福建省福州第四中学桔园洲中学九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省福州第四中学桔园洲中学九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
一、选择题
1. 下列图形中是中心对称的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项B、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：A
2. 已知方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程定义，根据一元二次方程的定义得出是解此题的关键．根据一元二次方程的定义得出，再求出即可．
【详解】解：方程是关于的一元二次方程，
，
．
故选：B
3. 下列事件中，概率是0的是（ ）
A. 在没有水分的情况下，种子发芽了
B. 福州四中桔园洲中学第17届运动会在2022年如期进行
C. 你所在的考场中没有任何一名学生的出生月份和其他人相同
D. 气象台发布的天气预报显示，明天福州某地会下雨，则明天福州该地下雨
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、在没有水分的情况下，种子发芽了，是不可能事件，概率是0，符合题意；
B、福州四中桔园洲中学第17届运动会在2022年如期进行，是必然事件，概率是1，不符合题意；
C、你所在的考场中没有任何一名学生的出生月份和其他人相同，是随机事件，概率是不是0，不符合题意；
D、气象台发布的天气预报显示，明天福州某地会下雨，则明天福州该地下雨，是随机事件，概率是不是0，不符合题意；
故选：A
4. 如果两个相似三角形的周长之比为，那么这两个三角形的面积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查相似三角形性质，关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形周长的比等于相似比．相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形周长的比等于相似比．由此即可求解．
【详解】解：两个相似三角形的周长之比为，
两个相似三角形的相似比是，
这两个三角形的面积之比为．
故选：C．
5. 关于反比例函数的图象与性质，下列说法中不正确的是（ ）
A. y随x的增大而增大B. 图象关于直线对称
C. 点在它的图象上D. 它的图象位于第一、三象限
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的性质，解题关键是掌握反比例函数图象与系数的关系．由反比例函数解析式可得函数图象经过象限及对称关系．
【详解】解：，
反比例函数图象经过第一，三象限，在每个象限内随增大而增大，函数图象关于原点成中心对称，关于直线成轴对称，
将代入得：，所以点在它的图象上，
所以选项B、C、D正确，选项A不正确，
故选：A
6. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到（是点的对应点），若，则的大小是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查旋转图形的性质、等腰三角形的性质和平行线的性质，解答过程中利用旋转前后对应角相等的性质求角度是解题关键．
【详解】解：∵，
∴，
由已知，绕点顺时针旋转得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C
7. 在一个不透明的袋子里有除颜色外完全相同的红，黄，蓝小球各一粒，对于甲、乙两人不同要求的作业，下列说法正确的是（ ）
A. 甲对，乙不对B. 甲不对，乙对C. 两人都对D. 两人都不对
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．据此进行判断即可．
【详解】对于甲、乙两人不同要求的作业，甲是不放回摸球，利用画树状图法解答正确，乙是有放回的摸球，利用列表法解答得正确，
故选：C
8. 如图，四边形内接于，点D在弧上，过点作的切线交于点P，则下列数量关系不一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质和圆周角定理，以及圆内接四边形的性质，解决本题的关键是熟练掌握切线长的性质．根据切线的性质和圆周角定理，以及圆内接四边形的性质进行一一判断 即可．
【详解】、是的切线，
，
，
，
，
故选项C正确，不符合题意；
，
，
四边形内接于，
，
，
故选项A、B正确，不符合题意；
从条件无法得出
故选项D错误，符合题意；
故选：D
9. 根据下列四幅图中标注的信息，无法确定四点在同一个圆上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了四点共圆的条件：若四边形对角互补或两三角形都在这底边的同侧，其顶角相等，则四点共圆，解决本题的关键是熟练掌握四点共圆的条件，根据四点共圆的条件判断即可．
【详解】解：A．由图可得，即对角互补的四边形四点共圆，故确定四点在同一个圆上，不符合题意；
B．无法确定四点在同一个圆上，符合题意；
C．由图可得，即对角互补四边形四点共圆，故确定四点在同一个圆上，不符合题意；
D．由图可得，即两三角形都在这底边的同侧，其顶角相等，故确定四点在同一个圆上，不符合题意．
故选：B
10. 已知抛物线经过两点，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．先求得抛物线的对称轴为直线，，再进行分类讨论即可解决．
