福建省福州市台江区福州华伦中学九年级上学期12月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省福州市台江区福州华伦中学九年级上学期12月月考数学试题（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（时间：120分钟，满分150分）
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1. “数学”的英文缩写为“”，下列四个字母中，属于中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：D．
2. 下列成语描述的事件是必然事件的是（ ）
A. 守株待兔B. 画饼充饥C. 水中捞月D. 旭日东升
【答案】D
【解析】
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，即可区别各类事件．
【详解】解：A.守株待兔是随机事件，故该选项不符合题意；
B.画饼充饥是不可能事件，故该选项不符合题意；
C.水中捞月是不可能事件，故该选项不符合题意；
D.旭日东升是必然事件，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3. 已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P（ ）
A. 在圆内B. 在圆上C. 在圆外D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内．
根据的半径和点到圆心的距离的大小关系判断即可．
【详解】解：根据题意可得：的半径为，点到圆心的距离为，
，
，
点P在圆内，
故选：A．
4. 已知，相似比为，且的周长为，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形周长比等于相似比，即可求出周长，掌握相似三角形的性质
是解题的关键．
【详解】解：∵，相似比为，
∴的周长的周长，
∵的周长为，
∴的周长，
故选：．
5. 小区一家快递店，星期一收快递件100件，星期三收144件，设该快递店收件平均每天增长率为x，可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查一元二次方程的应用，确定等量关系是解决本题的突破点．平均增长率为x，关系式为：第三天收快递件＝第一天收快递件×（1＋平均增长率），把相关数值代入即可．
【详解】解：由题意得：星期一收快递件100件，星期三收144件，
∴可列方程为：，
故选：A．
6. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据反比例函数性质即可判断．
【详解】解：，
反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限随的增大而减小，
点，都在反比例函数的图象上，，
．
∵，在反比例函数的图象上，
∴，
∴.
故选：B．
7. 如图，是的直径，是弦，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理的推论，掌握直径所对圆周角为直角，同弧所对圆周角相等是解题关键．根据直径所对圆周角为直角即得出，从而可求出，再根据同弧所对圆周角相等即可求解．
【详解】∵是的直径，
∴，
∴．
∵，
∴．
故选B．
8. 已知抛物线y=（m+1）x2+2的顶点是此抛物线的最高点，那么m的取值范围是（ ）
A. m≠0B. m≠﹣1C. m＞﹣1D. m＜﹣1
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：根据二次函数y=（m+1）x2+2的顶点是此抛物线的最高点，得出抛物线开口向下，即m+1＜0，即可得出答案．
解：∵抛物线y=（m+1）x2+2的顶点是此抛物线的最高点，
∴抛物线开口向下，
∴m+1＜0，
∴m＜﹣1，
故选D．
考点：二次函数的性质．
9. 如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B的对应点D恰好落在A边上，、交于点F，若，则的度数是（ ）（用含的代数式表示）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握旋转的性质．由旋转可得：，，推出，由，可得，再根据三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：由旋转可得：，，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
10. 关于x的一元二次方程有一个根是，若二次函数的图象的顶点在第一象限，设，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用
由题意可知二次函数的图象过点，则，而，则，，二次函数的图象的顶点在第一象限，则，，即可求解．
【详解】∵关于的一元二次方程有一个根是，
∴二次函数的图象过点，
∴，
∴，，
则，，
∵二次函数的图象的顶点在第一象限，
∴，，
将，代入上式得：
，即：，
∴或，解得：，
，即：，
∴或
解得：，
故：，
故选：D．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 在一次摸球活动中，进行大量的摸球试验后，发现摸到红球的频率在附近摆动，据此估计摸到红球的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了利用频率估计概率，利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，摸到红球的频率在0.3附近摆动，用频率估计概率即可知道摸到红球的概率．
【详解】解：进行大量的摸球试验后，发现摸到红球的频率在附近摆动，
用频率估计概率可知：摸到红球的概率为．
故答案为：．
