广西壮族自治区北海市2025届九年级上学期1月期末考试数学试卷(含解析)

这是一份广西壮族自治区北海市2025届九年级上学期1月期末考试数学试卷(含解析)，共14页。试卷主要包含了 在中，若，，则的度数是， 如图，，若，，则的长为等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 满分：120分）
注意事项：
1.答题前，考生务必将姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上．
2.考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效．
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单选题（每题3分，共36分）
1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解：A．，含有两个未知数，不一元二次方程，故此选项不符合题意；
B．，最高次数是3，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C．是一元二次方程，故此选项符合题意；
D．是分式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
故选：C．
2. 的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解：．
故选A．
3. 下列哪个点在反比例函数的图象上（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解：A．∵，∴不在反比例函数的图象上；
B．∵，∴在反比例函数的图象上；
C．∵，∴不在反比例函数的图象上；
D．∵，∴不在反比例函数的图象上；
故选B．
4. 如果两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形的周长之比为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解：∵两个相似三角形的相似之比为，相似三角形对应边上的高的比等于相似比，
∴这两个三角形的周长之比为，
故选：C．
5. 在中，若，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解：∵在中，若，，
∴，
故选；B．
6. 已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解：∵是关于的一元二次方程的一个解，
∴，
解得：，
故选：C．
7. 如图，点是反比例函数图像上任意一点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足为，，则四边形的面积为（ ）

A. 1.5B. 3C. 6D. 9
答案：B
解：设，
轴，轴，，
四边形是矩形，
故选：B．
8. 如图，，若，，则的长为（ ）
A. 6B. 9C. 12D. 15
答案：C
解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选C．
9. 某校自启动“书香校园•悦读成长”工程以来，成效显著，形成人人爱读书良好氛围．该校图书馆三月份借出图书本，五月份借出图书本，设这两个月借出的图书平均每月增长率为，则下列列出的方程正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
答案：B
解：设四、五月份借出的图书每月平均增长率为，则四月份借出图书本，五月份借出图书本，
根据题意得：，
故选：．
10. 随着芯片技术的飞速发展，电子元器件产业也随之蓬勃发展，质检部门从3000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品，试据此估计这批电子元件中次品数量大约为（ ）
A. 2B. 6C. 20D. 60
答案：D
解：（件），
即这批电子元件中大约有60件次品，
故选：D．
11. 如图，小明在某一时刻测得旗杆在阳光下的影子长为10米，且由C处测得旗杆顶端A的仰角为，则旗杆的长度为（ ）米．

A. B. C. D.
答案：B
解：∵旗杆⊥影子，
∴．
在中，
∵，
∴．
故选：B．
12. 如图，光是沿直线传播的，一根竖直的木条距离墙壁4米，光源距离木条2米，保持光源不动，要使木条影子的高度变为原来的2倍，则光源与木条的距离应（ ）
A. 增加1米B. 减少1米C. 增加0.5米D. 减少0.5米
答案：B
解：如图：点为光源，为木条，表示木条影子，则，作，延长交于，则，根据题意知米，米，
，
，，
，
，
米，米，
，
令，则，
保持光源不动，要使木条影子的高度变为原来的2倍，如图，
即，则，，
，则，
米，
光源与木条的距离应减少米，
故选：B．
二、填空题（每题3分，共12分）
13. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AB＝5cm，那么，csB＝________．
答案：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以csB＝=，
故填．
14. “碧波深处藏珍宝，珠城扇贝名远扬”，如图是两个形状相同的扇贝图案，则图中的值为______．
答案：
解：由题意得两个图形相似，
，
解得：．
故答案为：．
15. ______．
答案：3
解：．
故答案为：3．
16. 在欧几里得的《几何原本》中，形如关于的一元二次方程的图解法是：如图1，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．根据上述图解法作出关于的一元二次方程的图解，如图2，若，则的值为______．
答案：6
解：∵，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：6．
三、解答题（本大题共7题，共72分）
17. 解方程：
答案：x1=-4，x2=-2
∴x+4=0或x+2=0
解得x1=-4，x2=-2．
18. 如图，已知，相交于点，，，，．求证：．
证明：，，
，
又，
．
19. 北海市是广西的三个“国家历史文化名城”之一，历史悠久，文化底蕴丰厚．为让同学们更好地了解北海市的历史文化，某中学举行了一次“北海市历史文化知识竞赛”，600名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛学生的得分情况，现从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计．请你根据下面的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，解答下列问题：
学生成绩频数分布表
（1）频数分布表中______，______，补全频数分布直方图；
（2）求组所在的扇形圆心角的度数；
（3）若成绩在80分以上（不含80分）为优秀，估计该校成绩达到优秀的学生有多少人？
答案：（1）8，40，见解析
（2）
（3）人
【小问1详解】
解：频数分布表中，，补全频数分布直方图，
；
【小问2详解】
解：由（1）可知，抽取的样本容量是，
的百分比为．
扇形的圆心角的度数；
【小问3详解】
解：成绩达到优秀的学生有（人），
答：估计该校成绩达到优秀的学生有人．
20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点．
（1）求出反比例函数和一次函数的表达式；
（2）观察图象，直接写出当反比例函数值大于一次函数值时的取值范围．
组别
分数段
频数
A
4
B
C
12
D
10
E
6
合计
答案：（1），
（2）或
【小问1详解】
解：将点代入，得，
则反比例函数的表达式为，
将点，代入得，
解得，
则一次函数的表达式为；
【小问2详解】
解：当反比例函数值大于一次函数值时，的取值范围是或．
21. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，已知在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）把先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，画出平移后的；
（2）以原点为位似中心，在轴的左侧画出将放大为原来的2倍后的．
答案：（1）见解析 （2）见解析
【小问1详解】
解：如图即为所求图形；
【小问2详解】
解：如图即为所求的图形．
22. 如图是一张长40cm、宽24cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸盒．

（1）这个无盖纸盒的长为 cm，宽为 cm；（用含x的式子表示）
（2）若要制成一个底面积是720 的无盖长方体纸盒，求x的值．
答案：（1）40-2x， 24-2x；（2）x的值为2．
解：（1）∵纸板是长为40cm，宽为24cm的矩形，且纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，
∴无盖纸盒的长为（40-2x）cm，宽为（24-2x）cm．故答案为40-2x， 24-2x；
（2）依题意，得：（40-2x）（24-2x）=720，
解得：x1=2，x2=30（不合题意，舍去）．
答：x的值为2．
故答案为（1）40-2x， 24-2x；（2）x的值为2．
23. 【问题提出】在等腰中，，，点为中点，以点为顶点作，使，角的两边分别交，于点，，连接，探究点到所在直线的距离．
问题探究】
（1）当点和点重合时，如图2，请你直接写出点到所在直线的距离：______（用含的式子表示）；
（2）当点、点都不和点重合时，如图1，经探究发现和相似，请你证明：；
（3）在（2）的条件下，你能猜想此时点到所在直线的距离（用含的式子表示）吗？请写出你的猜想并写出证明过程．
答案：（1）
（2）见解析 （3），见解析
【小问1详解】
解：，，为中点，
，，，
，
，
，
点到线段的距离即为的长，
，
；
故点到所在直线的距离为：；
故答案为： ．
【小问2详解】
证明：，
，
，
；
【小问3详解】
解：点到所在直线的距离为；
证明：作于点，于点，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，即点到所在直线的距离为．