福建省福州市台江区福州华伦中学八年级下学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省福州市台江区福州华伦中学八年级下学期月考数学试题（解析版）-A4，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 任意下列两个图形不一定相似的是（ ）
A. 正方形B. 等腰直角三角形C. 矩形D. 等边三角形
【答案】C
【解析】
【分析】相似图形的定义：形状相同的两个图形是相似形；如果各角分别相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形；根据这两个定义即可判断得解．
【详解】解：A、因为任意两个正方形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以A不符合题意
B、因为任意两个等腰直角三角形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以B不符合题意；
C、因为任意两个矩形的对应边不一定成比例，对应角相等，不是相似图形，所以C符合题意；
D、因为任意两个等边三角形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以A不符合题意；
故选C．
【点睛】此题考查了相似图形的概念，熟练掌握相似形与相似多边形的概念是解答此题的关键．
2. 如图，，若，则的长是（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用相似三角形的性质进行计算即可．
【详解】解：，
，即，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
3. 若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比即可解答．
【详解】解：∵两个相似三角形周长的比为，
∴相似三角形的对应边比为，
故选．
【点睛】本题考查了相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
4. 幻灯机是教师常用的教具之一，它能把精致的图片投到银幕上，如图，在与中，下列结论一定正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据投影的性质：投影后的图像与投影前的图像相似，逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
∴，故A错误，
，故B正确，
，故C，D不一定成立，
故选B；
【点睛】本题考查投影的性质：投影后的图像与投影前的图像相似．
5. 在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，作的位似图形，与相似比为，若点A的坐标为，则点的坐标为（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，即可求得答案．
【详解】解：在同一象限内，∵与是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是，A坐标为，
∴则点的坐标为：；
不在同一象限内，∵与是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是，A坐标为，
∴则点的坐标为：，
故选：B．
【点睛】此题考查了位似图形的性质，此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．
6. 如图，，，，则长为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理，构建方程即可解决问题．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理写出比例式是解题的关键．
7. 如图，测量小玻璃管口径的量具，的长为，被分为5等份．若小玻璃管口正好对着量具上2等份处（），那么小玻璃管口径的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意易证，根据相似比即可得出的长度．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴那么小玻璃管口径的长为，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出小玻璃管口径，体现了方程的思想．
8. 如图，已知矩形中，，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在AD上的点处，若四边形与矩形相似，则 )

A. B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】可设AD=x，根据四边形EFDC与矩形ABCD相似，可得比例式，求解即可．
【详解】解：∵沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，
∴四边形ABEF是正方形，
∵AB=2，
设AD=x，则FD=x-2，FE=2，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴，
，
解得x1=1+，x2=1-（负值舍去），
经检验x1=1+是原方程的解．
故选B．
【点睛】考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式．
9. 如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论中不正确的是（ ）
A. B. 垂直平分线段
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题中作图方法易证AP为线段BD的垂直平分线，点E在AP上，所以BE=DE，再根据，，得到是等边三角形，由“三线合一”得AP平分，则，,且30°角所对的直角边等于斜边的一半，故，所以DE垂直平分线段，证明可得即可得到结论．
【详解】由题意可得：，点P在线段BD的垂直平分线上
，点A在线段BD的垂直平分线上
AP为线段BD的垂直平分线
点E在AP上，BE=DE，故A正确；
，，
且
为等边三角形且
，
平分
，
，
垂直平分，故B正确；
，，
，
，
，故C错误；
，
，
，故D正确
故选C．
【点睛】本题考查30°角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握这些基础知识为解题关键．
10. 如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AD与BE相交于点G，若AG：GD＝4：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC的值是（ ）
A. B. 32C. D. 43
【答案】C
【解析】
【分析】
如图，过点D作DF//AC交BE于点F，则△BCE△BDF, △GDF△GAE.再根据相似三角形的性质分别得到EC=DF,AE=4DF.所以AE:EC=.
【详解】解：如图，过点D作DF//AC交BE于点F，
则△BCE△BDF, △GDF△GAE.
∴=,,
∵AG：GD＝4：1，BD：DC＝2：3,
∴EC=DF,AE=4DF.
∴AE:EC=4DF:DF=4：=.
故选C.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，根据题意正确作出辅助线是解题的关键.
二、填空题（每小题4分，共6小题）
11. 两地的实际距离是，在绘制的地图上量得这两地的距离是，那么这幅地图的比例尺为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了比例尺，根据比例尺等于图上距离比上实际距离进行求解即可．
【详解】解：，
，
∴这幅地图的比例尺为，
故答案为：．
12. 如图，在中，点在上（不与点，重合），连接．只需添加一个条件即可证明与相似，这个条件可以_________(写出一个即可) ．

