福建省福州市台江区福州华伦中学八年级下学期月考数学考试试题（解析版）-A4

这是一份福建省福州市台江区福州华伦中学八年级下学期月考数学考试试题（解析版）-A4，共24页。试卷主要包含了 如图，方格中的，则相似比为．， 某兴趣小组有5名成员，身高等内容，欢迎下载使用。
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键．
【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意；
B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意；
C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意；
D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意；
故选：D．
2. 关于x的一元二次方程，若，则该方程必有一个根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的根的定义，结合即可判断结果．
【详解】解：∵，当时，，
∴该方程必有一个根是，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，解答本题的关键是熟练掌握方程的根的定义：方程的根就是使方程左右两边相等的未知数的值．
3. 某种芯片实现国产化后，经过两次降价，每块芯片单价由128元降为88元.若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意，可列方程
A. 128（1 - x2）= 88B. 88（1 + x)2 = 128
C. 128（1 - 2x）= 88D. 128（1 - x)2 = 88
【答案】D
【解析】
【分析】根据该药品原售价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：128（1-x）2=88．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4. 如图，方格中的，则相似比为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查网格与勾股定理，求相似三角形的相似比．
先由勾股定理求出、的长，再根据相似三角形相似比等于对应边的比求解即可．
【详解】解：由勾股定理得：，，
∵
∴相似比为：，
故选：B．
5. 某兴趣小组有5名成员，身高（厘米）分别为：．增加一名身高为165厘米的成员后，现兴趣小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是（ ）
A. 平均数不变，方差不变B. 平均数不变，方差变小
C 平均数不变，方差变大D. 平均数变小，方差不变．
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查算术平均数和方差的知识，熟记算术平均数和方差的计算公式是解题的关键．
【详解】，
，
，
，
∴平均数不变，方差变小，
故选：B．
6. 在如图所示的正方形网格中，以点O为位似中心，作△ABC的位似图形，若点D是点C的对应点，则点A的对应点是（ ）
A. EB. FC. GD. H
【答案】D
【解析】
【分析】连接并延长，根据位似变换的性质判断即可．
【详解】解：如图，连接并延长，
以点为位似中心，点D是点C的对应点，
位似比为，
则点A的对应点是H，
故选：D．
【点睛】本题考查了位似变换，掌握位似图形的对应点连线相交于一点以及位似图形的性质是解题的关键．
7. 某校学生期末操行评定奉行五育并举，五方面按确定最终成绩．王林同学本学期五方面得分如图所示，则王林期末操行最终得分为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据加权平均数计算公式解答即可．
本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】由题意可得，（分）．
故选C．
8. 在平面直角坐标系中，抛物线保持不动，将x轴向上平移1个单位（y轴不动），则在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】因为抛物线的解析式不动，把x轴向上平移1个单位，所以相当于把抛物线分别向下平移1个单位，再根据函数平移的性质进行解答．
【详解】解：∵抛物线的解析式不动，把x轴向上平移1个单位，
∴相当于把抛物线分别向下平移1个单位，
∴由“上加下减，左加右减”的原则可知，把抛物线分别向下平移1个单位所得抛物线的解析式为：．
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
9. 如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E．当点、、在同一条直线上时，下列结论不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图形旋转的性质，以及全等图形的基本性质进行逐项分析即可．
【详解】解：由旋转的性质可知，，故A选项正确；
则，且、、三点在同一直线上，
∴，
由旋转的性质知，
∴，则，
∴，故D选项正确；
∴中，，
∴，故C选项正确；
∵，
∴，
∴，故B选项不正确；
故选：B．
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质等，掌握基本图形的性质是解题关键．
10. 如图，在中，于点的平分线交于点E，交于点F．若，则关于x的一元二次方程的根的情况（ ）.
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 无实数根
【答案】D
【解析】
【分析】由可得，作于点，可得，，从而可得，进而求解．
【详解】解：于点，
，
，，
，
，
，
，
作于点，则，
为的平分线，FD⊥CD，FG⊥CG，
，
，即，
，
，
，
在方程中，
△，
二次方程无实数根，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解题关键是掌握相似三角形的判定及性质，通过添加辅助线求解．
二．填空题
11. 如果是一元二次方程的一个解，则的值是_________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，将代入，即可求解．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个解，
∴
∴
故答案为：．
12. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点 都在横线上，若线段，则线段的长为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交A的邻近平行线于点D，根据题意，，利用平行线分线段成比例定理计算即可，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】解：如图，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交A的邻近平行线于点D，
根据题意，设，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转38所得到的图形，点C恰好在AB上，，则的度数是_____．
【答案】57°
【解析】
【分析】根据题意可先求得∠OCA和∠COB，再利用三角形的外角定理求解∠B即可．
【详解】由旋转的性质可知：∠AOC=∠BOD=38°，
∵点C恰好在AB上，
∴OA=OC，∠OCA=∠A=(180°-38°)÷2=71°，
又∵∠AOD=90°，
∴∠COB=90°-2×38°=14°，
则根据三角形外角定理：∠B=∠OCA-∠COB=71°-14°=57°，
故答案为：57°．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，及等腰三角形的判定与性质，三角形的外角定理，熟练运用所学知识准确快速的分析题中角度的关系是解题关键．
14. 小明用计算一组数据的方差，那么______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了方差与平均数的计算公式，根据方差公式可以确定这组数据的平均数和数据个数，相乘即可得出答案，熟记方差与平均数的计算公式公式是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴这组数据的平均数为，个数为，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在中，，连接，交于点F，，则的长为__________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，在平行四边形中找出相似三角形是解题的关键．
根据平行四边形的性质可证，再根据对应边成比例求解即可．
【详解】解：在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
故答案为：6．
16. 如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点坐标分别为A（﹣4，8），B（2，2），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为____．
