2022-2023学年福建省厦门市集美区杏南中学八年级（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年福建省厦门市集美区杏南中学八年级（上）期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了可得△AFC≌△AEB等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）新冠疫情发生以来，各地根据教育部“停课不停教，停课不停学”的相关通知精神，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（4分）五边形的内角和是（ ）
A．180°B．360°C．540°D．720°
3．（4分）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，10cmB．8cm，9cm，17cm
C．13cm，12cm，18cmD．5cm，5cm，11cm
4．（4分）a10可写成（ ）
A．a5•a5B．a5•a2C．a5+a5D．（a5）5
5．（4分）在平面直角坐标系中，点（1，2）关于y轴的对称点是（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）
6．（4分）已知：如图，D、E分别在AB、AC上，若AB＝AC，∠A＝60°，∠B＝35°（ ）
A．80°B．85°C．90°D．95°
7．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，则由（ ）可得△AFC≌△AEB．
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
8．（4分）若等腰三角形中有一个角等于80°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）
A．100°B．80°C．80°或20°D．50°或80°
9．（4分）如图，一位同学拿了两块45°的三角尺△MNE、△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC＝BC＝a（ ）
A．a2B．a2C．a2D．a2
10．（4分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，若BD＝1，BC＝3（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题：（每题4分，共24分）
11．（4分）（1）x2•x4＝ ；
（2）（﹣2a2b）3＝ ．
12．（4分）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠ACD＝120°，则∠A＝ °．
13．（4分）已知：m2＝3，则m6＝ ．
14．（4分）一个多边形从一个顶点出发，可作4条对角线，则这个多边形是 边形．
15．（4分）如图，将三角形纸片ABC沿BD折叠，若∠2＝90°，则∠1的度数为 °．
16．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，S△ABC＝12，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E．若点P是AD上一动点，PB，则PE+PB的最小值是 ．
三.解答题：（共86分）
17．（6分）计算：3a2•2a4+（3a3）2﹣14a6．
18．（8分）如图，点E、F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，AF与DE交于点G
19．（8分）先化简，再求值：3x（2x+y）+2x（x﹣y），y＝﹣1．
20．（6分）如图，平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，0），B（2，3），C（4，﹣2）．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）如果△ABC内部有一点P（m，n）经过上述变换，那么对应点P1的坐标是 ．
21．（10分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AC＝13，BE＝2，求AB的长．
22．（10分）如图，已知△ABC，点D在边BC上
（1）尺规作图：作出点D；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若∠A＝∠B+∠C，求证：点D是BC中点．
23．（12分）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）c＝b，那么（a，b）＝c．
例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：（5，25）＝ ，（﹣2，4）＝ ，（﹣3，81）＝ ；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），他给出了如下的证明：
设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n．
∴3x＝4，即（3，4）＝x，
∴（3n，4n）＝（3，4）．
请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由．（4，7）+（4，8）＝（4，56）．
24．（12分）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
在△ABC中，AB＝11，AC＝5
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：
（1）延长AD到Q使得DQ＝AD；（2）再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；（3），进而求出AD的取值范围．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（1）求出AD的取值范围．