【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定．利用相似三角形的判定方法可求解．
【详解】解：添加的条件为：，
理由如下：，，
，
故答案为：．
13. 如图，与位似，点O为位似中心，位似比为．若的周长为4，则的周长是___________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据周长之比等于位似比计算即可．
【详解】设的周长是x，
∵ 与位似，相似比为，的周长为4，
∴，
解得：，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键．
14. 如图，梯子斜靠在墙上，梯子底端离墙脚的距离，梯子上一点D离墙的距离．若，则梯子的长为_______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据两组对角相等证明，再根据对应边成比例即可求解．
【详解】解：由题意知， ，
又，
，
，
即，
解得，
故答案为：3．
15. 如图，在直角坐标系中，的顶点为．以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，且，
点的坐标为，即，
故答案为：．
16. 如图，在中，点是边CD上一点，，，，且，过边AD上一点作，若，则的长度为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，过点作于点，证明，根据相似三角形的性质得到，结合已知条件可得，进而可得，根据等腰三角形的性质求得，根据勾股定理得到，由，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】如图，过点作于点，
，，
∴，
，
，
解得或（舍去）
，
，
，
，，
，
解得或者（舍去），
，
,，
，
在中，
，
，
，
，
，
又，
，
，
即，
．
故答案为：．
三、解答题（共9小题）
17. 如图，与中，，；证明：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】根据，得出，进而可得出结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
18. 如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．

（1）将向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，画出；
（2）以点O为位似中心，在网格范围内画出与相似比为2的．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）先根据点坐标平移的特点找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可；
（2）先根据位似图形的特点找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求．
小问2详解】
解：如图所示，即为所求．
【点睛】本题主要考查了画位似图形，画平移图形，正确找到对应点的位置是解题的关键．
19. 如图，在Rt中，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动时间为．当与相似时，的值是多少？

【答案】的值是或
【解析】
【分析】分两种情况讨论，由相似三角形的性质，列出等式，即可求解．
【详解】解：当△PBQ∽△ABC时，
，
即，
解得，
经检验：是方程的解，
当△PBQ∽△CBA时，
，
即，
解得，
经检验：是方程的解，
∴的值是或．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
20. 如图，在四边形中，，连接，点E在上，连接，若.