【详解】解：抛物线与x轴的交点坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
抛物线的对称轴与直线之间的距离小于或等于1，
抛物线经过两点，
当抛物线的对称轴与直线重合时，，此时取最大值3，
当抛物线的对称轴与直线重合时，，此时取最小值0，
的取值范围是，
故选：B
二、填空题
11. 已知方程的一次项系数是，则其常数项是________
【答案】1
【解析】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确掌握各项系数确定方法是解题关键．直接利用一元二次方程各项系数确定方法得出答案．
【详解】解：方程的一次项系数是，则其常数项是1，
故答案为：1
12. 如图，E是对角线的三等分点，过点E作直线交交于两点，则的值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质．寻找相似三角形的一般方法是通过平行线构造相似三角形是解题的关键，先证，再根据相似三角形的性质可得答案，
【详解】解： E是对角线的三等分点，
，，
，，
，
，
故答案为：
13. 将抛物线平移得到抛物线，则这个平移变化是向上平移_______个单位长度．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移规律是：左加右减，上加下减．根据图象平移规律，可得答案．
【详解】解：将抛物线平移得到抛物线，则这个平移变化是向上平移3个单位长度．
故答案为：3
14. 如图，中，半径垂直于弦，点D在所对的优弧上．若，则的大小是________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了圆周角定理与圆心角定理，熟练掌握圆周角与圆心角的关系是解题关键．利用圆周角与圆心角的关系即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
故答案为：
15. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与半径为10的交于两点，若，则k的值是_________．
【答案】25
【解析】
【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，圆的性质，两点间的距离公式，判断出是等边三角形是解本题的关键．先设点，根据对称性质得，再证是等边三角形，用两点间的距离公式列出等式，再求解即可得出结论．
【详解】解：设点，
反比例函数的图象与半径为10的交于两点，
所以两点关于直线对称，
，
的半径为10，
，
，即，
，
是等边三角形，
，
，即，
化简得：，
，
，
在反比例函数的图象上，
，
故答案为：25
16. 如图，在中，，．将绕某点顺时针旋转得到，则的最小值是________．
【答案】10
【解析】
【分析】如图，令为旋转中心，由旋转可知，，，，，，，则是等腰直角三角形，、、在同一直线上，进而可证为的垂直平分线，则，易证是等腰直角三角形，进而可得，，则，由三角形的三边可知，，，当，，在同一直线上时，取等号，即可求解．
【详解】解：如图，令为旋转中心，由旋转可知，，，，，
，，则是等腰直角三角形，
∴、、在同一直线上，
∴，且为的中点，
∴为的垂直平分线，则，
∵，则
∴，则，
∴是等腰直角三角形，则，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
则
由三角形的三边可知，，
∴，当，，在同一直线上时，取等号，
∴的最小值是10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理，三角形的三边三边关系，添加辅助线，确定旋转中心是解决问题的关键．
三、解答题
17. 解方程：
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
首先把常数项移到右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方公式，然后开方求解即可．
【详解】解：
移项得，
配方得，
即
开方得，，
解得，．
18. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，求点A的坐标．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式．先求出点B坐标，再求出k的值，最后联立方程组求解即可．
【详解】解：直线与双曲线交于两点，
将代入得：，
，
将代入得：，解得，
联立方程组得：，解得：或，
．
19. 如图，等腰直角三角形中，为中点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得线段，连接．求证：四边形是正方形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质及正方形的判定等知识，得出解题的关键．通过证明，得，再证四边形是菱形，进而即可解答．
【详解】证明：等腰直角三角形中，D为中点，
，
线段绕点A顺时针旋转得线段，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
四边形是正方形．
20. 如图，，相似比为分别为和的中线，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形对应边比值相等，对应角相等的性质，考查了相似三角形的判定，本题中判定是解题的关键．根据相似三角形对应边比值相等性质可得，，即可求得与相似，再根据相似三角形的性质即可解题．
【详解】证明：，
，，
分别为和的中线，
，
，
，
．
21. 如图，是内接正多边形的一条边，且．