【答案】x1＝﹣4，x2＝2
【解析】
【分析】方程ax2﹣bx﹣c＝0，即ax2＝bx+c的解即为抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c交点的横坐标，由函数图象可得答案．
【详解】解：方程ax2﹣bx﹣c＝0，即ax2＝bx+c的解即为方程组中x的值，
由y＝ax2与y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣4，8），B（2，2）知，
方程组的解为、，
∴关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为x1＝﹣4，x2＝2，
故答案为：x1＝﹣4，x2＝2．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的交点、二次函数与一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题．
三．简答题
17. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解；
（2）利用配方法解答，即可求解．
【小问1详解】
解：，
，
，
，．
【小问2详解】
解：，
，
，
∴．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为，，且．若，求m的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，求出出，即可证明结论成立；
（2）首先求出，，然后根据得到，然后求解即可．
本题考查了根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根．
【小问1详解】
证明：依题意，得，
此方程有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
解：，
，
解得，
∵，
，，
，
，
．
19. 如图，已知在四边形中，，延长、相交于点．求证：
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据邻补角的定义得到，又因为又，所以可证明，结合相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，邻补角的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】证明：，
．
又，
，
，
即．
20. 我市某校为了解九年级学生体育备考情况，对全校九年级240名男生进行了体育测试，并随机抽取甲、乙两个班（两班男生人数相同）各10名男生的跳绳测试成绩并整理、描述、分析．
【收集数据】甲、乙两班10名男生的跳绳成绩（单位：次）如下：
甲：135 149 198 150 160 123 155 160 137 186
乙：100 132 133 146 146 152 164 173 197 210
【分析数据】根据以上数据，得到以下统计量．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中 ， ， ；
（2）综合上表中的统计量，你认为哪一个班的男生成绩较好，并说明理由：
（3）洛阳市2024年中招体育考试九年级终结性评价评分标准规定：跳绳男子满分标准为150次，估计该校本次测试成绩满分男生人数．
【答案】（1），，
（2）甲班成绩较好，理由见解析
（3）估计该校本次测试成绩满分的男生人数为人
【解析】
【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据平均数、中位数、众数的定义计算即可得出答案；
（2）根据平均数、中位数、众数判断即可得出答案；
（3）由样本估计总体的计算方法计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：由题意得：，
∵出现的次数最多，
∴，
∵乙班10名男生的跳绳成绩中间的两个数据为和，
∴；
【小问2详解】
解：甲班成绩较好，理由如下：
甲、乙两班样本平均数相同，但甲班的中位数和众数均高于乙班，故甲班成绩更好；
【小问3详解】
解：由题意得：（人），
∴估计该校本次测试成绩满分的男生人数为人．
21. 直播带货新平台“西方甄选”所推销的大米成本为每袋40元，当售价为每袋80元时，每分钟可销售100袋，为了吸引更多顾客，“西方甄选”采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每分钟可多销售5袋，设每袋大米的售价为x元（x为正整数），每分钟的销售量为y袋．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）设“西方甄选”每分钟获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）y与x的函数关系式为；
（2）当销售单价为70元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是4500元；
【解析】
【分析】（1）根据销售单价每降1元，则分钟可多销售5袋，写出与的函数关系式；
（2）根据“西方甄选”每分钟获得的利润元等于每袋的利润乘以销售量，列出函数关系式，根据二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
由题意可得：
，
与的函数关系式为；
【小问2详解】
由题意，得：
，
，抛物线开口向下，
当时，最大，最大值4500，
答：当销售单价为70元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是4500元；
【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22. 在中，，，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，记点B，C的对应点分别为D，E．
（1）若和线段如图所示，请在图中作出（要求；尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）M是的中点，N是点M旋转后的对应点，连接，，，则是否存在β与α的某种数量关系，使得无论α取何值时，都有？若存在，请说明理由，并直接写出此时与的数量关系；若不存在，也请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）存在，理由见解析，
【解析】
【分析】（1）根据全等三角形的判定和尺规作图的方法，根据题意画出图形即可；
（2）连接，，根据三角形的外角定理可得，则，再通过证明四边形是平行四边形，得出，即可得出结论．
【小问1详解】
解：如图即为所求．
解法一（利用作全等三角形）：
解法二（利用作全等三角形或作点C旋转后的对应点E）：
解法三（利用作全等三角形）：
【小问2详解】
解法一：
当时，无论取何值时，都有．
理由如下：
∵，，
∴始终在的外部．
连接，，
∵在中，，是的中点，
∴．
∴．
∵是的外角，
∴．
又∵，即，
∴．
∴．
∵由绕点逆时针旋转得到，且点是点旋转后的对应点，点是点旋转后的对应点，
∴，，．
又∵点在上，
∴．
∴，即点在上．
∴．
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∴．
此时，．
解法二：
∵，，
∴始终在的外部．
连接，，
∵在中，，是的中点，
∴．
∴．
∵由绕点逆时针旋转得到，且点是点旋转后的对应点，点是点旋转后的对应点，
∴，，．
又∵点在上，
∴．
∴．即点在上．
∴．
∴．
要使得无论取何值时，都有，只要使四边形是平行四边形．
∵，
∴要使四边形是平行四边形，只要使．
即要使．
∵，
∴．
又∵是的外角，
∴．
∴要使，
只要使，即．
∴当时，无论取何值时，都有．
此时，．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，尺规作图，三角形的外角定理，平行四边形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握相关知识点并灵活运用．
23. 为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有.在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙．
（1）甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？
（2）乙生的方案中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
（1）根据两组对角相等证明，再根据相似三角形对应边成比例列式求解；
（2）作于点D，延长线交于点E，先证，再根据相似三角形的相似比等于高的比列式求解．
【小问1详解】
解：由题意知，，
，
又，
，
，
由题意知，，，，
，
解得，
即小视力表中相应“”的高是
【小问2详解】
解：如图，如图，作于点D，延长线交于点E，
由题意知，，
，，
，
，
，，
，
，
由题意知，，，
，
，
，
镜长至少为．
24. 如图1，在中，是边上不与重合的一个定点．于点，交于点．是由线段绕点顺时针旋转得到的，的延长线相交于点．

