福建省厦门市双十中学九年级下学期第一次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省厦门市双十中学九年级下学期第一次月考数学试题（解析版）-A4，共25页。试卷主要包含了可直接用2B铅笔画图等内容，欢迎下载使用。
（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1．全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卡；
2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分；
3．可直接用2B铅笔画图．
一、选择题（本大题共10题，每小题4分，共40分；每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1. 贴窗花是过春节时的一项重要活动，这项活动历史悠久，风格独特，深受国内外人士的喜爱．下列窗花作品为轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形的定义与判断，熟练掌握轴对称图形的定义“平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形”是解决问题的关键．
【详解】解：A、该图形是轴对称图形，符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
C、该图形不轴对称图形，不符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
2. 芯片制程指的是晶体管结构中的栅极的线宽，也就是纳米工艺中的数值，宽度越窄，功耗越低，14纳米就是米，数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用科学记数法表示成得形式，其中得取值范围为．
【详解】∵，
故选B．
【点睛】本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂的乘方、合并同类项、负整数指数幂、绝对值的意义分别进行判断即可．
【详解】解：A.，故A错误；
B.，故B错误；
C.，故C正确；
D.，故D错误，
故选：C．
【点睛】本题考查积的乘方、合并同类项、负整数指数幂、绝对值的意义，解题关键是熟练掌握上述知识点．
4. 已知一个几何体如图所示，那么它的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】找到从几何体左边看到的图形即可
【详解】解：该几何体的左视图如下：
故选：A．
【点睛】本题考查几何体的三视图，注意观察角度不同分别得出视图是解题关键．
5. 已知一个不透明的袋子里装有1个白球，2个黑球，3个红球，每个球除颜色外均相同，现从中任意取出一个球，则下列说法正确的是（ ）
A. 恰好是白球是不可能事件B. 恰好是黑球是随机事件
C. 恰好是红球是必然事件D. 恰好是红球是不可能事件
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查事件的分类，理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念是解题关键．
根据随机事件，必然事件，不可能事件进行逐项分析即可．
【详解】解：A、恰好是白球是随机事件，故该选项错误，不符合题意；
B、恰好是黑球是随机事件，故该选项正确，符合题意；
C、恰好是红球是随机事件，故该选项错误，不符合题意；
D、恰好是红球是随机事件，故该选项错误，不符合题意．
故选：B．
6. 在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C所对应的实数是( )
A. 1+B. 2+C. 2﹣1D. 2+1
【答案】D
【解析】
【详解】设点C所对应的实数是x．
根据中心对称的性质，对称点到对称中心的距离相等，则有
，
解得．
故选D．
7. 某城市进行道路整改，需要重新铺设一段全长为6千米的道路，为尽量减少施工队对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工作效率比原计划提高，结果提前25天完成这一任务，设原计划每天铺设道路x米，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，由实际及原计划工作效率间的关系，可得出实际施工时每天铺设管道米，利用工作时间工作总量工作效率，结合实际比原计划提前25天完成任务，可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：实际施工时每天的工作效率比原计划提高，且原计划每天铺设管道x米，
实际施工时每天铺设管道米，
根据题意得：，
故选：C．
8. 如图，已知是的直径，点C、D分别在两个半圆上，若过点C的切线与的延长线交于点E，则与的数量关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
连接，，，根据圆周角定理得到，得到，根据切线的性质得到，求得，于是得到结论．
【详解】解：连接，，，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
9. 西周时期，丞相周公旦设计过一种通过测定日影长度来确定节气的仪器，称为圭表，如图所示的是一个根据石家庄市的地理位置设计的圭表，其中，立柱根部与圭表的冬至线之间的距离（即的长）为．已知，冬至时石家庄市的正午日光入射角约为，则光线长约为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据∠余弦函数求解即可．
【详解】解：在中，，，，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了三角函数的应用，掌握所求边长与角的三角函数关系及三角函数的计算公式是解题的关键．
10. 约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点，是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④．则下列结论正确的是（ ）
A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ②③④
【答案】C
【解析】
【分析】先根据题意求出m，n的取值，代入y＝ax2+bx+c得到a，b，c的关系，再根据对称轴在x＝2的右侧即可求解．
【详解】解：∵点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，
∴A，B关于原点对称，
∴m＝4，n＝﹣1，
∴A（1，4），B（﹣1，﹣4），
代入y＝ax2+bx+c（a≠0）
得 ，
∴，
∴①②正确，符合题意，
∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，
∴，
∴，
∴﹣1＜a＜0，
∴④正确，符合题意，
∵a+c＝0，
∴c＝﹣a，0＜c＜1，
当x＝时，y＝ax2+bx+c＝a+b+c＝a+2﹣a＝2﹣a，
∵﹣1＜a＜0，
∴﹣a＞0，
∴a+b+c＝2﹣a＞2＞0，③错误，不符合题意．
综上所述，结论正确的是①②④．
故选：C．
【点睛】此题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，“黄金函数”，“黄金点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11. （1） __________；
（2）的相反数是__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了化简绝对值，相反数．熟练掌握化简绝对值，相反数是解题的关键．
（1）直接化简绝对值即可；
