是常数，a≠0)，过点A(−3m,0)，B(m,0)，C(n,4)，若−4A. −22D. m<−2
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.已知正比例函数y=kx(k≠0)，且y随x的增大而增大，请写出符合上述条件的k的一个值：______．
12.正六边形的每个内角等于______°.
13.已知关于x的不等式(a+2)x<1的解集为x>1a+2，则a的取值范围为______．
14.二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则方程a(x+3)2+b(x+3)+c=2的根是______．
15.如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则sin(α+β)=______．
16.直线y=k1x(k1>0)与双曲线y=k2x交于点A和点C，点B在x轴的正半轴上，作点B关于AC的对称点D，现有结论：①BD一定垂直平分AC；②S△ABC=S△ADC=12AO⋅BD；③B、C、D三点可能共线；④四边形OBCD不可能是正方形，其中正确的有______(写出所有正确结论的序号)．
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
17.先化简，再求值：(1−1a−1)÷a2−4a+4a2−a，其中a=2+ 2．
四、解答题：本题共8小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题9分)
(−1)2020+(π+1)0−4cs30+ 9．
19.(本小题9分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠D=∠CAE．
(1)求证：△ABD∽△ECA；
(2)若AC=6，CE=4，求BD的长度．
20.(本小题9分)
下面是证明等腰三角形判定定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种完成证明．
21.(本小题9分)
嘉嘉和琪琪周末约好参观展览馆，如图是该展览馆出入口示意图.嘉嘉和琪琪分别从两入口进入参观．
(1)参观结束后，嘉嘉从C出口走出的概率是______．
(2)参观结束后，通过画树状图或列表求嘉嘉和琪琪恰好从同一出口走出的概率．
22.(本小题9分)
某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，投资建设了日废水处理为a吨的废水处理车间，对该厂工业化废水进行无害化处理，但随着工厂生产规模扩大，该厂需将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理，已知该车间处理废水，每天需固定成本20元，并且每处理一吨废水还需要其他费用7元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付11元，根据记录，某日该工厂产生废水30吨，共花费废水处理费270元，求该车间的日废水处理量．
23.(本小题9分)
在学习《圆》这章时，我们学习了圆周角定理的推论：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题.在图形旋转的综合问题中经常会出现对角互补的四边形，那么，我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题，例如：
已知：如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，点D是△ABC内一点，连接BD，将线段BD绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，连接CE，DE，AD，并延长AD交直线CE于点F.请解答下列问题：
(1)当点D在如图所示的位置时，
①求∠DFC的度数；
②利用题干中的结论，证明：B，D，F，E四点共圆；
(2)连接FB，点D在△ABC内部运动的过程中，若FD=3，FE=1，直接写出线段FB的长．
24.(本小题11分)
问题提出
(1)如图①，在△ABC中，BC=6，D为BC上一点，AD=4，则△ABC面积的最大值是______．
问题探究
(2)如图②，已知矩形ABCD的周长为12，求矩形ABCD面积的最大值．
问题解决
(3)如图③，△ABC是葛叔叔家的菜地示意图，其中AB=40米，BC=30米，AC=50米，现在他想利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘.已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形ABCD，且满足∠ADC=60°，你认为葛叔叔的想法能否实现？若能，求出这个四边形鱼塘周长的最大值；若不能，请说明理由．
25.(本小题12分)
抛物线y=ax2−3ax−4ac(a<0)与x轴交于点A(−1,0)和点B，与y轴交于点C．

(1)如图1，∠ACB=90°，求出抛物线的解析式；
(2)在(1)的条件下，点D(x1,y1)(x1<0)是抛物线上y=ax2−3ax−4ac的动点，直线DO与抛物线的另一个交点为E；
①若D、E关于点O对称，求D点坐标；
②若点P(0,m)是y轴上一点，直线DP的表达式为y=k1x+b1，直线EP的表达式为y=k2x+b2，当k1+k2的值是一个定值时，求m的值．
参考答案
1.D
2.C
3.D
4.A
5.C
6.D
7.C
8.B
9.C
10.B
11.y=2x(答案不唯一)
12.120
13.a<−2
14.−3或−2
15.2 77
16.②③
17.解：(1−1a−1)÷a2−4a+4a2−a
=a−1−1a−1÷(a−2)2a(a−1)
=a−2a−1⋅a(a−1)(a−2)2
=aa−2，
当a=2+ 2时，原式=2+ 22+ 2−2= 2+1．
18.解：(−1)2020+(π+1)0−4cs30°+ 9
=1+1−4× 32+3
=1+1−2 3+3
=5−2 3．
19.(1)证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠D=∠CAE．
∴△ABD∽△ECA；
(2)解：∵AB=AC，AC=6，
∴AB=AC=6，
∵△ABD∽△ECA，