（1）求证：．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）．
【解析】
【分析】（1）利用平行线的性质求得，即可证明；
（2）利用相似三角形的性质求得，再利用三角形的外角性质求解即可.
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
又∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的外角性质及等边对等角等，理解题意，熟练掌握运用各个知识点是解题关键．
21. 如图，已知矩形，点E为BC边上一点．
（1）尺规作图：在CD边上求作一点F，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若，求CF的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）过点E作，交于F即可；
（2）根据相似三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
解：过点E作，交于F，点F就是所求作的点．
【小问2详解】
由（1）知，
∵，
∴，
又∵，
∴，
解得．
【点睛】本题考查了作图−相似变换，矩形的性质，相似三角形的性质等知识，解题的关键是正确作出点F．
22. 如图，是平行四边形的对角线，在AD边上取一点F，连接交于点E，并延长交CD的延长线于点G．
（1）若，求证：．
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件．
（1）依据等量代换得到，依据，可得，进而得出，即；
（2）依据，可得，依据，即可得出，再根据，可得，进而根据解题．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
即；
【小问2详解】
解：∵平行四边形中，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
23. 根据以下素材，探索解决问题．
【答案】任务1：见解析；任务：还需要测出的长，；任务：．
【解析】
【分析】任务，根据两角相等的两个三角形相似可证明；
任务，还需要测出的长，令，证明，得即，从而即可得解；
任务，过作于点，交于点，则四边形与四边形是矩形，进而得，，，证，得即，求解即可得解．
【详解】任务：证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
任务：还需要测出的长，令，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴即，
∴；
任务：过作于点，交于点，则四边形与四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴即，
解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，垂线定义，平行线的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
24. 在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点M为AB边上一个动点，连接DM，过点M作MN⊥DM，且MN＝DM，连接DN．
（1）如图1，连接BD与BN，BD交MN于点E．
①求证：△ABD∽△MND；
②求证：∠CBN＝∠DNM．
（2）如图2，当AM＝4BM时，求证：A，C，N三点在同一条直线上．
【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）①由AB＝6，AD＝4，MN＝DM，证△ABD∽△MND；②由①△ABD∽△MND得∠ABD＝∠DNM，进而得△MBE∽△DNE，推出，再证△DME∽△NBE，进而论证结论；
（2）过点N作NF⊥AB于点F，连接AC，AN，证△ADM∽△FMN，得MF＝6，FN＝，进而求AF＝AM＋MF＝＋6＝，再证△ABC∽△AFN，最后得结论．
【小问1详解】
①证明：∵四边形ABCD是矩形，DM⊥MN
∴∠A＝∠DMN＝90°
∵AB＝6，AD＝4，MN＝DM
∴
∴△ABD∽△MND．
②证明：∵四边形ABCD是矩形，DM⊥MN
∴∠ABC＝∠DMN＝90°
∴∠ABD＋∠CBD＝90°
由①得△ABD∽△MND
∴∠ABD＝∠DNM
又∵∠MEB＝∠DEN
∴△MBE∽△DNE
∴
∴
又∠MED＝∠BEN
∴△DME∽△NBE
∴∠NBE＝∠DME＝90°
∴∠CBN＋∠CBD＝90°
又∠ABD＋∠CBD＝90°，∠ABD＝∠DNM
∴∠CBN＝∠DNM．
小问2详解】
如图②，过点N作NF⊥AB于点F，连接AC，AN
∴∠NFA＝90°
∵四边形ABCD是矩形，AD＝4，AB＝6
∴∠A＝∠ABC＝90°，BC＝AD＝4
∴，∠ADM＋∠AMD＝90°
∵AM＝4BM，AB＝6
∴
又DM⊥MN
∴∠AMD＋∠FMN＝90°
∴∠ADM＝∠FMN
∴△ADM∽△FMN
∴
又MN＝DM
∴
∴MF＝6，FN＝
∴AF＝AM＋MF＝
∴
∴
∵∠ABC＝∠AFN＝90°
∴△ABC∽△AFN
∴∠BAC＝∠FAN
∴A，C，N三点在同一条直线．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及矩形的性质，通过辅助线熟练地运用相似三角形性质和判定解决问题是解决本题的关键．
25. 如图，抛物线经过两点，与x轴交于另一点A，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）如图1，连接，点E在直线上方抛物线上，连接，当面积最大时，求点E坐标；
（3）如图2，连接，在抛物线上是否存在点M，使，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）E的坐标为
（3）存在，或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式．再将其变为顶点式即得出顶点坐标；
（2）由抛物线解析式可求，即．利用待定系数法可求出直线的解析式为．设．过点E作轴于点H，交于点F，则，即得出，，从而得出．再根据三角形面积公式可得出，结合二次函数的性质即可求出点E的坐标；
（3）设．分类讨论：①当在右侧时，设交x轴于G和②当在左侧时，设与x轴交于点N，过B作于P．分别根据相似三角形的判定和性质求出点G和点N的坐标，再利用待定系数法求出直线和的解析式，最后两个直线解析式分别与二次函数解析式联立，再求解即可得出点M的坐标．
【小问1详解】
解：把代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：.
∵，
∴顶点；
【小问2详解】
对于，令，则，
解得：．
∴，
∴．
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为．
∵点E在直线上方的抛物线上，
∴设．
如图，过点E作轴于点H，交于点F，
∴，
∴，，
∴．
∴
．
∵，，
∴当时，面积最大，此时，
∴点E的坐标为；
【小问3详解】
在抛物线上存在点M，使，
理由：设，
分类讨论：①如图，当在右侧时，设交x轴于G，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
设，则，
∴，
解得：，
∴．
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为：，
联立，解得：，，
∴；
②当在左侧时，设与x轴交于点N，过B作于P，如图，
∵，
∴是等腰直角三角形．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为：．
联立，解得：，，
∴．
综上所述，存在点M，其坐标为或．
测量旗杆的高度
素材1
可以利用影子测量旗杆的高度．如右图，光线，，分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子．
说明：小陈同学、旗杆与标杆均垂直于地面，小陈同学的眼睛离地面的距离．
素材2
可以利用镜子测量旗杆的高度．如右图，小陈同学从镜子中刚好可以看见旗杆的顶端，测得．
素材3
可以利用标杆测量旗杆的高度．如右图，点，，在同一直线上，标杆，测得，．
问题解决
任务1
分析测量原理
利用素材1说明的理由．
任务2
完善测量数据
在素材中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度（旗杆无法直接测量），才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为，请你用含的式子表示出旗杆的高度．
任务3
推理计算高度
利用素材3求出旗杆的高度．