初中人教版（2024）实际问题与二次函数学案

这是一份初中人教版（2024）实际问题与二次函数学案，共16页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

思维导图
学习目标
能够根据实际问题建立二次函数模型
掌握利用二次函数性质解决最值问题的方法
会分析抛物线型实际问题的特征
能综合运用二次函数知识解决利润、面积、运动轨迹等典型问题
知识点梳理
建模步骤
审题明确变量关系
设自变量和因变量
建立二次函数关系式
确定自变量取值范围
常见问题类型
利润最大化：总利润=单件利润×销售量（注意价格与销量的线性关系）
面积最值：利用几何图形面积公式建立二次函数
抛物线运动：高度与时间的关系h=at²+bt+c
材料优化：如围栏、包装等用料最少问题
解题关键
通过配方或公式法求顶点坐标
结合实际问题验证解的合理性
注意自变量的实际意义（如非负性、整数限制等）
易错点提醒
变量设定错误：混淆自变量与因变量
忽略定义域：未考虑实际问题中变量的限制条件
最值误判：将顶点纵坐标直接作为答案，未验证是否在定义域内
单位不统一：实际问题中未统一单位导致计算错误
模型建立错误：将线性关系误认为二次关系
计算错误：配方过程中符号错误或漏项
知识点小结
核心方法：
建立函数模型→求顶点坐标→验证实际意义
抛物线型问题注意对称性和最值点
关键技巧：
利润问题常设涨价x元，建立二次函数
面积问题优先用含单变量的表达式
运动问题注意初始高度（c值）和加速度
注意事项：
所有解必须符合实际问题的限制条件
复杂问题建议先画示意图辅助分析
计算结果需带回原题检验合理性
注：本节重点培养数学建模能力，需通过典型例题掌握建立二次函数模型的方法，特别注意实际问题的特殊要求与函数性质的结合运用。
巩固练习
一、选择题
1．某种商品的价格是20元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y(单位：元)随每次降价的百分率x的变化而变化，则y关于x的函数表达式是( )
A．y=20(x+1)2B．y=20(1-x)2C．y=(x+1)2D．y=(x-1)2
2．如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．设矩形菜园的边AB的长为xm，面积为Sm2，其中AD≥AB．有下列结论：
①S与x之间的函数关系式为S=−2x2+30x；
②x的取值范围是2≤x≤10；
③AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为100m2．
其中，正确的结论是（ ）
A．①②B．①②③C．②③D．①
3． 童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系y=−x2+50x−500，若要想获得最大利润，则销售单价x=（ ）
A．25元B．20元C．30元D．40元
4．某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“保”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求BC与地面平行，且BC∥AD，抛物线最高点的五角星（点E）到BC的距离为0.6m，BC=2m，AD=4m，如图2所示，则点C到AD的距离为（ ）
A．2mB．1.8mC．2.4mD．1.5m
5．如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y=−112x2+23x+53，则此运动员把铅球推出多远（ ）
A．12mB．10mC．3mD．4m
6．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心O点竖直安装一根水管，在水管的顶端A处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与水池中心O点的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心O点3m，则水管OA的高是（ ）
A．2mB．2.25mC．2.5mD．2.8m
7．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由15元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．15(1−x)2=9B．15(1−2x)2=9
C．15(1−x)=9D．15(1−2x)=9
二、填空题
8．2022年C919大型客机取得合格证，客机着陆后滑行距离g（单位：米）关于滑行时间t（单位：秒）的函数解析式是g=54t−32t2，则该飞机着陆后滑行最长时间为 秒．
9．某县推行“5+2”课后服务以后，教师的工作时间持续增加，已知第一周平均工作时长为40小时，到第三周时，平均工作时长为48.4小时，设这两周工作时长的平均增长率为x，则可列方程为 ．
10．市中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷泉管喷出的抛物线形水柱在与喷泉管的水平距离为12处达到最高，高度为3，在如图所示的平面直角坐标系中，这个喷泉管喷出的抛物线形水柱的函数关系式是 ．
11．小初进行投实心球练习，实心球的行进过程为抛物线形状，如图所示建立平面直角坐标系，实心球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y=−15x2+75x+85，则实心球推出的水平距离OB的长是 m．
12．如图是某抛物线型的拱桥示意图，已知该抛物线的函数表达式为y=−225x2+10，为了给行人提供生命保障，在该拱桥上距水面AB高为8米的点E、F处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离EF为 米.