（2）求如图中AC与BQ的位置关系并证明；
（3）思考：已知，如图2，AD是△ABC的中线，AC＝AF，∠BAE＝∠FAC＝90°，并证明．
25．（14分）在平面直角坐标系中，A（﹣5，0），B（0，5），点C为x轴正半轴上一动点，过点A作AD⊥BC交y轴于点E．
（1）如图①，若C（3，0），求点E的坐标；
（2）如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且OC＜5，连接DO，求证：DO平分∠ADC；
（3）若点C在x轴正半轴上运动，当OC+CD＝AD时，求∠OBC的度数．
2022-2023学年福建省厦门市集美区杏南中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题：（每题4分，共40分）
1．【分析】根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”判断即可得．
【解答】解：四个图形中是轴对称图形的只有A选项，
故选：A．
【点评】本题主要考查轴对称图形，解题的关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．【分析】根据n边形的内角和为：（n﹣2）•180°（n≥3，且n为整数），求出五边形的内角和是多少度即可．
【解答】解：五边形的内角和是：
（5﹣2）×180°
＝7×180°
＝540°
故选：C．
【点评】此题主要考查了多边形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确n边形的内角和为：（n﹣2）•180°（n≥3，且n为整数）．
3．【分析】直接利用三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进而判断得出答案．
【解答】解：A．∵3+4＝3＜10，
∴不能组成三角形，不符合题意；
B．∵8+9＝17，
∴不能组成三角形，不符合题意；
C．∵13+12＝25＞18，
∴能组成三角形，符合题意；
D．∵6+5＝10＜11，
∴不能组成三角形，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
4．【分析】利用同底数幂的乘法或幂的乘方对式子进行整理即可．
【解答】解：a10可写成a5•a5或（a3）2或（a2）5．
故选：A．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；即点（x，y）关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y）即可得到点（1，2）关于y轴对称的点的坐标．
【解答】解：点（1，2）关于y轴的对称点的坐标是（﹣2，
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，比较容易，关键是熟记规律：（1）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
6．【分析】根据SAS证△ABE≌△ACD，推出∠C＝∠B，求出∠C的度数，根据三角形的外角性质得出∠BDC＝∠A+∠C，代入求出即可．
【解答】解：∵在△ABE和△ACD中
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠C＝∠B，
∵∠B＝35°，
∴∠C＝35°，
∵∠A＝60°，
∴∠BDC＝∠A+∠C＝95°，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定和三角形的外角性质的应用，解此题的关键是求出∠C的度数和得出∠BDC＝∠A+∠C．
7．【分析】根据中线定义可得AE＝AC，AF＝AB，进而得到AF＝AE，然后再利用SAS定理证明△AFC≌△AEB．
【解答】解：∵BE、CF是中线，
∴AE＝ACAB，
∵AB＝AC，
∴AF＝AE，
在△AFC和△AEB中，
∴△AFC≌△AEB（SAS），
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
8．【分析】因为题中没有指明该角是顶角还是底角，所以要分两种情况进行分析．
【解答】解：∵等腰三角形中有一个角等于80°，
∴①若80°为顶角，则这个等腰三角形的顶角的度数为80°；
②若80°为底角，则这个等腰三角形的顶角的度数为：180°﹣80°×2＝20°．
∴这个等腰三角形的顶角的度数为：80°或20°．
故选：C．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握等边对等角的知识，掌握分类讨论思想的应用．
9．【分析】连CM，由点M为等腰直角△ABC的斜边AB的中点，根据等腰直角三角形和直角三角形斜边的中线的性质得到CM＝MB＝MA，∠A＝∠ACM＝∠MCB＝45°，∠CMA＝90°，利用等角的余角相等得到∠AMF＝∠EMC，根据“SAS”可得△AFM≌△CEM，则S△AFM＝S△CEM，于是重叠部分四边形CEMF的面积＝S△ACM＝S△ACB，然后利用三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：重叠部分四边形CEMF的面积为a5．证明如下：
连CM，如图，
∵AC＝BC＝a，
∴S△ABC＝a5，
∵点M为等腰直角△ABC的斜边AB的中点，
∴CM＝MB＝MA，
∴∠A＝∠ACM＝∠MCB＝45°，∠CMA＝90°，
又∵△MNK为直角三角形，
∴∠EMF＝90°，
∴∠AMF＝∠EMC＝90°﹣∠CMF，
在△AFM和△CEM中，
∴△AFM≌△CEM（ASA），
∴S△AFM＝S△CEM，
∴重叠部分四边形CEMF的面积＝S△ACM＝S△ACB＝a2．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
10．【分析】延长BD交AC于E，如图，利用CD平分∠ACB，BD⊥CD先判断△BCE为等腰三角形得到DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，再证明EA＝EB＝2，然后计算AE+CE即可．
