(人教A版2019选择性必修第二册)高二数学第五章一元函数的导数章末测试(基础)(原卷版+解析)

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A．B．C．D．
2．（2021·四川省），则（ ）
A．6B．5C．3D．2
3．（2022·全国·高三阶段练习（文））函数的极小值为（ ）
A．B．1C．2D．e
4．（2022·黑龙江 ）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·江西 ）已知函数在上的最小值为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．C．D．
6．（2022·福建·莆田第三中学高三期中）已知函数，若在R上单调递增，求实数a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·河南 ）如图是函数的图象，则函数的解析式可以为（ ）．
A．B．
C．D．
8．（2022·四川绵阳）已知直线：既是曲线的切线，又是曲线的切线，则（ ）
A．0B．C．0或D．或
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）
9．（2022·安徽）在曲线上切线的倾斜角为的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·湖北襄阳）已知函数，则（ ）
A．是的极小值点B．有两个极值点
C．的极小值为D．在上的最大值为
11．（2022·黑龙江 ）函数的导函数是，下图所示的是函数的图象，下列说法错误的是（ ）
A．是的零点
B．是的极大值点
C．在区间上单调递减
D．在区间上不存在极小值
12．（2022·浙江·绍兴一中 ）定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题(每题5分，4题共20分)
13．（河南省豫南九校2023-2024学年高三上学期第一次联考数学（文）试题）若曲线在处的切线与直线相互垂直，则______．
14．（2022·浙江杭州 ）已知，过点可作曲线的三条切线，则的范围是________．
15．（2022·天津·大港一中 ）若函数在上是减函数，则实数的取值范围为___________.
16．（2022·湖北 ）已知函数，若函数的零点一共有3个，则实数m的取值为________．
四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）
17．（2022·湖北 ）已知函数．
(1)若，求的单调区间
(2)若函数在处取得极值，求的最大值和最小值．
18．（2023·四川资阳 ）已知函数．
(1)当时，过点作曲线的切线l，求l的方程；
(2)当时，对于任意，证明：．
19．（2021·陕西·无高二期中（理））已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值.
20．（2023·江西 ）已知函数.
(1)当时，求在上的最值；
(2)讨论的极值点的个数.
21．（山西省吕梁市2023届高三上学期阶段性测试数学试题）函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)已知直线是曲线的切线，求a的值．
22．（2022·海南 ）设函数
(1)讨论的单调性；
(2)求在区间的最大值和最小值．
第五章 一元函数的导数及其应用 章末测试（基础）
单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分)
1．（2022·天津中）若，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由得，，
令且，解得即的解集为故选：C.
2．（2021·四川省），则（ ）
A．6B．5C．3D．2
答案：C
【解析】，则.故选：C.
3．（2022·全国·高三阶段练习（文））函数的极小值为（ ）
A．B．1C．2D．e
答案：B
【解析】由，得，
当或时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极小值为.
故选：B.
4．（2022·黑龙江 ）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】由得，
故，而，
故曲线在点处的切线方程为，即，
故选：C.
5．（2022·江西 ）已知函数在上的最小值为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．C．D．
答案：D
【解析】当时，在单调递减，
且最小值为，满足条件，故可排除A，B；
当时，，，
时，，在单调递减，
所以最小值为，满足条件，故可排除C；
故选：D
6．（2022·福建·莆田第三中学高三期中）已知函数，若在R上单调递增，求实数a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】，设，则，
当时，；当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
故.
因为在R上单调递增，故，故，
故选：D.
7．（2022·河南 ）如图是函数的图象，则函数的解析式可以为（ ）．
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】对于A：定义域为，
当时，则，即函数在上单调递增，故A错误；
对于B：定义域为，且，，所以，故B错误；
对于C：定义域为，
又，所以当时，
当或时，即函数在，上单调递减，在上单调递增，故C错误；
对于D：定义域为，
所以当或时，当时，
即函数在，上单调递增，在上单调递减，符合题意；
故选：D
8．（2022·四川绵阳）已知直线：既是曲线的切线，又是曲线的切线，则（ ）
A．0B．C．0或D．或
答案：D
【解析】,,，设切点分别为，
则曲线的切线方程为：，化简得，，
曲线的切线方程为：，化简得，，，故，解得e或.
当e，切线方程为，故.
当，切线方程为，故，则.
故的取值为或.
故选：D
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）
9．（2022·安徽）在曲线上切线的倾斜角为的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
答案：AB
【解析】切线的斜率，设切点为，则，
又，所以，所以或，所以切点坐标为或．故选：AB．
10．（2022·湖北襄阳）已知函数，则（ ）
A．是的极小值点B．有两个极值点
C．的极小值为D．在上的最大值为
答案：ABD
【解析】因为，所以，
当时，；当时，，
故的单调递增区间为和，单调递减区间为，
则有两个极值点，B正确；
且当时，取得极小值，A正确；
且极小值为，C错误；
又，，所以在上的最大值为，D正确.
故选：ABD.
