2025_2026学年广西壮族自治区钦州市浦北县九年级上学期1月期末数学试卷【附解析】

这是一份2025_2026学年广西壮族自治区钦州市浦北县九年级上学期1月期末数学试卷【附解析】，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题

1.真实情境 下面四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A.B.C.D.

2.下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A.抛掷一枚硬币，正面朝上
B.购买一张福利彩票，中奖
C.任意画一个三角形，其内角和为180∘
D.随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数

3.下列关系式中的y是x的反比例函数的是（ ）
A.y=3xB.y=1xC.y=2x2D.y=1x−1

4.将方程x(x+4)=0化成一元二次方程的一般形式，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A.0,4,0B.−1,4,0C.1,1,4D.1,4,0

5.将抛物线y=x2向下平移5个单位长度，得到新抛物线的解析式为（ ）
A.y=x2+5B.y=x2−5C.y=(x+5)2D.y=(x−5)2

6.已知−1是方程x2+2x+m=0的一个根，那么m的值是（ ）
A.−2B.−1C.1D.3
7.如图，点O是正五边形ABCDE的中心，⊙O是正五边形的外接圆，∠ADE的度数为（ ）
A.30∘B.32∘C.36∘D.40∘

8.如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘,AB=4,BC=3，将△ABC绕点A顺时针旋转90∘得到AB′C′，则CC′的长为（ ）
A.52B.2C.6D.42

9.四张背面完全相同的卡片上分别写有1、2、3、4四个数字，把卡片背面朝上洗匀后，王明从这四张卡片中随机选两张，则王明选中的卡片中有偶数的概率是（ ）
A.56B.34C.12D.23

10.如图，AB为⊙O的直径，半径OB的垂直平分线交⊙O于点C,D，交AB于点E，若AB=4，则CD的长为（ ）
A.3B.2C.23D.3

11.一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（单位：h）与行驶速度v（单位：kmh）成反比例关系，函数图象如图所示．若该路段限速80km/h，则汽车通过该路段至少需要（ ）
B.1hD.2h

12.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则反比例函数y=cx与一次函数y=ax+b在同一坐标系内的图象大致是（ ）
A.B. C.D.
二、填空题

13.抛物线y=4(x−2)2+9的顶点坐标是____________．

14.若x1,x2是一元二次方程x2−6x+1=0的两根，则x1x2的值为____________．

15.若扇形的圆心角为60∘，半径为2，则该扇形的弧长是____________（结果保留π）．

16.在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的9个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为30％，估计袋中黑球有_________________个．
三、解答题

17.解方程：
（1）x2+4x−1=0；
（2）(x−3)2+4(x−3)=0．

18.小明学习物理《电流和电路》后设计如图所示的一个电路图，其中S1、S2、S3分别表示三个可开闭的开关，“⊗”表示小灯泡，“ ”表示电池．
（1）当开关S1闭合时，再随机闭合开关S2或S3其中一个，直接写出小灯泡发光的概率；
（2）当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，试用树状图或列表法求小灯泡发光的概率．

19.已知反比例函数y=kx的图象经过点A(−4,−2)．
（1）求反比例函数表达式，并在平面直角坐标系中直接画出该图象；
（2）若点B(m,m−2)在该函数图象上，求m的值．

20.已知：抛物线与直线y=x+3分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点A和点C，且抛物线的对称轴为直线x=−2．
（1）求出抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标．
（2）试确定抛物线的解析式．
（3）观察图象，请直接写出二次函数值小于一次函数值的自变量x的取值范围．

21.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，以AC为直径作⊙O，交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点E．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若CF=2，DF=4，求⊙O的半径．

22.2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元．
（1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？
（2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）在(2)的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价-进价）