∴BDCA=ABEC，
∴BD6=64，
∴BD=9．
20.解：方法一：
证明：如图，作∠BAC的平分线交BC于点D．
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
∠B=∠C∠BAD=∠CADAD=AD，
∴△ABD≌△ACD(AAS)，
∴AB=AC；
方法二：
证明：如图，作BC边上高线交BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在△ABD和△ACD中，
∠ADB=∠ADC∠B=∠CAD=AD，
∴△ABD≌△ACD(AAS)，
∴AB=AC．
21.(1)13．
(2)列表如下：
共有9种等可能的结果，其中嘉嘉和琪琪恰好从同一出口走出的结果有3种，
∴嘉嘉和琪琪恰好从同一出口走出的概率为39=13．
22.解：若a≥30，则30吨废水应全部在本厂处理，
∴总费用20+30×7=230≠270，则说明a<30，
由题意，20+7a+11(30−a)=270，
解得：a=20，
∴该车间日废水处理量为20吨．
23.(1)①解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°
∴AB=BC，∠ABD+∠DBC=90°
∵线段BD绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，
∴BD=BE，∠EBC+∠DBC=90°，
∴∠ABD=∠EBC
∵△ABD≌△CBE(SAS)，
∴∠BAD=∠BCE，
∵∠BAD+∠DAC+∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠DAC+∠ACB=90°，
∴∠DFC=90°；
②证明：∵∠DFC=90°，
∴∠DFE=90°，
∴∠DFE+∠DBE=180°，
∴B，D，F，E四点共圆；
(2)解：如图，连接BF，过点D作DH⊥BF于点H，

∵FD=3，FE=1，
∴DE= DF2+EF2= 32+12= 10，
∵BD=BE，∠DBE=90°，
∴∠BED=45°，BD= 22DE= 22× 10= 5，
∵B，D，F，E四点共圆，
∴∠DFB=∠BED=45°，
∵DH⊥BF，
∴△DHF是等腰直角三角形，
∴DH=HF= 22DF=3 22，
∴BH= BD2−DH2= 5−92= 22，
∴BF=BH+HF= 22+3 22=2 2，
24.(1)12．
(2)∵矩形的周长为12，
∴邻边之和为6，设矩形的一边为m，另一边为6−m，
∴S=m(6−m)=−(m−3)2+9，
∵−1<0，
∴m=3时，S有最大值，最大值为9．
(3)葛叔叔的想法能实现，求解如下：
如图③中，
∵AB=40米，BC=30米，AC=50米，
∴AC2=AB2+BC2，
∴∠ABC=90°，
作△AOC，使得∠AOC=120°，OA=OC，以O为圆心，OA长为半径画⊙O，
∵∠ADC=60°，
∴点D在优弧ADC上运动，
当点D是优弧ADC的中点时，四边形ABCD面积取得最大值，
∵AD=CD，
∴△ADC是等边三角形，
∴AD=CD=AC=50，
设D′是优弧ADC上任意一点，连接AD′，CD′，延长CD′到F，使得D′F=D′A，连接AF，则∠AFC=30°=12∠ADC，
∴点F在D为圆心DA为半径的圆上，
∴DF=DA，
∵DF+DC≥CF，
∴DA+DC≥D′A+D′C，
∴DA+DC+AC≥D′A+D′C+AC，
∴此时四边形ADCB的周长最大，最大值=40+30+50+50=170(米)．
即这个四边形鱼塘周长的最大值为170米．
25.解：(1)∵抛物线y=ax2−3ax−4ac，
∴对称轴为直线x=−−3a2a=32，
∵抛物线y=ax2−3ax−4ac(a<0)与x轴交于点A(−1,0)，
∴a+3a−4ac=0，即4a=4ac，
解得：c=1；
∵抛物线y=ax2−3ax−4a与x轴交于点A(−1,0)和点B，且对称轴为直线x=32，
∴B(4,0)，
∴OA=1，OB=4，
∴AB=5，
∵抛物线y=ax2−3ax−4a与y轴交于点C，
∴C(0,−4a)，
∴OC=−4a，
由勾股定理得：AC2=OA2+OC2=1+16a2，BC2=OB2+OC2=16+16a2，
∵∠ACB=90°，
由勾股定理得：AB2=AC2+BC2，
∴(1+16a2)+(16+16a2)=52，
整理得：a2=14，
∵a<0，
∴a=−12，
∴抛物线y=−12x2+32x+2，
(2)①∵点D(x1,y1)、点E是抛物线y=−12x2+32x+2上的点，且D、E关于点O对称，
∴E(−x1,−y1)，
整理得：x12=4，
∵x1<0，
∴x1=−2，
∴y1=−12×(−2)2+32×(−2)+2=−2−3+2=−3，
∴D(−2,−3)；
②设直线DO的解析式为y=ax，
∵D(x1,y1)为直线DO与抛物线的一个交点，
∴ax1=−12x12+32x1+2，
∴a=−12x1+32+2x1，
∴直线DO的解析式为y=(−12x1+32+2x1)x，
联立y=(−12x1+32+2x1)xy=−12x2+32x+2，
解得：x1=x1x2=−4x1，
当x=−4x1时，y=−12x2+32x+2=−8x1−6x1+2，
∴E(−4x1,−8x1−6x1+2)，
将D(x1,y1)、P(0,m)代入直线DP：y=k1x+b1，
∴k1=−12x1+32+2−mx1，
将E(−4x1,−8x1−6x1+2)、P(0,m)代入直线EP：y=k2x+b2，
∴k2⋅(−4x1)+b2=−8x1−6x1+2b2=m，
∴k2=2x1+32−2−m4x1，
∴k1+k2=−12x1+32+2−mx1+2x1+32−2−m4x1=(−12−2−m4)x1+2−m+2x1+3=(m−44)x1+4−mx1+3，
∵k1+k2的值是一个定值，
∴m−4=4−m=0，
∴m=4．
等腰三角形判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么两个角所对的边也相等.已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC
证明：如图，作∠BAC的平分线交BC于点D
证明：如图，作BC边上高线交BC于点D
C
D
E
C
(C,C)
(C,D)
(C,E)
D
(D,C)
(D,D)
(D,E)
E
(E,C)
(E,D)
(E,E)