2025-2026 专题02 二次函数（期末复习讲义）九年级数学上学期人教版解析版）

这是一份2025-2026 专题02 二次函数（期末复习讲义）九年级数学上学期人教版解析版），共63页。
知识点01 二次函数有关概念
(1)定义：一般的，形如(a、b、c是常数，)的函数叫做二次函数，自变量x的取值范围为全体实数.
(2)、bx、c分别称作二次函数的二次项、一次项和常数项，、b分别称为二次项系数和一次项系数.
(3)三类解析式
一般式：(a、b、c是常数，)；
顶点式：()，二次函数的顶点坐标是(h，k)；
交点式：()，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ．
知识点02 待定系数法求解析式
①巧设二次函数的解析式（给顶点设顶点式，给交点设交点式，其余情况设一般式）；
②根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；
③解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.
知识点03 二次函数的图象与性质
知识点04 二次函数的图象与各项系数之间的关系
(1)的正负决定开口方向: ，抛物线开口向上；，抛物线开口向下.
的大小决定开口的大小: 越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大.
(2)、b的符号共同决定对称轴的位置
当时，，对称轴为y轴；当a、b同号时，，对称轴在y轴左边；当a、b异号时，，对称轴在y轴右边．（简记为“左同右异”）
(3)c决定抛物线与轴的交点的位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c＝0时，抛物线经过原点；当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
知识点05 二次函数图象的变换
(1)图象的平移：任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．具体平移方法如下：
(2)图象的对称：化成顶点式，结合图象，求出对称后的顶点和开口方向，再写出对称后的解析式.
知识点06 二次函数与一元二次方程
二次函数()的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程的根.
(1)当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；(2)当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；
(3)当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.
知识点07 二次函数与不等式
(1)抛物线在x轴上方图象上的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；
(2)抛物线在x轴下方图象上的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集.
知识点08 二次函数的应用
(1)最大利润问题：求解最值时，一定要考虑顶点横坐标（对称轴）的取值是否在自变量的取值范围内.
(2)面积问题：篱笆问题，铅锤法求面积.
(3)类抛物线问题：拱桥、投桥、喷泉问题.
(4)与几何图形结合：与三角形、圆等几何图形结合，考查最大面积或最小距离等问题
题型一 二次函数有关概念
【典例1】下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y＝x3+2x﹣1B．y＝4x﹣7
C．y＝x2+4D．y＝（x+1）2﹣x2
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、y＝x3+2x﹣1，不是二次函数，故A不符合题意；
B、y＝4x﹣7，是一次函数，故B不符合题意；
C、y＝x2+4，是二次函数，故C符合题意；
D、y＝（x+1）2﹣x2＝2x+1，是一次函数，故D不符合题意；
故选：C．
【典例2】已知y=a+2x2-5x是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a=2B．a≠2C．a=-2D．a≠-2
【答案】D
【点拨】本题考查二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义．
根据二次函数的定义，可得关于a的不等式，解不等式即可．
【解答】解：∵y=a+2x2-5x是关于x的二次函数，
∴a+2≠0，
∴a≠-2，
故选：D．
【典例3】把y=3-3x6+x变成一般式，它的常数项为 ．
【答案】12
【点拨】本题考查了二次函数的一般形式，二次函数的一般形式为y=ax2+bx+c（a,b,c为常数且a≠0）.
根据整式的乘法法则将右边展开，再合并同类项，即可将其化为一般形式，即可得到答案.
【解答】解：∵ y=3-3x6+x=18+3x-18x-3x2=-3x2-15x+18，
∴把y=3-3x6+x变成一般式，它的常数项为18，
故答案为：18.
【变式1】已知y＝（a+2）x2﹣5x是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣2B．a≠2C．a≥2D．a≠﹣2
【答案】D
【分析】根据二次函数的定义进行解答．
【解答】解：根据题意可知，y＝（a+2）x2﹣5x是关于x的二次函数，
所以a+2≠0，
即a≠﹣2．
故选：D．
【变式2】若关于x的函数 y=2-ax2-x是二次函数，则a 的取值范围是 ．
【答案】a≠2
【点拨】本题考查二次函数的定义．二次函的基本表示形式为y=ax2+bx+c(a≠0)，二次函数最高次必须为二次，据此即可求解．
【解答】解：由题意得：2-a≠0，
解得：a≠2，
故答案为：a≠2
【变式3】把y=2-3x6+x变成一般式，它的常数项为 ．
【答案】12
【点拨】本题考查了二次函数的一般形式，二次函数的一般形式为y=ax2+bx+c（a,b,c为常数且a≠0）.