12. 抛物线向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线表达式为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，把抛物线向上平移1个单位，再向右平移1个单位，则平移后的抛物线的表达式为．
故答案为：．
13. 在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，轴于点，点在x轴上，若的面积为，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别一条坐标轴作垂线，连接点与原点，与坐标轴围成三角形的面积是．设反比例函数的解析式是：，设A的点的坐标是，则，，．根据三角形的面积公式即可求得的值，即可求得k的值．
【详解】解：设反比例函数的解析式是：，设A的点的坐标是．
则，，．
∵轴，
∴轴，
∴，
∴，即，
∴，
则．
故答案是：．
14. 如图，在中，点在边上，若，，，则的长为______．

【答案】
【解析】
分析】先求出，再证明，得到，代入数值进行计算即可．
【详解】解：，，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
15. 由两个全等的和构成如图①所示的四边形，已知直角三角形的直角边长分别为m、n，斜边长为q，分别以m、、n为二次项系数、一次项系数和常数项构造的一元二次方程，称为勾股方程.如图②，的半径为10，、是位于圆心O异侧的两条平行弦，，，．若关于x的方程是“勾股方程”，连接、，则的度数为______．
【答案】##90度
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定及性质、垂径定理等知识，解题关键是挖掘新定义中最本质的关系：勾股方程满足，利用这个关系即可转化边并证明边相等．
如图，连接，，作于，作的延长线交于，利用勾股定理求出，，再利用全等三角形的判定与性质推导出即可解决问题．
【详解】解：连接，，作于，作的延长线交于，如图：

关于的方程是“勾股方程”，
，，10构成直角三角形，10是斜边，
，
，，，，，
，，
，，
，，即，，
又，
，，
，，
∵，
，
，
，
，
．
故答案为：．
16. 如图，已知，过等腰直角三角形的顶点作，交于点，与交于点，若，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】通过证明，可得，可求的长，由勾股定理可求的长，通过证明，可求的长．
【详解】解：如图，过点作于，
在等腰直角三角形中，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
又，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理等知识，利用相似三角形的性质求出的长是解题的关键．
三、解答题（本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．利用配方法求解即可．
【详解】解：
∴
∴
∴
∴
解得：，
18. 福州市有三坊七巷（），鼓山（），烟台山（），小明和小红打算利用寒假去这三处景点旅游，用列表法或树状图法求小明和小红都选择到同一个景点旅游的概率．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
【详解】解：列表如下：三坊七巷（），鼓山（），烟台山（），
由表知，共有种等可能结果，其中小明和小红都选择到同一个景点旅游的有3种结果，
所以小明和小红都选择到同一个景点旅游的概率为．
19. 如图，半圆的直径是，、是两条切线，切点分别为、，平分．求证：是半圆的切线．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查的是切线的判定，角平分线的性质；过点作，垂足为．由角平分线的性质定理得到，从而可知是半圆的切线；
【详解】证明：如图，过点作于点．
是半圆的切线，
．
平分，
，
是半圆的切线．
20. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：

（1）作出关于坐标原点O成中心对称的；
（2）若将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心坐标为______．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查画中心对称图形，找旋转中心，利用数形结合的思想是解题关键．
（1）找出各顶点关于坐标原点O成中心对称的对应点，再顺次连接即可；
（2）作线段和的垂直平分线，其交点O即为旋转中心，再结合坐标系写出O点坐标即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所作；
【小问2详解】
解：如图，连接，，作线段和的垂直平分线，其交点D即为旋转中心，
∴由图可知旋转中心坐标．
21. 平面直角坐标系中，，，是反比例函数图象上的三点，且．若，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象上点的坐标特征，先根据，得出，再根据，，得出．然后把代入即可得出结论．
详解】证明：∵，
∴，
∴，
∵，是反比例函数图象上的点，
∴，，
∴．
∵，
∴．
22. 网络直播已经成为一种热门的销售方式，某销售商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/，每日销售量与销售单价x（元/）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经调查发现销售单价不低于成本价且不高于30元/．设销售板栗的日获利为w（元）．
（1）求日销售量y与销售单价x之间的函数解析式；（不用写自变量的取值范围）
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？
【答案】（1）
（2）当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为48400元
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数与二次函数的实际应用，理解题意是解本题的关键；
