湖北省襄阳市老河口市2022-2023学年九年级上学期期末水平测试数学试题（含详细答案）

湖北省襄阳市老河口市2022-2023学年九年级上学期期末水平测试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．方程的根的情况是(   )

A．没有实数根 B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根

2．抛物线的顶点坐标是（ ）

A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，2）

3．点 关于原点对称的点的坐标是（   ）

A． B． C． D．

4．如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（   ）

A． B． C． D．

5．如图，的弦，半径，垂足为D，且，则的半径等于（   ）

A．10 B．8 C．6 D．5

6．如图，，是的切线，A，B是切点，若，则的度数是（   ）

A．30° B．40° C．50° D．60°

7．如图，已知，，那么下列结论正确的是（   ）

A． B． C． D．

8．如图，△ABC中，，，则△ADE与△ABC的面积比为（    ）

A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：25

9．一个扇形的半径为6，弧长等于，则扇形的圆心角度数为（   ）

A． B． C． D．

10．如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论正确的是（   ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．方程的解是_____．

12．将抛物线向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是_____．

13．如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点恰好在的延长线上，则的度数为_____．

14．若正六边形的边心距为，则这个正六边形的半径为__．

15．如图，在中，，点D在边上，，则的长为_____．

16．如图，在中，，，点为腰中点，点在底边上，且，则的长为_____．

三、解答题

17．解方程：．

18．如图，点D，E分别在的边上，延长交于点F，且．求证：．

19．有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人．

20．如图，中，，垂足为D，．

(1)求的度数；

(2)若，求的半径．

21．已知关于x的一元二次方程．

(1)求证：该方程总有两个实数根；

(2)若该方程有两个正实数根，，且，求m．

22．如图，在中，，，点O在边上，经过点A和点B且与边相交于点E．

(1)求证：是的切线；

(2)若，求阴影部分的面积．

23．某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元，试销期间发现每天的销售量y（ 袋）与销售单价x（元/袋）之间满足一次函数，其中，另外每天还需支付其他各项费用元，设每天的利润为w元．

(1)求w与x的函数关系式；

(2)若每天获得元的利润，销售单价多少？

(3)每天的最大利润是多少？当利润最大时当天的销售量是多少？

24．如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A的对应点D落在上，交于点F，连接．

(1)求证：；

(2)求的度数；

(3)若，，求线段的长．

25．抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)当时，，求t的值

(3)点P是直线下方的抛物线上一动点，的面积为S，点P的横坐标为m．求与的函数关系式并求出的最大值．

参考答案：

1．A

【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．

【详解】解：∵，，

∴，

∴方程没有实数根，

故选：A．

【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．

2．D

【分析】根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解.

【详解】∵顶点式，顶点坐标是（h，k），

∴抛物线的顶点坐标是（1，2）．

故选：D．

3．B

【分析】根据关于原点对称的两个点的横、纵坐标互为相反数，即可得出答案．

【详解】解：∵点关于坐标原点对称的点的坐标为：．

∴点关于坐标原点对称的点的坐标是．

故选B．

【点睛】

本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．

4．B

【分析】首先根据旋转变换的性质求出，结合，即可解决问题．

【详解】解：如图，由题意及旋转变换的性质得：，

∵，

∴，

故选：B．

【点睛】本题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．

5．D

【分析】根据垂径定理知道，而，可以连接构造直角三角形，然后利用勾股定理可以得到关于半径的一个方程．

【详解】解：如图，连接，

∵，

∴D为的中点，，

设，则，

在中，，

∴，

解得，

故选：D．

【点睛】本题考查了垂径定理，解题关键在于利用垂径定理和勾股定理构造关于半径的方程．

6．B

【分析】由，是的切线,可得,根据等边对等角可得，从而可得．

【详解】解：是的切线,

，，即，

,

，

；

故选：B．

【点睛】本题主要考查的是切线的性质以及切线长定理，解决本题的关键是由，是的切线,可得．

7．D

【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．

【详解】解：，

，

，

，故A错误；

，故D正确；

根据平行线分线段成比例定理无法判定B，C，

故选：D．

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确理解平行线分线段成比例定理是解本题的关键．

8．D

【分析】先证明可得从而可得答案.

【详解】解： ，

而，

故选D

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，掌握“相似三角形的面积之比等于相似比”是解本题的关键.

9．C

【分析】根据弧长公式，其中n为圆心角，r为半径，代入数值即可求解．

【详解】解：根据题意得到，

解得，

即扇形的圆心角度数为．

故选：C

【点睛】此题考查了弧长公式，数量掌握弧长公式是解题的关键．

10．C

【分析】根据抛物线的开口方向和对称轴可得即可判断A；根据当，，得到，进而推出即可判断B、D；再根据函数图象可知抛物线与x轴有两个不相同的交点即可判断C．

【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，开口向下，

∴，

∴，故A不符合题意；

∵当，，

∴，故B不符合题意；

∴，故D不符合题意；

由函数图象可知抛物线与x轴有两个不相同的交点，

∴，故C符合题意；

∴故选C．

【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．

11．

【分析】利用因式分解法解方程即可得到答案．

【详解】解：∵，

∴或，

解得，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．

12．

【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答．

【详解】解：将抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为，

故答案为：．

【点睛】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的平移规律是解题的关键．

13．##80度

【分析】根据旋转的性质可得到，根据四边形的内角和即可得到的度数．

【详解】解：∵将绕点逆时针旋转，得到，

∴，，

∵，

∴，

∵，

∴

∴，

故答案为：

【点睛】本题考查了旋转的性质，四边形的内角和，邻角互补，掌握旋转的性质是解题的关键．

14．2

【分析】如图，连接OB、OC，过点O作于点H．由正六边形的性质可证明△BOC是等边三角形，即得出∠OBC＝60°．再由OH＝，结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可求出OB的长，即为这个正六边形的半径．