13．某宾馆有 120 间标准房，当标准房价格为 100 元时，每天都客满，市场调查表明单间房价在 100∼150 元之间（含 100 元， 150 元）浮动时，每提高 10 元，日均入住数减少 6 间。如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到 元时，客房的日营业收入最大。
14．如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=−0.02x2+0.3x+1.6的图象，点B6，2.68在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD=4m，高DE=1.8m的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．
15．如图，线段AB=8cm，C是AB上一点，D，E分别是AC的三等分点，分别以AD，DE，EC，CB为边作正方形，设AD为xcm，四个正方形的面积之和为S．
（1）S关于x的函数表达式为 ，自变量的取值范围是
（2）当AD= 时，四个正方形的面积之和最小，最小值是 cm2．
三、解答题
16．综合实践：测量拱形门建筑的高度．
素材：如图1是一个抛物线形状的拱形门建筑，某校数学学习小组计划测量该拱形门相关数据从而计算其高度．如图2是其正面示意图，设该拱形门与地面的交点为A，B，且AB=20m．在点A右侧1m的点C处，测得拱形门上点D到地面的距离CD为3.8m．
任务1：请在图2中建立合适的直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式．
任务2：求出拱形门建筑最高点到地面的距离．
17．如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米．
（1）求水流运行轨迹的函数解析式；
（2）若在距喷灌架12米处有一棵3.5米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明．
18．调查了某城市近20个月的商品房价格，与上年同期相比，房价增长率y(%)与月份序号x近似地满足二次函数关系y=-0.25x2+3x．
（1）哪个月房价年增长率最高？哪几个月房价年增长率y随x的增加而增加？
（2）第几个月房价相当于上年同期水平？
19．如图，上午7：00，一列火车在A城的正北200km处以100km/h的速度匀速驶向终点站A城，同时，一辆小汽车在A城的正东100km处以100km/h的速度匀速向正西的目的地B行驶，两车同时到达各自的目的地．设两车出发t小时时，它们间的距离为s千米．
（1）求s关于t的函数表达式，并写出t的取值范围．
（2）设两车出发t1，t2小时时，对应的两车间的距离分别为s1，s2，若t1>t2≥1，比较s1，s2的大小．
（3）当s=s3时，只有唯一一个t与其对应，求所有满足条件的s3对应的t的范围．
20．已知：如图，抛物线y=ax2+4x+c经过原点O(0,0)和点A(3,3)，P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为B(m,0)，并与直线OA交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值；
（3）过点A作AD⊥x轴于点D，在抛物线上是否存在点P，使得以P、A、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
21． 如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的A处射门，已知球门高OB为2.44m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m．
现以O为原点，如图建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线表示的二次函数解析式；
（2）通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（3）若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向正后方移动 米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．
22．戴口罩是阻断呼吸道病毒传播的重要措施之一，某商家对一款成本价为每盒50元的医用口罩进行销售，如果按每盒70元销售，每天可卖出20盒．通过市场调查发现，每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒．
（1）若每盒售价降低x元，则日销量可表示为___________盒，每盒口罩的利润为___________元．
（2）若商家要使日利润达400元，又想尽快销售完该款口罩，问每盒售价应定为多少元？
（3）当每盒售价定为多少元时，商家可以获得最大日利润？并求出最大日利润．
参考答案
1．B
2．D
3．A
4．B
5．B
6．B
7．A
8．18
9．40(1+x)2=48.4
10．y=−12x−122+3
11．8
12．10
13．150
14．能
15．（1）S=12x2-48x+64；00，
∴当30，s1>s2；
当t1+t2=3时，s12-s22=0，s1=s2；
当2