（1）设y与x之间的函数解析式为，把，和，代入即可得到答案；
（2）由每千克利润乘以销售数量建立二次函数的解析式，再利用二次函数的性质解答即可．
【小问1详解】
解：设y与x之间的函数解析式为，
把，和，代入，
得，
解得，
∴日销售量y与销售单价x之间的函数解析式为．
【小问2详解】
解：由题意得：
，
∵，对称轴为直线，
∴当时，w有最大值48400元．
∴当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为48400元．
23. 综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图1所示：
①一张直径为的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为的圆锥形过滤漏斗．
【实践操作】
步骤1：取一张滤纸；
步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中．
【实践探索】
（1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明．
（2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留）
【答案】（1）能，见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了圆锥，解题的关键是：
（1）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长求出圆锥展开图的扇形圆心角，即可判断；
（2）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长，求出滤纸围成圆锥形底面圆的半径，利用勾股定理求出圆锥的高，然后利用圆锥体积公式求解即可．
【小问1详解】
解：能，
理由：设圆锥展开图的扇形圆心角为，
根据题意，得，
解得，
∴将圆形滤纸对折，将其中一层撑开，围成圆锥形，此时滤纸能紧贴此漏斗内壁；
【小问2详解】
解：设滤纸围成圆锥形底面圆的半径为，高为，
根据题意，得，
解得，
∴，
∴圆锥的体积为．
24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
（1）求，的值．
（2）如图2，若点为反比例函数图象上的一个动点，连接，直线与轴交于点，连接．
当时，求的面积；
将沿直线翻折，当点的对应点落到坐标轴上时，求点的坐标．
【答案】（1），
（2）或
【解析】
【分析】（1）将点的坐标代入两个函数的表达式，即可求解；
（2）分情况讨论：当点在点的上方时，证明，得到，求出点，得到，即可求解；当点在点的下方时，同理可解；
分情况讨论：当点在轴上时，由且得：且且，得到点，然后利用待定系数法可求得直线的表达式，进而求得点的坐标；当点在轴上时，由得：，此方程无解，故该种情况不存在；综上，即可得解．
【小问1详解】
解：将点代入一次函数表达式，得：
，
解得：，
即：点，
将点的坐标代入反比例函数表达式，得：
；
【小问2详解】
解：分情况讨论：
当点在点的上方时，
由（1）可知，反比例函数的表达式为：，
如图，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为点、，设交于点，
，
，
，
，
而，则，
将代入，得：，
，
当时，，
，
，
的面积；
当点在点的下方时，
如图，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为点、，
，
，
，
，
而，则，
将代入，得：，
，
将代入，得：，
，
，
的面积；
综上所述，的面积为或；
分情况讨论：
当点在轴上时，
如图，
设，点，
由且得：
且且，
解得：（舍去）或，，，
，，
设直线的表达式为：，
将点，代入直线的表达式，得：
，
解得：，
直线的表达式为：，
令，则，
解得：，
；
当点在轴上时，
设，点，
由得：，
此方程无解，故该种情况不存在；
综上，点的坐标为．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，求一次函数的函数值，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，三角形的面积公式，一元二次方程的解法，解一元一次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
25. 如图①，在钝角ΔABC中，，，点为边中点，点为边中点，将绕点逆时针方向旋转度（）．
（1）如图②，当时，连接、．求证：；
（2）如图③，直线、交于点．在旋转过程中，的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；
（3）将从图①位置绕点逆时针方向旋转，求点的运动路程．
【答案】（1）见解析（2）的大小不发生变化，（3）
【解析】
【分析】(1）如图①利用三角形的中位线定理，推出，可得，在图②中，利用两边成比例夹角相等证明三角形细相似即可．
（2）利用相似三角形的性质证明即可．
（3）点的运动路程，是图③﹣1中的的长的两倍，求出圆心角，半径，利用弧长公式计算即可．
【详解】（1）如图②中，
由图①，∵点为边中点，点为边中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）大小不发生变化，.
理由：如图③中，设交于点．
∵，
∴，
∵，，，
∴.
（3）如图③﹣1中．设中点为，连接，以为边向右作等边，连接，．
以为圆心，为半径作，
∵，，
∴，
∴点在上运动，
以为圆心，为半径作，当直线与相切时，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴的长，
观察图象可知，是的长的两倍.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题
小红
小明
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