福建省厦门市杏南中学2024--2025学年上学期八年级数学期中质量检测卷（解析版）-A4

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1. 下列四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键．
根据轴对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合要求；
B、不是轴对称图形，故不符合要求；
C、是轴对称图形，故符合要求；
D、不是轴对称图形，故不符合要求；
故选：C．
2. 点关于y轴的对称点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了关于轴对称点的坐标，根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案，关键是掌握点的坐标的变化规律．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是．
故选：C．
3. 下列算式中，结果等于是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】A、a4与a2不是同类项，不能计算，故A错误；
B、a2+a2+a2=3a2，故B不正确；
C、a2•a3= a5，故C不正确；
D、a2•a2•a2=a6，故D正确．
故选D．
【点睛】此题主要考查了合并同类项和同底数幂相乘的意义，解题关键是：①根据同类项的特点，灵活判断是否为同类项，然后合并同类项；②同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
4. 一木工将一根长100厘米的木条锯成40厘米与60厘米，要另找一根木条，钉成一个三角形木架，应选择下列哪一根（ ）
A. 10厘米B. 30厘米C. 100厘米D. 110厘米
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．易求得第三边长的取值范围，看选项中哪个适合这个范围即可．
【详解】解：设第三边的长x，则，
∴，
满足条件的只有厘米，
故选：B．
5. 如图，已知，点，点分别是，延长线上一点，若，则指的是图中的（ ）．

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形外角的性质得出答案即可．
【详解】解：∵为的外角，
∴，
∵，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
6. 如图，已知，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角相等进而求出答案，熟练掌握三角形内角和定理及全等三角形的性质是解题关键．
【详解】解：∵
∴，
∵，
∴．
故选：B．
7. 如图，太阳光线平行照射在正五边形的物体上，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了正多边形内角和定理，三角形内角和定理，平行线的性质，根据正多边形内角和定理求出的度数，再根据三角形内角和定理求出的度数，然后由平行线的性质可得答案．
【详解】解：如图：

