湖北省襄阳市老河口市2025届九年级上学期期末学业质量综合监测数学试卷(含答案)

这是一份湖北省襄阳市老河口市2025届九年级上学期期末学业质量综合监测数学试卷(含答案)，共11页。
（本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟）
★祝考试顺利★
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答.
1．解一元二次方程(x＋3)2＝5最简单的方法是（ ）．
A．直接开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法
2．以下是四类垃圾分类的标志图案，则四幅标志图案中是中心对称图形的是（ ）．
A． B． C．D．
3．已知抛物线y＝2(x＋1)2＋1经过(2，y1)，(1，y2)两点，则y1与y2的大小关系为（ ）．
第4题图
A．y1＝y2B．y1＞y2
C．y1＜y2D．无法确定
4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论错误的是（ ）．
A．BC＝BD B．＝
C．OM＝BM D．∠ADB＝90°
5．下列事件属于随机事件的是（ ）．
A．通常加热到100℃时，水沸腾B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．任意画一个三角形，其内角和为360°D．从只装有黑球的盒子里摸球，摸出黑球
第6题图
6．如图，DE∥BC，在下列比例式中，不能成立的是（ ）．
A． B．
C．D．
7．将抛物线y＝(x－2)2－8向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线的函数解析式为（ ）．
第8题图
A．y＝(x＋1)2－13B．y＝(x－5)2－3
C．y＝(x－5)2－13D．y＝(x＋1)2－3
8．如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝40°，∠APD＝75°，则∠B的度数是（ ）．
A．15° B．40°C．75°D．35°
9．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（ ）．
第10题图
A．(3x)2＋102＝(7x－10)2B．(3x)2＋102＝(7x)2
C．(7x)2＋102＝(3x－10)2D．(3x)2＝(7x－10)2＋102
10．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－1，且经过点（1，0），下列结论正确的是（ ）．
A．abc＞0 B．b2－4ac＜0
C．9a－3b＋c＝0 D．3a＋c＜0
第14题图
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）把答案填在答题卡的相应位置上.
11．正五边形的中心角的度数是________.
12．请写出一条开口向下且对称轴为直线x＝1的抛物线的解析式________.
13．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同.如果两枚鸟卵全部成功孵化，那么恰好全为雄鸟的概率为________．
第15题图
14．如图，△ABC的中线AD，BE相交于点O，若AD＝9，则DO的长为________.
15．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AEFG的位置，点G在BC上，延长CB交EF于点H．若AB＝3，AD＝5，则EH的长为________.
三、解答题（本大题共9个小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内.
16．（6分）
解方程：x2－4x－7＝0．
17．（6分）
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，点D是AB的中点，将△BCD绕点C顺时针方向旋转60°得到△FCE，连接DE．求证：四边形ADEC是菱形.
18．（6分）
关于x的一元二次方程x2＋4x－m2＝0的两根x1，x2满足x1＋x2＋x1x2＝4m，求m的值．
19．（8分）
如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点 P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线b上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线a的交点R．已测得QS＝45 m，ST＝90 m，QR＝60m，请根据这些数据，计算河宽 PQ．
20．（8分）
如图，抛物线y＝x2＋2x－3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与 y轴交于点C，顶点为D．
（1）求A，B，C，D四个点的坐标；
（2）若关于x的一元二次方程x2＋2x－3＝m有两个不相等的负实数根，请直接写出m的取值范围．
21．（8分）
如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，OP交⊙O于点E，连接PC并延长交AB的延长线交于点F．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AC＝，OD＝1，求图中阴影部分的面积．
22．（10分）
某数学兴趣小组在公园内开展综合与实践活动，根据以下素材，完成探究任务．
23．（11分）