（1）求该正多边形的边数；
（2）若的半径为2，求阴影部分的面积．
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】本题考查了正多边形与圆及求不规则图形的面积，解决本题的关键是熟练掌握正多边形与圆的性质，
（1）先证明是直角三角形，得出此正多边形中心角为90度，再求解即可；
（2）根据进行计算即可；
小问1详解】
解：连接，

，
，
，
此正多边形中心角为，
该正多边形的边数为；
【小问2详解】
22. 已知正方形的边长为10，现改变该正方形的边长，使其变为矩形．若的长增加了的长减少了．
（1）若，且改变后的矩形面积为75，求x的值；
（2）求改变后得到的矩形面积的最大值（请用常数或含k的代数式表示）．
【答案】（1）不存在 x的值
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程及二次函数是解题的关键．
（1）根据矩形的面积公式结合改变后矩形的面积为75，即可得出关于的一元二次方程，再求解即可；
（2）设矩形面积为S，再列出关于x的二次函数，再求其最大值即可．
【小问1详解】
依题意，得：，
整理，得：．
（都不合题意，舍去），
不存在 x的值；
【小问2详解】
设矩形面积为S，依题意，得：
，
当时．S有最大值，为，
改变后得到的矩形面积的最大值为
23. 阅读下列材料，回答问题：
任务1：估计不规则封闭图形的面积
如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为0.5米的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内丢掷绿豆（可把绿豆近似看成点），并记录如下数据（有效丢掷绿豆落在该封闭图形内，含边界）：
（1）当有效丢掷绿豆总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数n最可能是________；
A．105 B．249 C．518 D．815
（2）请根据表格中的数据估计，如果你随机丢掷一颗绿豆（落在该封闭图形内，含边界），那么该绿豆恰好落在正方形内（含正方形的边）的概率约为___________（精确到0.01）；
（3）请你利用（2）中所得概率，估计该不规则封闭图形的面积；
任务2：估计圆周率的大小
关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，请借鉴任务1的探究思路，设计一个估算圆周率的实验，写出相应的步骤，以及需要记录的数量（具体数值）或数据（用字母，…，表示），画出示意图，并写出的计算公式．
【答案】任务1：（1）B；（2）0.25；（3）1平方米
任务2：设计实验见解析，
【解析】
【分析】任务1：（1）观察数据，根据大量试验时，频率可估计概率找到稳定值进行估计即可；
（2）大量试验时，频率可估计概率；
（3）利用概率，用正方形面积封闭图形的面积概率建立方程求解；
任务2：仿造任务1，如图，地面上有一个边长为2米的正方形，在此正方形内画出一个半径为1米的圆．在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录数据，根据频率可估计概率即可求解．
【详解】解：任务1：（1）观察表格得：随着投掷次数的增大，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的频率值稳定在0.25，
∴如果你掷一次绿豆，那么绿豆落在正方形内（含正方形边上）的概率约为0.25；
当掷绿豆所落的总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数最可能为，只有249比较接近，
故答案为：B；
（2）由（1）可知如果你掷一次绿豆，那么绿豆落在正方形内（含正方形边上）的概率约为0.25，
故答案为：0.25；
（3）设封闭图形的面积为，
根据题意得：，
解得：，
即：估计整个不规则封闭图形的面积约是1平方米．
任务2：如图，地面上有一个边长为2米的正方形，在此正方形内画出一个半径为1米的圆．
在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录如下：
当很大时，绿豆落在圆内（含圆的边上）的频率值稳定在，
所以如果掷一次绿豆，那么绿豆落在圆内（含圆的边上）的概率约为；
则，
∴．
24. 已知过点的抛物线还经过点，，中的两个点，且当时，y随x的增大而增大．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）直线交抛物线于两点（点M在点N左侧）．
①当，时，若，求t的值；
②线段的中点为E，过点E作轴交抛物线于点F，若，则直线必过一定点，请直接写出该定点的坐标．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）由抛物线经过可得，当时，y随x的增大而增大，可知抛物线的对称轴为，再分三种情况当抛物线经过点，时，当抛物线经过点，时，当抛物线经过点，时，分别讨论即可求得的值，即可求得抛物线的解析式；
（2）①当，时，，联立，求得，，由勾股定理求得，，，再根据建立方程即可求得的值；
②联立，整理得：，得，设，，则，，，则，求得，，可得，根据，得，整理得：，进而可知，当时，，
可知经过定点．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过，
∴，抛物线的对称轴为，
∵当时，y随x的增大而增大，
∴，
当抛物线经过点，时，抛物线的对称轴为，则，
∴；
当抛物线经过点，时，抛物线的对称轴为，不符合题意；
当抛物线经过点，时，抛物线的对称轴为，不符合题意；
综上，，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
①当，时，，
联立，整理得：，
解得：，，
则，，
由勾股定理可得：，
，
，
∵，即，
，
，
∴；
②联立，整理得：，
，
设，，
则，，
，
则
，
∵为线段的中点
∴点的横坐标为，
纵坐标为，
则点的纵坐标为：，
∴
，
∵，
∴，
则，
∴，整理得：，
∴，
当时，，
∴经过定点．
【点睛】本题属于二次函数综合题，综合考查了求二次函数解析式、勾股定理及二次函数与一元二次方程的联系等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质是解题的关键．
25. 如图，中，．

（1）作的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，点D在上且与点C位于异侧，连接并延长交的垂直平分线于点E，过点E作交延长线于点．
①求证：；
②若，求的值．
【答案】（1）见详解；
（2）①见详解；②的值为．
【解析】
【分析】（1）由知是的直径，先作线段的垂直平分线，垂直平分线与的交点即为圆心O，再以O为圆心，长为半径作圆即可；
（2）①由是的垂直平分线，可证，得，再结合，可以得出，再证明出，进而证明出；
②由和圆内接四边形得出，再证明得出，可设，则，，证明，通过平行线分线段成比例得，再设，在中，通过勾股定理可求出， 则，，再通过线段加减关系求出，，由得，再利用勾股定理依次求出，，进而得出．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
①连接，，

是的直径，
，
是的垂直平分线，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
②延长，交的延长线于M，
，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
，，
，，
在中，，
在中，，
．
甲：不放回摸球
乙：放回的摸球
解：画树状图如下：

解：列表如下：
红
黄
蓝
红
（红，红）
（黄，红）
（蓝，红）
黄
（红，黄）
（黄，黄）
（蓝，红）
蓝
（红，蓝）
（黄，蓝）
（蓝，蓝）
如图，共有种结果，并且每种结果发生的可能性相等，
其中“一红一黄”的有种，
（一红一黄）．
如表，共有种结果，并且每种结果发生的可能性相等，
其中“一红一黄”的有种，
（一红一黄）．
有效丢掷绿豆总次数
50
150
300
600
…
绿豆落在正方形内
（含正方形的边）的次数
10
35
78
149
…
0.200
0.233
0.257
0.248
…
有效丢掷绿豆总次数
…
绿豆落在圆内
（含圆的边）的次数
…
…