【详解】解：如图，连接OB、OC，过点O作于点H．

∵此六边形是正六边形，

∴∠BOC＝＝60°．

∵OB＝OC，

∴△BOC是等边三角形，

∴∠OBC＝60°，

由题意可知OH＝，

设BH＝x，则OB=2x，

∵在Rt△OBH中，，

∴，

解得：或（舍），

∴OB＝OC＝BC＝2，即这个正六边形的半径为2．

故答案为：2．

【点睛】本题考查正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理．正确的画出图形并连接辅助线是解题关键．

15．6

【分析】利用等腰三角形的性质可证，则，证明，然后利用相似三角形的性质求出的长，最后计算即可．

【详解】∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

∴，

∴．

故答案为：6．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．

16．

【分析】过作于点，交于点，连接，证明得出，由，得出，进而得出，即可求解．

【详解】解：如图所示，过作于点，交于点，连接，

∵，，

∴,,

∵点为腰中点，，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵分别是的中点，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．

17．

【分析】方法一：利用因式分解法求解即可；

方法二：利用配方法求解即可；

方法三：利用公式法求解即可．

【详解】解：方法一：

因式分解，得．

  或．

∴；

方法二：

移项，得．

配方，得

．

直接开平方，得．

∴；

方法三：

．

．

∴

∴．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

18．见解析

【分析】首先根据题意得到，然后证明出，最后利用相似三角形的性质求解即可．

【详解】解：∵，

∴．

又∵，

∴．

∴．

∴．

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

19．8人．

【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，则：

 1+x+(1+x)x=81  

∴， ( 舍 )

答：每轮传染中平均一个人传染了8人．

20．(1)

(2)4

【分析】（1）连接，根据垂径定理可得，，再根据，即可得出答案；

（2）设，则，根据，解得即可．

【详解】（1）解：连接，

∵，

∴，    

∴，    

∵，   

∴；

（2）∵，，

∴，，  

∴，

设，则，

∴，

解得，（负值舍去），

∴，即⊙O的半径为4．

【点睛】本题是圆与三角形的综合题，考查垂径定理、圆心角与圆周角的关系、勾股定理、含的直角三角形边角关系，熟练掌握其性质是解题的关键．

21．(1)见解析

(2)1

【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求证；

（2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．

【详解】（1）证明：由题意可得：

；

∴该方程总有两个实数根；

（2）解：由一元二次方程根与系数的关系，得，．

∵，

∴．

解得．    

∵，

∴，即，

∴．

【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键．

22．(1)见解析

(2)

【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质可得，即有，进而可得，问题随之得证；

（2）根据角度可得，进而可得，，在中，，再根据计算即可．

【详解】（1）连接，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵是的半径，

∴是的切线

（2）∵，，

∴，

∵，，，

∴，，

在中，，

∴．

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，扇形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．

23．(1)

(2)若每天获得160元的利润，销售单价4元/袋．

(3)每天的最大利润是240元，当利润最大时当天的销售量是160袋．

【分析】（1）根据题意列出二次函数求解即可；

（2）根据题意列出一元二次方程进行求解即可；

（3）首先将二次函数转化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可．

【详解】（1）

．

（2）  

解方程，得．

∵，

∴．

答：若每天获得160元的利润，销售单价4元/袋．

（3），

∵，，

∴当时，w取最大值为240．

此时．

答：每天的最大利润是240元，当利润最大时当天的销售量是160袋．

【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数方程的应用，解决本题的关键是列出正确的方程进行求解．

24．(1)见解析

(2)90°

(3)

【分析】（1）因为绕点C逆时针旋转得到，所以，，即可证明；

（2）根据绕点C逆时针旋转得到，然后证明，接着推出，最后根据即可得出答案；

（3）根据已知条件证明，接着证明，最后在中利用勾股定理求出，即可求出．

【详解】（1）绕点C逆时针旋转得到，

，

，    

．

（2）绕点C逆时针旋转得到，

，，，，  

，

，  

，   

，

，

．

（3），

，   

，

，

，

，  

，

，

，

，

，

，

在中，，

．

【点睛】本题考查了旋转的性质、相似三角形的定理与性质和勾股定理等知识，掌握及灵活运用以上知识是解题的关键．

25．(1)

(2)或

(3)，当，S的值最大为．

【分析】（1）将A、B点的坐标代入函数解析是即可求解、，从而求出函数解析式；

（2）的对称轴为，最小值为，，分别当和当情况讨论，求出符合条件的的值；

（3）作轴交于E，设，，可得，根据三角形面积公式求出二次函数解析式，然后根据二次函数性质求解即可．

【详解】（1）解：根据题意，得    

解得     

∴抛物线的解析式为．

（2）解：．     

∵当时，，

∴当，即时，时，．

即．

解得，，（舍去）．

当，即时，时，．

即．

解得，，（舍去）．

综上可知，或．

（3）解：当时，．

∴ ．

设直线的解析式为．

则

解得

∴直线的解析式为.      

作轴于点 ，交于点 E．

则．

∴  

∵，，

∴当时，S的值最大为．

【点睛】

本题考查了二次函数的综合应用、待定系数法求函数解析式、三角形面积等知识点，掌握方程和分类讨论思想的运用是解题的关键．