专题22.1 二次函数（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题22.1 二次函数（知识讲解）

【学习目标】

1、理解二次函数的概念，识别二次函数；

2、根据二次函数表达式求参数；

3、能根据生活实际写出二次函数表达式。

【要点梳理】

【知识点1】二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零。

二次函数的定义域是全体实数。

【知识点2】二次函数的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2。

⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项。

【典型例题】

类型一、二次函数的判断

1．已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋2－2m.

(1)若这个函数是二次函数，求m的取值范围．

(2)若这个函数是一次函数，求m的值．

(3)这个函数可能是正比例函数吗？为什么？

【答案】(1). m≠0且m≠1.(2). m＝0.(3). 不可能

解：（1）根据二次函数的二次项系数不等于0，可得答案；

（2）根据二次函数的二次项系数等于0，常数项不等于0，是一次函数，可得答案；

（3）根据二次函数的二次项系数等于0，常数项等于0，可得正比例函数．

试题解析：(1)∵这个函数是二次函数，

∴m2－m≠0，∴m(m－1)≠0，

∴m≠0且m≠1.

(2)∵这个函数是一次函数，

∴∴m＝0.

(3)不可能．∵当m＝0时，y＝－x＋2，

∴不可能是正比例函数．

举一反三：

【变式1】已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y=2（x+3）2-2x2；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】根据二次函数的定义判断即可；

解：y＝2x﹣1是一次函数；

y＝﹣2x2﹣1是二次函数；

y＝3x3﹣2x2不是二次函数；

④y=2（x+3）2-2x2，不是二次函数；

y＝ax2+bx+c，没告诉a不为0，故不是二次函数；

故二次函数有1个；

故答案选A．

【点拨】本题主要考查了二次函数的定义，准确判断是解题的关键．

【变式2】二次函数 中，二次项系数为____，一次项是____，常数项是___

【答案】          -2x ,     1

【分析】函数化简为一般形式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

解：∵y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项

∴ 中，二次项系数为，一次项是-2x，常数项是1.

故答案是：; -2x;1.

【点拨】考查了二次函数的定义，二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

类型二、根据二次函数定义求参数

2．已知函数y＝（k2﹣k）x2+kx+k+1（k为常数）．

（1）若这个函数是一次函数，求k的值；

（2）若这个函数是二次函数，则k的值满足什么条件？

【答案】（1）k＝1；（2）k≠0且k≠1

【分析】

（1）由一次函数的定义求解可得；

（2）由二次函数的定义求解可得．

解：（1）若这个函数是一次函数，

则k2﹣k＝0且k≠0，

解得k＝1；

（2）若这个函数是二次函数，

则k2﹣k≠0，

解得k≠0且k≠1．

【点拨】本题主要考查了一次函数的定义、二次函数的定义，准确分析判断是解题的关键．

举一反三：

【变式1】 当函数 是二次函数时，的取值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据二次函数的定义去列式求解计算即可．

解：∵函数 是二次函数，

∴a-1≠0，=2，

∴a≠1，，

∴，

故选D．

【点拨】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义并灵活列式计算是解题的关键．

【变式2】 定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是______．

【答案】

【分析】由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数的本源函数．

解：由题意得

解得

∴函数的本源函数是．

故答案为：．

【点拨】本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解新定义“本源函数”．

类型三、 列二次函数解析式

3、 如图，在中，，，，现有一个动点P从点A出发，以4cm/s的速度沿AC向终点C运动，动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度沿CB向终点B运动，当有一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为ts，的面积为S，求：

（1）S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（2）当时，求线段PQ的长；

（3）当t为何值时，？

【答案】（1）；（2）；（3）当t为2或3时，．

【分析】

（1）由点P点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解即可；

（2）当时，代入（1）中公式可得PC，CQ的长，再由勾股定理即可求出PQ；

（3）结合（1）得到的关系式，代入条件，列出方程求解即可．

解：（1）由条件可得：，，

∴，

∴，；

（2）当时，，，

∴；

（3）由题意可得：，

整理得：，

解得：，，

∴当t为2或3时，．

【点拨】本题主要考查了勾股定理的运用，方程思想是解决本题的关键．

举一反三：

【变式1】 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售为x元，则可卖出（350-10x）件商品，那么商品所赚钱y元与售价x元的函数关系为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】商品所赚钱=每件的利润×卖出件数，把相关数值代入即可求解．

解：每件的利润为（x-21），

∴y=（x-21）（350-10x）

=-10x2+560x-7350．

故选B．

【点拨】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解决本题的关键是找到总利润的等量关系，注意先求出每件商品的利润．

【变式2】 如果二次函数（，、、是常数）与（，、、是常数）满足与互为相反数，与相等，与互为倒数，那么称这两个函数为“亚旋转函数”．请直接写出函数的“亚旋转函数”为_________．

【答案】

解：∵－1的相反数是1，－2的倒数是，∴函数的“亚旋转函数”为．故答案为．