（人教A版）选择性必修二高二数学上学期期末检测AB卷（提高篇）（2份，原卷版+解析版）

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A．109B．263C．823D．163
【解题思路】将PA转化为PO+OA，PB转化为PO+OB，由三棱锥是正三棱锥可知PO⊥AO，PO⊥BO，即可将PO⋅PA转化为|PO|2，PO⋅PB转化为|PO|2，结合勾股定理即可求解．
【解答过程】∵P−ABC为正三棱锥，O为△ABC的中心，∴PO⊥平面ABC，AO、BO⊂平面ABC，
∴PO⊥AO，PO⊥BO， △ABC是等边三角形，
∴PO⋅OA=0，AO=12⋅ABsin60∘=233，PO⋅OB=0，BO=12⋅ABsin60∘=233，
故PO⋅PA=PO⋅PO+OA=PO2=PA2−OA2=4−43=83，
PO⋅PB=PO⋅PO+OB=PO2=PB2−OB2=4−43=83，
则PO⋅PA+PB=PO⋅PA+PO⋅PB=163．故选：D.

2．已知fx是可导函数，且f′xef(0)，f(2023)>e2023f(0)
C．f(1)>ef(0)，f(2023)0，则fx在R上递增，求得f′x+2x−1的最小值，由此化简不等式f3a2−2a−1≤f′x+2x−1，进而求得a的取值范围.
【解答过程】由题可知f′x=x2−2x−1+ex+1ex≥x−12−2+2ex⋅1ex=x−12≥0，
两处等号不能同时取到，所以f′x>0，fx在R上单调递增．
f′x+2x−1=x2+ex+1ex−2≥x2+2ex⋅1ex−2=x2≥0，当且仅当x=0时等号同时成立，所以f3a2−2a−1≤0．又f0=0，所以3a2−2a−1≤0，解得−13≤a≤1．故答案为：−13,1.
8.已知圆M：x−22+y2=4，点P−1,tt∈R.
(1)若t=0，求以P为圆心且与圆M相切的圆的方程；
(2)若过点P的两条直线被圆M截得的弦长均为23，且与y轴分别交于点S、T，ST=34，求t的值.
【解题思路】（1）由题意，可设圆P的方程为x+12+y2=r2，判断出点P在圆外，则圆P与圆M外切或内切，分类讨论两圆内切与外切两种情况，列方程求解r，从而可得圆P的方程；
（2）先排除过点P与x轴垂直的情况，从而设过点P的直线方程为y−t=kx+1，再根据圆的弦长公式建立方程并化简可得8k2+6tk+t2−1=0，结合根与系数的关系以及ST=34，从而可得t的方程，解方程即可得解.
【解答过程】（1）当t=0时，P−1,0，设圆P的方程为x+12+y2=r2，
因为−1−22+02=9>4，所以点P在圆外，
所以圆P与圆M外切或内切，又M2,0，圆M的半径为2，
当两圆外切时：PM=2+r=2−−1，可得r=1；
当两圆内切时：PM=r−2=2−−1，可得r=5；
所以以P为圆心且与圆M相切的圆的方程为x+12+y2=1或x+12+y2=25.
（2）若过点P−1,t的直线与x轴垂直时，直线方程为x=−1，
圆心M到直线x=−1的距离为3，直线与圆相离，不满意题意；
设过点P的直线方程为y−t=kx+1，即kx−y+k+t=0，由题意得，3k+tk2+1=22−32=1，
化简得8k2+6tk+t2−1=0，设直线PS、PT的斜率分别为k1,k2，
则k1+k2=−3t4k1k2=t2−18，且Δ=36t2−32t2−1=4t2+32>0，
对过点P的直线y−t=kx+1，令x=0，得y=k+t，∴S0,k1+t,T0,k2+t，
∴ST=k1−k2=k1+k22−4k1k2=t2+84=34，解得t=±1，所以t=±1.
9．已知数列an是公差为1的等差数列，且a1+a2=a3，数列bn是等比数列，且b1⋅b2=b3,a4=4b1−b2．
(1)求an和bn的通项公式；
(2)令dn=bn+1bn−1bn+1−1，求证：d1+d2+d3+⋯+dn0，∴1−12n+1−10时，可得h(x)在(0,a)上单调递增，在(a,+∞)上单调递减，
若h(x)存在两个变号零点，则h(a)>0，解得0