在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，DC＝EC，旋转△DEC，使点D在△ABC内．
（1）如图1，求证：△ADC≌△BEC；
（2）当AD∥CE时，延长AD交BC于点F．
①如图2，若AB＝，CF＝1，求BE的长；
②如图3，连接BD，若点F是BC的中点，判断线段AD与线段BD的数量关系，并说明理由．
图3
图1
图2
24．（12分）
在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c QUOTE 的图象经过A(0，3)，B(6，3)两点，点P为y轴右侧抛物线上不与点B重合的一动点，作PD⊥x轴于点D，交直线OB于点C，交直线AB于点E，设点P的横坐标为m.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接PA，当点P在AB上方，∠APE＝∠ABO 时，求点P的坐标．
（3）令d＝PC－CD．
① 求d关于m的函数解析式；
② 当CE≥OA时，请直接写出d的取值范围．
备用图
图1
2024年秋季期末测试九年级数学参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)
11. 72° 12.y＝－(x－1)2（答案不唯一） 13. 14.3 15. 1
三、解答题(本大题共9个小题，共75分)
16.解：a＝1，b＝－4，c＝－7．……………………………………………………………………1分
△＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0． ………………………………………………2分
………………………………………………………………………………3分
．………………………………………………………………………5分
即，．…………………………………………………………………6分
17.证明：∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点，
∴AD＝CD＝AB．…………………………………………1分
∵∠B＝30°，
∴AC＝AB．………………………………………………2分
∵将△BCD绕点C顺时针方向旋转60°，得到△FCE，
∴CD＝CE，∠DCE＝60°．………………………………3分
∴△CDE是等边三角形．………………………………4分
∴CD＝CE＝DE．
∴AC＝AD＝DE＝CE．…………………………………………5分
∴四边形ADEC是菱形．……………………………………6分
18. 解：由题意知，x1＋x2＝－4，x1x2＝－m2． ………………………………………………2分
因为x1＋x2＋x1x2＝4m，
所以－4－m2＝4m． …………………………………………………………………………3分
解得，m1＝m2＝－2． …………………………………………………………………………5分
因为△＝42－4×1（－m2）＝16＋4m2＞0，
所以m＝－2． …………………………………………………………6分
19.解：∵∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P，
∴△PQR∽△PST．………………………………………………2分
∴．…………………………………………………………4分
即，．………………………………5分
PQ ×90＝(PQ＋45) ×60．…………………………………………6分
解得PQ＝90 (m)．……………………………………………………7分
答：河宽大约为90 m．…………………………………………8分
20.解：(1)当x＝0时，y＝x2＋2x－3＝－3，
所以C (0，－3) ．……………………………………………………2分
当y＝0时，x2＋2x－3＝0，
解得x1＝－3，x2＝1．………………………………………………3分
所以A (－3，0) ，B (1，0) ．……………………………………4分
当x＝时，…………………………………………5分
y＝x2＋2x－3＝－4．
所以D (－1，－4)．………………………………………………6分
(2)－4＜m＜－3．……………………………………………………8分
21.(1) 证明：连接OC．
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO＝90°．……………………………………………………1分
∵ OA＝OC，OD⊥AC，
∴∠AOP＝∠COP．………………………………………………2分
∵OP＝OP，
∴△AOP≌△COP．………………………………………………3分
∴∠PCO＝∠PAO＝90°．
∴OC⊥PC．
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．………………………………………………4分
(2) 解：连接BC．
∵OD⊥AC，
∴AD＝CD＝AC＝．…………………………………………5分
OC＝＝2．
∵OA＝OB，
∴BC＝2OD＝2．
∴OB＝OC＝BC．
∴∠BOC＝60°．……………………………………………………6分
∴∠F＝90°－∠BOC＝30°，
∠BAC＝∠BOC ＝30°．……………………………………7分
∴∠F＝∠BAC．
∴CF＝AC＝．
∴S阴影＝S△OCF －S扇形OBC＝－＝．…8分
22.解：任务1：设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2．……………………………………1分
由题意可知，抛物线经过点（3，－4.5）……………………………………………………2分
可得，－4.5＝a×32．…………………………………………………………………………3分