【解答】解：延长BD交AC于E，如图，
∵CD平分∠ACB，BD⊥CD，
∴△BCE为等腰三角形，
∴DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，
∵∠A＝∠ABD，
∴EA＝EB＝3，
∴AC＝AE+CE＝2+3＝7．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．
二、填空题：（每题4分，共24分）
11．【分析】（1）根据同底数幂乘法法则即可得；
（2）根据积的乘方、幂的乘方法则即可得．
【解答】解：（1）x2⋅x4＝x8，
故答案为：x6；
（2）（﹣2a2b）3＝（﹣2）8⋅（a2）3⋅b4＝﹣8a6b6，
故答案为：﹣8a6b8．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键．
12．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵∠B＝40°，∠ACD＝120°，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝120°﹣40°＝80°．
故答案为：80．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
13．【分析】根据幂的乘方的运算法则解答即可．
【解答】解：因为m2＝3，
所以m6＝（m2）3＝83＝27．
故答案为：27．
【点评】此题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方的运算法则是解题的关键．
14．【分析】根据从n边形的一个顶点可以作对角线的条数公式（n﹣3）求出边数即可得解．
【解答】解：∵从一个多边形的一个顶点出发可以引4条对角线，设多边形边数为n，
∴n﹣3＝5，
解得n＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线是解题的关键．
15．【分析】由折叠的性质可得∠1＝∠ABD，∠A'＝∠A＝50°，再根据三角形的内角和定理即可求解．
【解答】解：如图，
∵将三角形纸片ABC沿BD折叠，
∴∠1＝∠ABD，∠A'＝∠A＝50°，
∵∠BEA'＝90°，
∴∠A'BE＝90°﹣∠A'＝90°﹣50°＝40°，
∴∠1＝＝20°，
故答案为：20．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，明确折叠前后对应角相等是解题的关键．
16．【分析】作点B关于AH的对称点B′，由等腰三角形的性质可知B′与点C重合，连接CE，则CE的长度即为EP与BP和的最小值，由三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：作点B关于AD的对称点B′，
∵AB＝AC＝5，
∴△ABC是等腰三角形，
∴B′与点C重合，连接CE，
∵△ABC中，AB＝AC＝5，S△ABC＝12，
∴×5×CE＝12，
解得：CE＝，
故答案为：                          
【点评】本题考查的是最短线路问题及等腰三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
三.解答题：（共86分）
17．【分析】直接利用单项式乘以单项式运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝6a6+3a6﹣14a6
＝a5．
【点评】此题主要考查了单项式乘以单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18．【分析】求出BF＝CE，根据SAS推出，得∠DEC＝∠AFB，由等腰三角形的判定可得结论．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
∴BF＝CE，
在△ABF和△DCE中，，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠DEC＝∠AFB，
∴GE＝GF，
∴△GEF是等腰三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
19．【分析】先根据单项式乘多项式的法则展开，再合并同类项进行化简，然后代入求值即可．
【解答】解：原式＝6x2+3xy+2x2﹣4xy
＝8x2+xy，
当x＝5，y＝﹣1时，
原式＝8×62+2×（﹣3）＝8×4+7×（﹣1）＝32﹣2＝30．
【点评】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握单项式乘多项式、合并同类项的法则是解题的关键．
20．【分析】（1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）根据关于x轴对称点的横坐标相等、纵坐标互为相反数求解即可．
【解答】解：（1）△A1B1C8如图所示：
（2）如果△ABC内部有一点P（m，n）经过上述变换1的坐标是（m，﹣n），
故答案为：（m，﹣n）．
【点评】本题主要考查作图—轴对称变换，坐标与图形变化，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质及平面直角坐标系中点的坐标关于坐标轴对称的特点．
21．【分析】（1）求出∠E＝∠DFC＝90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，推出DE＝DF，根据角平分线性质得出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出AE＝AF，由线段的和差关系求出答案．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴CF＝BE＝2，
∴AF＝AC﹣FC＝13﹣2＝11，
在Rt△ADE与Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF＝11，