根据整式的乘法法则将右边展开，再合并同类项，即可将其化为一般形式，即可得到答案.
【解答】解：∵ y=2-3x6+x=12+2x-18x-3x2=-3x2-16x+12，
∴把y=2-3x6+x变成一般式，它的常数项为12，
故答案为：12.
题型二 待定系数法求二次函数的解析式
【典例1】如果一条抛物线的形状和开口方向与y＝﹣2x2+2相同，且顶点坐标是（4，2），则它的解析式是（ ）
A．y＝2（x﹣4）2+2B．y＝﹣2（x﹣4）2﹣2
C．y＝﹣2（x﹣4）2+2D．y＝﹣2（x+4）2﹣2
【答案】C
【分析】设抛物线的顶点式为y＝﹣2（x﹣h）2+k，再由顶点坐标是（4，2），确定解析式即可．
【解答】解：由条件可知a＝﹣2，
∵顶点坐标是（4，2），
∴它的解析式为y＝﹣2（x﹣4）2+2，
故C满足条件，
故选：C．
【典例2】已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过三点（﹣3，0），（1，0），（0，3），则该抛物线的顶点坐标是 ．
【答案】（﹣1，4）．
【分析】利用待定系数法求出函数解析式并化为顶点式，即可得到答案．
【解答】解：由条件可知9a-3b+c=0a+b+c=0c=3，解得a=-1b=-2c=3，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标是（﹣1，4）．
故答案为：（﹣1，4）．
【变式1】已知y＝（a﹣2）x2﹣2x+a2是关于x的二次函数，其图象经过（0，4），则a的值为（ ）
A．a＝±2B．a＝2C．a＝﹣2D．无法确定
【答案】C
【分析】根据定义得出a﹣2≠0，然后将点（0，4）代入解析式，即可求解．
【解答】解：∵y＝（a﹣2）x2﹣2x+a2是关于x的二次函数，其图象经过（0，4），
∴4＝a2，a﹣2≠0，
解得：a＝﹣2，
故选：C．
【变式2】已知抛物线C1的顶点坐标为（2，3），且与抛物线C2：y=x2+2的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线C1的解析式为（ ）
A．y＝（x+2）2﹣3B．y＝﹣（x﹣2）2﹣3
C．y＝﹣（x﹣2）2+3D．y＝（x﹣2）2+3
【答案】D
【分析】设顶点式为y＝a（x﹣2）2+3，然后根据二次函数的性质确定a的值，从而得到抛物线C1的解析式．
【解答】解：∵抛物线C1的顶点坐标为（2，3），
∴抛物线C1的解析式可设为y＝a（x﹣2）2+3，
∴抛物线C1与抛物线C2：y=x2+2的开口方向、形状大小完全相同，
∴a＝1，
∴抛物线C1的解析式为y＝（x﹣2）2+3．
故选：D．
【变式3】已知抛物线的顶点为（﹣1，﹣3），与y轴的交点为（0，﹣5），求抛物线的解析式．
【分析】根据题意设出抛物线的顶点形式，将（0，﹣5）代入即可确定出解析式．
【解答】解：根据题意设y＝a（x+1）2﹣3，
将（0，﹣5）代入得：a﹣3＝﹣5，
解得：a＝﹣2，
则抛物线解析式为y＝﹣2（x+1）2﹣3＝﹣2x2﹣4x﹣5．
故抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣4x﹣5．
题型三 二次函数的图象与性质
【典例1】二次函数y=3x−12−2图象的顶点坐标为（ ）
A．−1,−2B．1,2C．−1,2D．1,−2
【答案】D
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．直接根据二次函数的顶点式y=ax−h2+k的顶点坐标公式求解．
【详解】解：∵ 二次函数y=ax−h2+k的顶点坐标为h,k，
∴y=3x−12−2的图象的顶点坐标为1,−2，
故选：D．
【典例2】在同一平面直角坐标系中，一次函数y=bx−a（a，b为常数，且a≠0）的图象与二次函数y=ax2−bx的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象与系数的关系，关键是利用图象特征判断字母取值；
根据每个选项中的图象特征判断一次函数和二次函数中系数的关系即可．
【详解】解：A选项：由二次函数图象可知：a0，
故A选项不符合题意；
B选项：由二次函数图象可知：a>0,b>0，
由一次函数图象可知：a0，
故B选项不符合题意
C选项：由二次函数图象可知：a