∵五边形是正五边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选B．
8. 如图，在三角形纸片中，，把三角形纸片沿直线折叠，点落在边上的点处，那么下列等式成立的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意证得，，，由三角形外角的性质及等角对等边 ，据此即可求解．
【详解】∵是由沿直线折叠而成，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质、翻折变换（折叠问题），折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
9. 如图，，，点，，则点B的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过C和B分别作CD⊥OD于D，BE⊥CD于E，利用已知条件可证明△ADC≌△CEB，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标．
【详解】解：过C和B分别作CD⊥OD于D，BE⊥CD于E，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°，∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴DC＝BE，AD＝CE，
∵点C的坐标为（1，2），点A的坐标为（﹣2，0），
∴AD＝CE＝3，OD＝1，BE＝CD＝2，
∴则B点的坐标是（3，﹣1）．
故选：C．
【点睛】本题借助于坐标与图形性质，重点考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是做高线构造全等三角形．
10. 我们知道：，现定义一种新运算：；比如 ，则，若，那么的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了数字类规律探索、同底数幂的乘法等知识，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先根据新运算的定义可得、、的值，再归纳类推出（其中为正整数），由此即可得．
【详解】解：∵，
∴，
，
，
归纳类推得：（其中为正整数），
∴，
∴，
故选：D．
二、填空题(每小题4分，共24分)
11. 计算下列各题：
（1）__________________；
（2）____________________；
（3）_____________；
（4）__________________．
【答案】 ①. ②. ③. ④.
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算法则，合并同类项，同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方，解题的关键是掌握整式的相关法则．
（1）根据合并同类项法则合并即可；
（2）根据同底数幂法则计算即可；
（3）根据积的乘方法则计算即可；
（4）根据幂的乘方法则计算即可．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2），
故答案为：；
（3），
故答案为：；
（4），
故答案为：
12. 十边形外角和是_____°．
【答案】360
【解析】
【分析】根据多边形的外角和等于解答．
【详解】解：十边形的外角和是．
故答案为：360．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和等于，解题的关键是掌握多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是．
13. 中，，，，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，含30度角的直角三角形的性质．根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：1．
14. 如图，在中，，平分交于点D，若，则的面积为_____．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查角平分线的性质，设点到的距离为，根据角平分线的性质，得到，再根据三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：点到的距离为，
∵平分交于点D，，
∴，
∴的面积为；
故答案为：5．
15. 已知，，若用含的代数式表示，则__________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆用，根据同底数幂乘法的逆运算法则把y表示为，进而得到，即，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
16. 如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交，边于点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为______．
【答案】10
【解析】
【分析】连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，即可求解，本题考查了等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线的性质，利用轴对称求最短路径，解题的关键是：掌握轴对称的性质．
【详解】解：连接，
是等腰三角形，点是边的中点，
，，
，
解得：,
是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴当三点共线时，最小，即此时最小，最小值为的长为，
的周长最小值，
故答案为：10．
三、解答题(本大题有9题，共86分)
17. 计算:
（1）
（2）
【答案】（1）0 （2）
【解析】
【分析】本题考查了整式的加减运算，同底数乘法，积的乘方，幂的乘方，合并同类项，解题的关键是正确应用整式的相关法则．
（1）先算同底数幂的乘法，幂的乘方，最后合并同类项；
（2）先算积的乘方，同底数幂相乘，最后合并同类项．
【小问1详解】
解：，
，
；
【小问2详解】
，
18. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，
（1）画出关于x轴的对称图形 ；
（2）写出的各顶点坐标 ， ， ；
（3）求的面积．
【答案】（1）见详解 （2），，
（3）
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，轴对称变换，关于轴对称的点的坐标，三角形面积的计算，构造三角形的外接矩形是解题的关键．
（1）先求出各顶点坐标关于轴对称的点的坐标，然后在平面直角坐标系描出这些点，最后顺次连接各点即可求解；
（2）由（1）可得各顶点坐标；
（3）作的外接矩形，根据求解即可．
【小问1详解】
解：如图，点关于轴的对称点为，
连结，，，则即是所求作的三角形．
【小问2详解】
由（1）知，
故答案为：，，；
【小问3详解】
如图，构造的外接矩形，
，，
，
，
．
19. 如图，，，点E和点F在线段上，求证:．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定与性质．根据，可得，可利用可证明，即可求证．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
20. 如图所示，在中，，平分，若，，证明：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据角平分线的性质求得，再由求得的度数；由三角形外角性质求得，从而得到；再根据等角对等边得出．
【详解】∵平分，若，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）
∴，
∴，
∴（等角对等边）
【点睛】考查了三角形外角性质、角平分线的性质，解题关键是根据角平分线的性质和垂直的性质求得，利用角形外角性质求得，从而得到．
21. 如图，已知．
（1）在边上找一点，使得点到，边的距离相等（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，若，，且，求的长．
【答案】（1）作图见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查作图—复杂作图：解决此类题目关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，
（1）作的平分线交于点；
（2）过点作，根据角平分线的性质得到，再根据角的直角三角形即可得出答案；
掌握基本作图，直角三角形两锐角互余，角平分线的性质和角的直角三角形的性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图，作的平分线交于点，
∵平分，
∴点到，边的距离相等，
则点为所作；
【小问2详解】
如图，过点作，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∴的长为．
22. 如图， 在中，于点D，垂直平分，交于点F，交于点E，连接，且．
（1）若，求的度数；
（2）若的周长为，，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意知，，则，求出，由垂直平分，可得，则，由，计算求解即可；
（2）由，可得，，由的周长为，，可得，计算求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵的周长为，，
∴，
解得，，
∴的长为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
23. 如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）当时，试判断的形状，并说明理由；
（3）探究：当为多少度时，是等腰三角形．
【答案】（1）见解析 （2）是直角三角形，理由见解析
（3）当或或
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的定义．
（1）由全等三角形的性质可得，结合，即可得证；
（2）由等边三角形的性质可得，由全等三角形的性质得出，即可得出，从而得解；
（3）根据题意以及全等三角形的性质，分别计算出、、，再分三种情况讨论即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
【小问2详解】
解：是直角三角形，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
当时，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
【小问3详解】
解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
分以下三种情况：
当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
综上所述，当或或时，是等腰三角形．
24. 将一个三角形沿着其中一个顶点及其对边上的一点所在的直线折叠，若折叠后原三角形的一边垂直于这条对边，则称这条直线是该三角形的“对垂线”．
（1）如图1，AD是等边△ABC的对垂线，把△ABC沿直线AD折叠后，点B落在点B'处，求∠BAD的度数；
（2）如图2．在△ABC中，∠BAC=90°，点D在边BC上，且AB=AD，若∠B=2∠DAC，判断直线AD是否是△ABC的对垂线，并说明理由．
【答案】（1）15°；（2）是，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）由“对垂线”的定义可得AB'⊥BC，△ABD≌△AB'D，则可得出∠BAD=∠B'AD，由等边三角形的性质得出∠BAB'∠BAC=30°，则由折叠的性质可得出答案；
（2）由等腰三角形的性质得出∠B=∠BDA，可得出∠DAC=∠C∠B，求出∠B=60°，证得∠AFD=90°，则可得出答案．
【详解】解：（1）∵AD是等边△ABC的对垂线，把△ABC沿直线AD折叠后，点B落在点B'处，
∴AB'⊥BC，△ABD≌△AB'D，
∴∠BAD=∠B'AD．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°．
又∵AB'⊥BC，
∴∠BAB'∠BAC=30°，
∴∠BAD∠BAB'°=15°；
（2）直线AD是△ABC的对垂线．理由如下：
∵AB=AD，
∴∠B=∠BDA．
∵∠B=2∠DAC，∠BDA=∠DAC+∠C，
∴∠DAC=∠C∠B．
∵△ABC中，∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠B∠B=90°，
∴∠B=60°=∠BDA，∠DAC=∠C=30°．
把△ADC沿直线AD折叠，设点C落在C'处，直线AC'交BC于点F，则△ACD≌△AC'D，
∴∠DAC'=∠DAC=30°，
∴△AFD中，∠AFD=180°﹣30°﹣60°=90°，
即AC'⊥BC，
∴AD是△ABC的对垂线．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形“对垂线”的概念，折叠的性质，全等三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．
25. 在平面直角坐标系中，点，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E．
（1）如图①，若点C的坐标为，求证：，并直接写出点E的坐标；
（2）如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且，其它条件不变连接，求证：平分；
（3）在（2）的条件下，当时，试探究线段、、的数量关系，并证明．
【答案】（1）；
（2）见解析； （3），见解析
【解析】
【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形判定与性质，角平分线的判定定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行求解．
（1）先根据判定，得出，再根据点的坐标为，得到，进而得到点的坐标；
（2）先过点作于点，作于点，根据，得到，且，再根据，，得出，进而得到平分；
（3）结论：．在上截取，连接，根据判定，再根据三角形外角性质以及三角形内角和定理，求得，，证明即可解决问题．
【小问1详解】
如图①，，，
，
又，
，
，，
，
，
，
又点的坐标为，
，
点的坐标为．
【小问2详解】
如图②，过点作于点，作于点，
，
，且，
，，
，
平分．
【小问3详解】
结论：．
理由：如所示，在上截取，连接，
，，
，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．