（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）若是的中点，如图2．求证：．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，再证明、，即可证明结论；
（2）如图1：设与的交点为，先证明可得，再证明可得，最后运用角的和差即可解答；
（3）如图2：延长交于点，连接，先证明可得，再证可得；进而证明即，再说明则根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答．
【小问1详解】
解： 是由线段绕点顺时针旋转得到的，
，
，
．
，
．
．
，
．
．
【小问2详解】
解：如图1：设与的交点为，

，
，
，
．
，
，
．
又，
．
，
．
【小问3详解】
解：如图2：延长交于点，连接，

，
，
．
是的中点，
．
又，
，
．
，
，
．
由（2）知，，
．
，
，
，
，即．
，
，
．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形及直角三角形的判定与性质等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键．
25. 已知抛物线，其中，为实数．
（1）若抛物线经过点，请判断抛物线与轴的交点个数：
（2）抛物线经过点，，，．
①若时，求的取值范围；
②若，当取得最大值时，求抛物线的解析式．
【答案】（1）抛物线与轴只有一个交点
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）将代入解析式，可得，即△=0，即可判断；
（2）①根据根与系数的关系可得，，由，可得，进而得，可求解；②根据导出的公式，求出ab取得最值的情况，即当时，此时点（1，a）和（3，b）关于对称轴对称，ab的值最大，根据对称轴x可求m的值，而△=0，可求n的值．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，
∴
即
∴△=
∴抛物线与轴只有一个交点．
【小问2详解】
解：①∵抛物线经过点，，，
∴，
∵
∴
∴
∴
∴ ；
②∵y=x2+mx+n过（x1，0）（x2，0），
∴不妨设y=（x-x1）（x-x2），
∴a=（1-x1）（1-x2），
b=（3-x1）（3-x2），
（当a>0，b>0时，有下列不等关系
∵，
∴ ，只有a=b时，等号成立）
根据上述不等关系可得：
ab=（1-x1）（1-x2）（3-x1）（3-x2）
=（x1-1）（x2-1）（3-x1）（3-x2）
≤，
令x1+x2=t，
∵1＜x1≤x2＜3，
∴2＜x1+x2＜6，
即2＜t＜6，
∴


，
当t=4时，即该式有最大值为1，
此时点（1，a）和（3，b）关于对称轴对称，ab的值最大，
∴对称轴x，
∴m=-4
∵当时，抛物线与x轴只有一个交点，
∴△=
∴n=4
∴抛物线的解析式是．
统计量班级
平均数
中位数
众数
甲
152.5
乙
155.3
146
甲
乙
图例
方案
如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为3m的小视力表②.通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长）
使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题.如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长