广西壮族自治区北海市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷（解析版）

这是一份广西壮族自治区北海市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每题3分，共36分）
1.下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】A.，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B.，最高次数是3，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C.是一元二次方程，故此选项符合题意；
D.是分式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意.
故选：C.
2.的值为（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】.
故选A.
3.下列哪个点在反比例函数的图象上（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】A.∵，∴不在反比例函数的图象上；
B.∵，∴在反比例函数的图象上；
C.∵，∴不在反比例函数的图象上；
D.∵，∴不在反比例函数的图象上；
故选B.
4.如果两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形的周长之比为（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】∵两个相似三角形的相似之比为，相似三角形对应边上的高的比等于相似比，
∴这两个三角形的周长之比为，
故选：C.
5.在中，若，，则的度数是（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】∵在中，若，，
∴，
故选：B.
6.已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值是（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】∵是关于的一元二次方程的一个解，
∴，解得：，
故选：C.
7.如图，点是反比例函数图像上任意一点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足为，，则四边形的面积为（ ）

A.1.5B.3C.6D.9
【答案】B
【解析】设，
轴，轴，，
四边形是矩形，
故选：B.
8.如图，，若，，则的长为（ ）
A.6B.9C.12D.15
【答案】C
【解析】∵，∴，
∵，，，∴，∴，
故选：C.
9.某校自启动“书香校园•悦读成长”工程以来，成效显著，形成人人爱读书的良好氛围.该校图书馆三月份借出图书本，五月份借出图书本，设这两个月借出的图书平均每月增长率为，则下列列出的方程正确的是（ ）.
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】设四、五月份借出的图书每月平均增长率为，则四月份借出图书本，五月份借出图书本，根据题意得：，
故选：.
10.随着芯片技术的飞速发展，电子元器件产业也随之蓬勃发展，质检部门从3000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品，试据此估计这批电子元件中次品数量大约为（ ）
A.2B.6C.20D.60
【答案】D
【解析】（件），即这批电子元件中大约有60件次品，
故选：D.
11.如图，小明在某一时刻测得旗杆在阳光下的影子长为10米，且由C处测得旗杆顶端A的仰角为，则旗杆的长度为（ ）米.
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】∵旗杆⊥影子，∴.
在中，∵，∴.
故选：B.
12.如图，光是沿直线传播的，一根竖直的木条距离墙壁4米，光源距离木条2米，保持光源不动，要使木条影子的高度变为原来的2倍，则光源与木条的距离应（ ）
A.增加1米B.减少1米C.增加0.5米D.减少0.5米
【答案】B
【解析】如图：点为光源，为木条，表示木条影子，则，作，延长交于，则，根据题意知米，米，
，
，，
，
，
米，米，
，
令，则，
保持光源不动，要使木条影子的高度变为原来的2倍，如图，
即，则，，
，则，
米，
光源与木条的距离应减少米，
故选：B.
二、填空题（每题3分，共12分）
13.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AB＝5cm，那么，csB＝ .
【答案】
【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以csB＝=，
故答案为：.
14.“碧波深处藏珍宝，珠城扇贝名远扬”，如图是两个形状相同的扇贝图案，则图中的值为 .
【答案】
【解析】由题意得两个图形相似， ，解得：.
故答案为：.
15. .
【答案】3
【解析】.
故答案为：3.
16.在欧几里得的《几何原本》中，形如关于的一元二次方程的图解法是：如图1，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根.根据上述图解法作出关于的一元二次方程的图解，如图2，若，则的值为 .
【答案】6
【解析】∵，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴.
故答案为：6.
三、解答题（本大题共7题，共72分）
17.解方程：
解：
∴x+4=0或x+2=0
解得x1=-4，x2=-2.
18.如图，已知，相交于点，，，，.求证：.
证明：，，
，
又，
.
19.北海市是广西的三个“国家历史文化名城”之一，历史悠久，文化底蕴丰厚.为让同学们更好地了解北海市的历史文化，某中学举行了一次“北海市历史文化知识竞赛”，600名学生参加了这次竞赛.为了解本次竞赛学生的得分情况，现从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计.请你根据下面的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，解答下列问题：
学生成绩频数分布表
（1）频数分布表中______，______，补全频数分布直方图；
（2）求组所在的扇形圆心角的度数；
（3）若成绩在80分以上（不含80分）为优秀，估计该校成绩达到优秀的学生有多少人？
解：（1）频数分布表中，，补全频数分布直方图，
；
（2）由（1）可知，抽取的样本容量是，
的百分比为.
扇形的圆心角的度数；
（3）成绩达到优秀的学生有（人），
答：估计该校成绩达到优秀的学生有人.
20.如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点.
（1）求出反比例函数和一次函数的表达式；
（2）观察图象，直接写出当反比例函数值大于一次函数值时的取值范围.
解：（1）将点代入，得，
则反比例函数的表达式为，
将点，代入得，
解得，
则一次函数的表达式为；
（2）当反比例函数值大于一次函数值时，的取值范围是或.
21.在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，已知在平面直角坐标系中的位置如图所示.
（1）把先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，画出平移后的；
（2）以原点为位似中心，在轴的左侧画出将放大为原来的2倍后的.
解：（1）如图即为所求的图形；
（2）如图即为所求的图形.
22.如图是一张长40cm、宽24cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸盒.

（1）这个无盖纸盒的长为 cm，宽为 cm；（用含x的式子表示）
（2）若要制成一个底面积是720 的无盖长方体纸盒，求x的值.
解：（1）∵纸板是长为40cm，宽为24cm的矩形，且纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，
∴无盖纸盒的长为（40-2x）cm，宽为（24-2x）cm.
故答案为40-2x， 24-2x；
（2）依题意，得：（40-2x）（24-2x）=720，
解得：x1=2，x2=30（不合题意，舍去）.
答：x的值为2.
故答案为（1）40-2x， 24-2x；（2）x的值为2.
23.【问题提出】在等腰中，，，点为中点，以点为顶点作，使，角的两边分别交，于点，，连接，探究点到所在直线的距离.
【问题探究】
（1）当点和点重合时，如图2，请你直接写出点到所在直线的距离：______（用含的式子表示）；
（2）当点、点都不和点重合时，如图1，经探究发现和相似，请你证明：；
（3）在（2）的条件下，你能猜想此时点到所在直线的距离（用含的式子表示）吗？请写出你的猜想并写出证明过程.
（1）解：，，为中点，
，，，
，
，
，
点到线段的距离即为的长，
，
；
故点到所在直线的距离为：；
故答案为：.
（2）证明：，
，
，
；
（3）解：点到所在直线的距离为；
作于点，于点，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，即点到所在直线的距离为.
组别
分数段
频数
A
4
B
C
12
D
10
E
6
合计