23.综合与实践．
【问题初探】(1)如图1，在△ABC中，BA=4，BC=6，BD为AC边上的中线，求BD的取值范围．解答这个问题，我们可以将△ABD绕点D旋转180∘，得到△CED，则BD的取值范围可解．请作出△CED并直接写出BD的取值范围；
【问题解决】(2)如图2，P为等边三角形内一点，满足PB=1，PA=2，PC=3，试求∠BPA的大小（提示：将△BPA绕点B顺时针旋转60∘）；
【问题拓展】(3)如图3，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD边上的点，且满足∠EAF=45∘，AB=2，BE+DF=3，求△AEF的面积．
参考答案与试题解析
2025-2026学年广西壮族自治区钦州市浦北县九年级上学期1月期末数学试题
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
中心对称图形
【解析】
本题考查中心对称图形的识别，解题的关键是掌握中心对称的定义，把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形计算中心对称图形，即可．
【解答】
解：A、 不是中心对称图形，不符合题意；
B、 是轴对称图形，不符合题意；
C、 是中心对称图形，不符合题意；
D、 是轴对称图形，符合题意．
故选：C．
2.
【答案】
C
【考点】
事件的分类
【解析】
本题考查必然事件、不可能事件，随机事件，理解必然事件、不可能事件，随机事件的意义是正确判断的前提．
根据必然事件、不可能事件，随机事件的意义，结合具体的问题情境进行判断即可．
【解答】
解：A．抛掷一枚硬币，可能正面朝上，也可能背面朝上，它是随机事件，因此选项A不符合题意；
B．购买一张福利彩票会中奖是随机事件，因此选项B不符合题意；
C．任意画一个三角形，其内角和是180∘是必然事件，所以选项C符合题意；
D．随意翻到一本书的某页，这页的页码可能是奇数，有可能是偶数，因此是随机事件，因此选项D不符合题意；
故选：C．
3.
【答案】
B
【考点】
根据定义判断是否是反比例函数
【解析】
本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如y=kx(k≠0)的函数叫做反比例函数．据此逐一判断即可．
【解答】
解：y=3x，y=2x2，y=1x−1都不符合反比例函数的定义，不是反比例函数，
y=1x是反比例函数，
故选：B．
4.
【答案】
D
【考点】
一元二次方程的定义
【解析】
此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．方程整理后为一般形式，找出二次项系数与一次项系数、常数项即可．
【解答】
解：将方程x(x+4)=0化成一元二次方程的一般形式为x2+4x=0，
则二次项系数为1，一次项系数为4，常数项为0，
故选：D．
5.
【答案】
B
【考点】
二次函数图象的平移规律
【解析】
本题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】
解：将抛物线y=x2向下平移5个单位所得直线解析式为：y=x2−5；
故选：B．
6.
【答案】
C
【考点】
此题暂无考点
【解析】
本题主要考查一元二次方程的解的定义，关键是把x=−1代入方程构建含参数的方程求解即可．
根据一元二次方程的解的定义把x=−1代入方程得到关于m的方程1−2+m=0，然后解此一次方程即可．
【解答】
解：∵一元二次方程x2+2x+m=0的一个根是−1，
∴把x=−1代入方程得1−2+m=0，解得：m=1，
故选：C．
7.
【答案】
C
【考点】
求正多边形的中心角
圆周角定理
【解析】
连接OA，OE，由圆的内接正多边形先得到中心角的度数，再由圆周角定理即可求得∠ADE的度数．
【解答】
如上图所示，连接OA，OE
∵五边形ABCDE是正五边形
∴∠AOE=15×360∘=72∘
∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆
∴∠ADE=12×∠AOE=36∘
故选：C．
8.
【答案】
A
【考点】
根据旋转的性质求解
勾股定理的应用
【解析】
本题考查旋转变换和勾股定理，在Rt△ABC中，由勾股定理解得AC的长，再根据旋转的性质得到， AC′=AC=5,∠CAC′=90∘，在 Rt△CAC′中再利用勾股定理解得CC′的长即可．
【解答】
解：∵∠B=90∘,BC=3,AB=4，
在Rt△ABC中， AC=AB2+BC2=5
由旋转的性质得 AC′=AC=5,∠CAC′=90∘
在 Rt△CAC′中，CC′=AC2+AC′2=52
故选：A．
9.
【答案】
A
【考点】
列表法与树状图法
【解析】
画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【解答】
解：树状图如图所示，
一共有12种等可能性，其中王明选中的卡片中有偶数的可能性有10种可能性，
故王明选中的卡片中有偶数的概率为：1012=56，
故选：A．
10.
【答案】
C
【考点】
利用垂径定理求值
勾股定理的应用
【解析】
本题考查了垂径定理和垂直平分线的性质，运用勾股定理求出OE的长是解决问题的关键．
连接OC，根据垂径定理和垂直平分线的性质得CE=CD,OE=1，根据勾股定理得OE2+CE2=OC2，求出CE=3，即可得答案．