11．（2022·黑龙江 ）函数的导函数是，下图所示的是函数的图象，下列说法错误的是（ ）
A．是的零点
B．是的极大值点
C．在区间上单调递减
D．在区间上不存在极小值
答案：AD
【解析】观察图象知，当或时，，当时，，
因此函数在，上单调递减，在上单调递增，
是的极小值点，而不一定为0，A不正确；
是的极大值点，B正确；
，即在区间上单调递减，C正确；
是的极小值点，在区间上存在极小值，D不正确.
故选：AD
12．（2022·浙江·绍兴一中 ）定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：BCD
【解析】令
所以
因为，
所以
故在单调递减
所以，得，即，故A错误；
，得，即，故B正确；
，得，即，故C正确；
得，即，故D正确.
故选：BCD
三、填空题(每题5分，4题共20分)
13．（河南省豫南九校2023-2024学年高三上学期第一次联考数学（文）试题）若曲线在处的切线与直线相互垂直，则______．
答案：
【解析】已知，则,
因为曲线在处的切线与直线相互垂直，
所以，解得.
故答案为：.
14．（2022·浙江杭州 ）已知，过点可作曲线的三条切线，则的范围是________．
答案：
【解析】设切点坐标为，由，得，所以切线方程为，将代入切线方程，得，即为方程的解，设，则，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以当时，函数取极小值，极小值为，当时，函数取极大值，极大值为，因为过点可作曲线的三条切线，所以方程有三个不同的解， 与的图像有三个不同的交点， 所以，即的范围是.
故答案为：.
15．（2022·天津·大港一中 ）若函数在上是减函数，则实数的取值范围为___________.
答案：
【解析】，
又在上是减函数，
在上恒成立，即，
即
故答案为： .
16．（2022·湖北 ）已知函数，若函数的零点一共有3个，则实数m的取值为________．
答案：
【解析】的零点满足，即的根，
由于，所以，是的一个根；
所以的根三个，则满足当时，有一个根即可
又时，，所以，
所以在时有一个根，即在时有一个根
令，所以，得
所以时，，在上单调递减；时，，在上单调递增
又，；比增长的快，所以，
所以.
故答案为：.
四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）
17．（2022·湖北 ）已知函数．
(1)若，求的单调区间
(2)若函数在处取得极值，求的最大值和最小值．
答案：(1)的减区间为，增区间为，
(2)，
【解析】（1）若，有，定义域为
则，
得；得或
所以，的减区间是，增区间是，；
（2）∵，
即：
∴
∴
∴
∴当或时，；当时，
∴在，上递增，在上递减
∴的极大值为，的极小值为.
又∵当 时， ，当时，
，．
18．（2023·四川资阳 ）已知函数．
(1)当时，过点作曲线的切线l，求l的方程；
(2)当时，对于任意，证明：．
答案：(1)或
(2)证明见解析
【解析】（1）由题，时，，，
设切点，则切线方程为，
该切线过点，则，即，
所以或．又；；，．
所以，切线方程为或；
（2）设，则，
令，则，
可知，时，；时，，
故时均有，则即在上单调递增，，
因为时，则，，故在上单调递增，
此时，．
所以，当时，对于任意，均有．
19．（2021·陕西·无高二期中（理））已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值.
答案：(1)；
(2)函数的增区间为、，单调递减区间为，，.
【解析】（1）当时，，则，，，
此时，曲线在点处的切线方程为，
即.
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）因为，则，
由题意可得，解得，
故，，列表如下：
所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.
当时，；当时，.
所以，，.
20．（2023·江西 ）已知函数.
(1)当时，求在上的最值；
(2)讨论的极值点的个数.
答案：(1)最大值为，最小值为
(2)时,无极值点, 时,有2个极值点.
【解析】（1）当时，，
，故在上单调递增，
，.
（2）,
①当时,恒成立,此时在上单调递增，不存在极值点.
②当时,令,即，解得:或，
令,即，解得
故此时在递增,在递减,在递增,
所以在时取得极大值，在时取得极小值，故此时极值点个数为2，
综上所述:时,无极值点，
时,有2个极值点.
21．（山西省吕梁市2023届高三上学期阶段性测试数学试题）函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)已知直线是曲线的切线，求a的值．
答案：(1)极小值，无极大值
(2)2
【解析】（1），，
由得，或（舍去）．
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以时，取到极小值，无极大值．
（2）设直线与曲线相切于点，则．
即，消去a得，，
易知函数在上为增函数，又当时，，
所以方程有唯一解，代入得，．
22．（2022·海南 ）设函数
(1)讨论的单调性；
(2)求在区间的最大值和最小值．
答案：(1)函数单调递增区间为；单调递减区间为；
(2)在区间上的最大值为，最小值为.
【解析】（1）函数的定义域为，
又.
令，解得或；令，解得.
所以函数单调递增区间为；单调递减区间为；
（2）由（1）可得：函数在区间内单调递减，在内单调递增.
所以当时，函数取得最小值，
又，，
而，
所以当时，函数取得最大值为：.
即在区间上的最大值为，最小值为.增
极大值
减
极小值
增