∴AB＝AE﹣BE＝11﹣4＝9．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
22．【分析】（1）法一：作线段AB的垂直平分线，交BC于点D．法二：作∠CAD＝∠C，边AD交BC于点D即可；
（2）法一：根据线段的垂直平分线的性质即可证明；法二：根据∠CAD＝∠C，利用三角形内角和定理即可证明．
【解答】解：（1）如图，点D即为所求；
法一：作线段AB的垂直平分线，交BC于点D．
法二：作∠CAD＝∠C，边AD交BC于点D．
（2）连接AD，
∵∠ADB＝2∠C，∠ADB＝∠CAD+∠C，
∴∠C＝∠CAD，
∴AD＝CD．
法一：
∵∠BAC＝∠B+∠C，∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°．
∵∠DAB＝90°﹣∠CAD，
∠B＝90°﹣∠C，
∴∠DAB＝∠B，
∴AD＝BD．
∴CD＝BD，即点D是BC中点．
法二：
∵∠BAC＝∠B+∠C＝∠BAD+∠CAD，
∴∠BAD＝∠B，
∴AD＝BD．
∴CD＝BD，即点D是BC中点．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
23．【分析】（1）根据题中规定的新运算结合有理数的乘方求解即可；
（2）设4x＝7，4y＝8，根据同底数幂的乘法可得4x⋅4y＝4x+y＝56，然后结合题中规定的新运算即可证明．
【解答】解；（1）∵52＝25，（﹣3）2＝4，（﹣3）4＝81，
∴（5，25）＝6，4）＝2，81）＝2，
故答案为：2，2，6；
（2）设4x＝7，4y＝8，则4x•2y＝4x+y＝56，
∴（4，8）＝x，8）＝y，56）＝x+y，
∴（4，4）+（4，56）．
【点评】本题考查了有理数的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键．
24．【分析】（1）先判断出BD＝CD，进而得出△QDB≌△ADC（SAS），得出BQ＝AC＝5，最后用三角形三边关系即可得出结论；
（2）由（1）知，△QDB≌△ADC（SAS），得出∠BQD＝∠CAD，即可得出结论；
（3）同（1）的方法得出△BDQ≌△CDA（SAS），则∠DBQ＝∠ACD，BQ＝AC，进而判断出∠ABQ＝∠EAF，进而判断出△ABQ≌△EAF，得出AQ＝EF，∠BAQ＝∠AEF，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△QDB和△ADC中，
，
∴△QDB≌△ADC（SAS），
∴BQ＝AC＝5，
在△ABQ中，AB﹣BQ＜AQ＜AB+BQ，
∴6＜AQ＜16，
∴2＜AD＜8，
故答案为3＜AD＜7；
（2）AC∥BQ，理由如下：
由（1）知，△QDB≌△ADC，
∴∠BQD＝∠CAD，
∴AC∥BQ；
（3）EF＝2AD，AD⊥EF
如图2，延长AD到Q使得BQ＝AD，
由（1）知，△BDQ≌△CDA（SAS），
∴∠DBQ＝∠ACD，BQ＝AC，
∵AC＝AF，
∴BQ＝AF，
在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+∠ABC+∠DBQ＝180°，
∴∠BAC+ABQ＝180°，
∵∠BAE＝∠FAC＝90°，
∴∠BAC+∠EAF＝180°，
∴∠ABQ＝∠EAF，
在△ABQ和△EAF中，
，
∴△ABQ≌△EAF（SAS），
∴AQ＝EF，∠BAQ＝∠AEF，
延长DA交EF于P，
∵∠BAE＝90°，
∴∠BAQ+∠EAP＝90°，
∴∠AEF+∠EAP＝90°，
∴∠APE＝90°，
∴AD⊥EF，
∵AD＝DQ，
∴AQ＝7AD，
∵AQ＝EF，
∴EF＝2AD，
即：EF＝2AD，AD⊥EF．
【点评】本题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解题的关键．
25．【分析】（1）可证明△AOE≌△BOC，从而得出OE＝OC，进而求得；
（2）过O作OM⊥DA于M，ON⊥DC于N，根据△AOE≌△BOC，得S△AOE＝S△BOC，从而得出OM＝ON，进而得证；
（3）延长DC至F，是CF＝OC，从而得出△ADO≌△FDO，进而得出∠OBC＝∠F＝∠COF，在△BOF中，根据三角形内角和求得结果．
【解答】（1）解：如图1，
∵AD⊥BC，AO⊥BO，
∴∠AOE＝∠BDE＝∠BOC＝90°，
∴∠OAE+∠ACD＝90°，
∠OBC+∠ACD＝90°，
∴∠OAE＝∠OBC，
∵A（﹣5，8），5），
∴OA＝OB＝5．
在△AOE和△BOC中，
，
∴△AOE≌△BOC（ASA），
∴OE＝OC，
∴点C坐标为（2，0），
∴OE＝OC＝3，
∴E（5，3）；
（2）证明：如图2，
过O作OM⊥DA于M，ON⊥DC于N，
由（1）知，
△AOE≌△BOC，
∴S△AOE＝S△BOC，
∴，
又AE＝BC，
∴OM＝ON，
又OM⊥AE，ON⊥BC，
∴DO平分∠ADC；
（3）解：（方法一）如图3，
在DA上截取DP＝DC，连接OP，
又∠PDO＝∠CDO，OD＝OD，
∴△OPD≌△OCD（SAS），
∴OC＝OP，∠OPD＝∠OCD，
∵OC+CD＝AD，
∴OC＝AD﹣CD，
∴AD﹣DP＝OP，
即AP＝OP，
∴∠PAO＝∠POA，
∴∠OPD＝∠PAO+∠POA＝2∠PAO＝∠OCB，
又∵∠PAO+∠OCD＝90°，
∴2∠PAO＝90°，
∴∠PAO＝30°，
∵∠OAP＝∠OBC，
∴∠OBC＝∠PAO＝30°；
（方法二）如图4，
延长DC至F，是CF＝OC，
∴∠F＝∠COF，
∴∠DCO＝∠F+∠COF＝2∠F，
∵OC+CD＝AD，
∴CF+CD＝AD，
即DF＝AD，
由（2）知，
∠ADO＝∠ODC，
∵OD＝OD，
∴△ADO≌△FDO（SAS），
∴∠F＝∠OAE，
∵∠OAE＝∠OBC，
∴∠F＝∠OBC，
在△BOF中，
∠F+∠BOF+∠OBC＝180°，
∴∠OBC+（90°+∠OBC）+∠OBC＝180°，
∴∠OBC＝30°．
【点评】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，角平分线判定等知识，解决问题的关键是作常见辅助线，构造全等或基本定理的条件．