【解答】
解：如图，连接OC，
∵AB为⊙O的直径，CD垂直平分OB，
∴CE=12CD,OE=BE=14AB=1，
∵OE2+CE2=OC2，
∴12+CE2=22，
∴CE=3，
∴CD=23，
故选：C．
11.
【答案】
A
【考点】
待定系数法求反比例函数解析式
反比例函数的应用
【解析】
本题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系．
把点A(40,1)代入t=kv，求得k的值，再把v=80代入t=40v，求出t的值即可．
【解答】
解：设t=kv，
由题意得，函数经过点(40,1)，
把(40,1)代入t=kv，得k=40，
则解析式为t=40v，
再把v=80代入t=40v，得t=4080=0.5，
则汽车通过该路段最少需要0.5h．
故选：A．
12.
【答案】
C
【考点】
根据二次函数的图象判断式子符号
反比例函数、二次函数图象综合判断
【解析】
根据二次函数图象与系数的关系，由抛物线对称轴的位置确定a0，由抛物线与y轴的交点位置确定c>0，然后利用排除法即可得出正确答案．
【解答】
解：∵二次函数的图象开口向下，
∴a0，c>0，
∴反比例函数y=cx的图象必在一、三象限，
一次函数y=ax+b的图象必经过一、二、四象限，故选项C符合题意．
故选：C．
二、填空题
13.
【答案】
(2,9)
【考点】
y=a（x-h）²+k的图象和性质
【解析】
本题考查了二次函数的顶点式；根据抛物线的顶点式可直接得出答案．
【解答】
解：抛物线y=4(x−2)2+9的顶点坐标为(2,9)，
故答案为：(2,9)．
14.
【答案】
【考点】
根与系数的关系
【解析】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系，求出两根之积．根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之积为ca求解．
【解答】
解：∵一元二次方程x2−6x+1=0的两根为x1、x2，
∴x1x2=11=1．
故答案为：1 ．
15.
【答案】
23π
【考点】
求弧长
【解析】
本题考查了弧长公式的运用．关键是熟悉公式：扇形的弧长=nπr180．已知扇形的圆心角为60∘，半径为2，代入弧长公式计算．
【解答】
解：依题意，n=60，r=2，
∴扇形的弧长=nπr180=60π×2180=23π．
故答案为：23π．
16.
【答案】
【考点】
已知概率求数量
利用频率估计概率
【解析】
本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸到白球的概率约为30％，进而根据概率计算公式求出袋子中球的总数即可得到答案．
【解答】
解：∵通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为30％，
∴摸到白球的概率约为30％，
∴袋子中一共有9÷30％=30个球，
∴估计袋子中黑球的有30−9=21个，
故答案为：
三、解答题
17.
【答案】
x1=−2+5，x2=−2−5
x1=3，x2=−1
【考点】
解一元二次方程-因式分解法
解一元二次方程-配方法
【解析】
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】
（1）解：x2+4x−1=0，
∴x2+4x+4−5=0，
∴(x+2)2−5=0，
∴(x+2)2=5，
∴x+2=5或x+2=−5，
解得：x1=−2+5，x2=−2−5；
（2）解：(x−3)2+4(x−3)=0，
∴(x−3)(x−3+4)=0，
即：(x−3)(x+1)=0，
∴x−3=0或x+1=0，
解得：x1=3，x2=−1．
18.
【答案】
12
23
【考点】
列表法与树状图法
根据概率公式计算概率
【解析】
（1）根据电路图可知，当开关S1闭合时，想要小灯泡发光，只有闭合S3，从而可得出随机闭合开关S2或S3其中一个，小灯泡发光的概率；
（2）用树状图或列表法列出所有的情况，再找出能让小灯泡发光的情况，利用概率公式求解即可．
【解答】
（1）解：当开关S1闭合时，想要小灯泡发光，只有闭合S3，
∴随机闭合开关S2或S3其中一个，小灯泡发光的概率为12；
（2）法一：画出树状图如下：
共有6种等可能结果，其中能使小灯泡发光的组合共有4种，故P（小灯泡发光）=46=23．
法二：
列表如下：
共有6种等可能结果，其中能使小灯泡发光的组合共有4种，故P（小灯泡发光）=46=23．
19.
【答案】
y=8x，图见解析
m=4或m=−2
【考点】
解一元二次方程-因式分解法
待定系数法求反比例函数解析式
反比例函数的图象
【解析】
（1）将点A(−4,−2)代入y=kx求解即可；
（2）将点B(m,m−2)代入(1)求出的表达式中即可求出m的值．
【解答】
（1）解：∵反比例函数y=kx的图象经过A(−4,−2)．
将A(−4,−2)代入y=kx，得k=−4×(−2)=8．
∴反比例函数解析式为y=8x．
画出该图象如图所示；
（2）解：∵点B(m,m−2)在这个函数图象上，
∴把B(m,m−2)代入y=8x得m−2=8m，整理得m2−2m−8=0，
解得：m=4或m=−2．
20.
【答案】
点A的坐标为(−3, 0)，点B的坐标是(−1, 0)
y=x2+4x+3，(3)−3