a＝－．
所以抛物线的函数解析式为y＝－x2．……………………………………………………4分
任务2：当水面上升2.5 m时，水面的纵坐标为－2．……………………………………5分
由y＝－x2＝－2，
解得x1＝2，x2＝－2．…………………………………………………………………………6分
6－2×2＝2．
答：水面宽度减少2m．…………………………………………………………………………7分
任务3：当游船顶部A，D刚好在抛物线上时，游船不能从桥下通过，
此时，点D的横坐标为1．……………………………………………………………………8分
当x＝1时，y＝－x2＝－0.5………………………………………………………………9分
－0.5－1.5－（－4.5）＝2.5．
答：当水面比正常水位至少上升2.5 m时，游船满载不能从桥洞通过． ………………10分
23.解：（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
图1
∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，
即∠ACD＝∠BCE．…………………………………………1分
∵AC＝BC，DC＝EC，
∴△ADC≌△BEC．…………………………………………4分
（2）∵∠ACB＝90°，
∴AC2＋BC2＝AB2，AC2＋CF2＝AF2．
∵AC＝BC，AB＝，
∴ AC2＋AC2＝()2＝18．
∴AC＝＝3．………………………………………………5分
∴AF＝＝．
∵AD∥CE，
图2
∴∠ADC＝∠DCE＝90°．
∴∠ADC＝∠ACB．
∵∠DAC＝∠CAF，
∴△ADC∽△ACF．…………………………………………6分
∴．
∴．………………………………………… 7分
∵△ADC≌△BEC，
∴．………………………………………… 8分
（3）方法一：如图3，延长AF交BE于点G．
∵△ADC≌△BEC，
∴∠BEC＝∠ADC＝90°，AD＝BE．
图3
∴∠BEC＝∠DCE＝∠CDG＝90°．
∴四边形CDGE是矩形．
∵CD＝CE，
∴四边形CDGE是正方形．…………………………………… 9分
∴CD＝EG＝DG，∠DGE＝90°．
∴∠CDF＝∠BGF＝90°，
DE＝．
∵∠DFC＝∠BFG，BF＝CF，
∴△CDF≌△BGF．
∴BG＝CD．……………………………………………………10分
∴BG＝EG＝BE，BD＝DE．
∴BD＝BE＝AD．……………………………………11分
方法二：设CF＝a．
∵点F是BC的中点，AC＝BC，
∴BF＝a，AC＝BC＝2a．
∵∠ACB＝90°，
∴AF＝＝a，AB＝＝a．…9分
∵∠DAC＝∠CAF，∠ADC＝∠ACB＝90°．
∴△ADC∽△ACF．
∴．
图3
∴a．………………………………………… 10分
∴DF＝AF－AD＝a．
∴，．
∴．
∵∠DFB＝∠BFA，
∴△DFB∽△BFA．
∴．
∴BD＝AB＝a．
∴＝．……………………………………………… 11分
24．解：(1) 把A(0，3)代入抛物线解析式得，c＝3． …………………………………………2分
把B(6，3)代入抛物线解析式得，3＝－36＋6b＋3． …………………………………………3分
解得，b＝6．
所以抛物线的解析式为y＝－x2＋6x＋3． ……………………………………………………4分
(2) 如图1，因为A(0，3)，B(6，3)，
所以AB∥x轴，∠BAO＝90°，OA＝3，AB＝6．……………5分
图1
因为PD⊥x轴，
所以∠PEA＝∠BAO＝90°．
因为∠APE＝∠ABO，
所以△APE∽△OBA．
所以，即PE＝2AE．…………………………………6分
由题意可知，P(m，－m2＋6m＋3)，E(m，3)，
所以PE＝－m2＋6m，AE＝m．
所以－m2＋6m＝2m．
解得，m1＝4，m2＝0（不合题意，舍去）．
所以m＝4．………………………………………………………7分
图2
(3) ①由O，B两点坐标可求得直线OC的解析式为y＝x．…8分
如图2，当点P在直线OC上方时，0＜m＜6．
PC＝－m2＋6m＋3－m＝－m2＋m＋3，CD＝m．
所以d＝(－m2＋m＋3)－(m)＝－m2＋5m＋3．……………9分
当点P在直线OC下方时，m＞6．
PC＝m－(－m2＋6m＋3)＝m2－m－3，CD＝m．
所以d＝(m2－m－3)－(m)＝m2－6m－3．…………………10分
图3
综上可知，d＝
②如图3，由d与m的图象可知3＜d≤或d≥13．………12分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内,写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
问题
背景
公园内有一抛物线型拱桥，某校九年级数学兴趣小组对该拱桥开展了探究活动．
图1
图2
图3
素材1
如图1，兴趣小组测得，在正常水位时拱顶离水面4.5m，水面宽6m．
素材2
公园投放游船供游客乘坐，图2是游船满载过桥洞时的横截面示意图，露出水面的船身为矩形ABCD，已知BC＝2 m，AB＝1.5 m．
素材3
如图3，以抛物线顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．
问题解决
任务1
求抛物线的函数解析式．
任务2
兴趣小组了解到，到了雨季水位会上涨，当水面比正常水位上升2.5m时，水面宽度减少多少？
任务3
当水面比正常水位至少上升多少米时，游船满载不能从桥洞通过？
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
B
C
B
B
D
D
A
C