（2）利用相反数的定义求解作答即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：由题意知，的相反数为，
故答案为：．
12. 如图，在正五边形中，的平分线交于点，连接，则________．
【答案】##18度
【解析】
【分析】本题主要考查多边形的内角和及正多边形的性质，等腰三角形的性质，结合已知条件求得，的度数是解题的关键．利用多边形的内角和及正多边形的性质可得，的度数，，然后利用等边对等角，结合三角形内角和求得的度数，再根据角平分线定义求得，最后利用角的和差计算即可．
【详解】解：∵五边形是正五边形，
∴，，
，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 为了解家庭丢弃塑料袋对环境造成的影响，某班研究性学习小组的六位同学记录了自己家中一周内丢弃塑料袋的数量，结果如下（单位：个）：30，27，23，15，22，33．若该班有50名学生，请你估算本周全班同学的家里共丢弃塑料袋________个．
【答案】1250
【解析】
【分析】本题考查了用样本估计总体，求出样本平均数是解答本题的关键．先求出6个家庭一周内丢弃的塑料袋的平均数量，即可认为是该周全班同学各家丢弃塑料袋的平均数，乘以总数50即为所求．
【详解】解：六位同学家中平均一周丢弃塑料袋：（个），
则（个）．
∴全班同学家一周共丢弃塑料袋1250个．
故答案为：1250
14. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为_______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据题意由平行线的性质得到∠ADF＝∠DFC，再由DF平分∠ADC，得∠ADF＝∠CDF，则∠DFC＝∠FDC，然后由等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，则四边形ABCD是平行四边形，最后由平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，即可得到结论．
【详解】解：∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF＝∠CDF，
∴∠DFC＝∠CDF，
∴CF＝CD，
同理BE＝AB，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴AB＝BE＝CF＝CD＝5，
∴BC＝BE+CF﹣EF＝5+5﹣2＝8，
∴AD＝BC＝8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质和平行线的性质以及平行四边形的性质等知识，解答本题的关键是熟练掌握平行线的性质以及平行四边形的性质．
15. 如图，半径为5扇形中，，点C在上，点E在上，点D在弧上，四边形是正方形，则图中阴影部分的面积为________．

【答案】
【解析】
【分析】连接，交于点F．由正方形性质得出，．即根据扇形面积公式求出扇形的面积即可．
【详解】如图，连接，交于点F．

∵四边形是正方形，
∴，，
∴．
故答案：．
【点睛】本题考查正方形的性质，扇形的面积公式．理解是解题关键．
16. 如图，矩形纸片，宽，长可无限长，把矩形纸片放置在平面直角坐标系中转动，顶点和原点重合，边在第一象限内，边与轴的交点为，过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点，再过点作轴的垂线，垂足为，交于点，则面积的最大值是________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与几何图形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
设，则，证明，得出，根据勾股定理与三角形的面积的关系，得出，进而即可求解．
【详解】设，则，
∵，
∴，
又∵
∴
∴
∴
解得：，
∵，
∴，
即
∴
即面积的最大值是
故答案为：．
三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】题目主要考查实数的混合运算及特殊角的三角函数的运算，零次幂，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
先化简二次根式、绝对值、零次幂及特殊角的三角函数，然后计算加减法即可．
【详解】解：
．
18. 如图，菱形中，过点分别作边上的高，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，菱形性质等知识，由菱形性质结合条件，利用全等三角形的判定与性质即可得证，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
【详解】证明：在四边形是菱形，，
，
，
在和中，
，
∴．
19. 先化简，再求值，其中．
【答案】
【解析】
【分析】首先对括号内的式子进行通分相加，把除法转化为乘法，进行约分，最后代入数值计算即可．
【详解】原式，
当 时，原式
【点睛】本题考查了分式的混合运算以及化简求值，熟练掌握因式分解，通分约分是解题的关键．
20. 如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，点在边上，且．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由．
（2）已知，，求的半径．
【答案】（1）直线与相切，理由见解析
（2）的半径为
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定、等边对等角、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）连接，由等边对等角得出，，求出，进而得出，即可得证；
（2）设，则，，求出，则，由勾股定理得出，求出的值即可得解．
【小问1详解】
解：直线与相切，
理由如下：如图，连接，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
是半径，
直线与相切；
【小问2详解】
解：如图，连接，
，
由（1）可得：，
，
设，则，，
，
，
，
，
解得：，
，
的半径为．
21. 为了缓解大气污染，贵阳市公交公司决定将某一条线路上的柴油公交车替换为新能源公交车，计划购买A型和B型两种新能源公交车共10辆．若购买A型公交车3辆，B型公交车 2辆，共需180万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需195 万元．
（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元；
（2）预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100 万人次，若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过 360万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于 680 万人次，则该公司有哪几种购车方案，哪种购车方案总费用最少?最少总费用是多少?
【答案】（1）购买每辆A型公交车需要30万元，每辆B型公交车需要45万元
（2）三种购买方案，购进8辆A型公交车，2辆B型公交车时总费用最少，最少费用为330万元
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组．
（1）根据题意列方程组求解；
（2）根据题意列不等式组．再求其整数解，再根据题意列一次函数，求其最值．
【小问1详解】
设购买每辆A型公交车需要x万元，每辆B型公交车需要y万元，
依题意，得： ，解得：
答：购买每辆A型公交车需要30万元，每辆B型公交车需要45万元．
【小问2详解】
设购进A型公交车m辆，则购进B型公交车辆，
依题意，得：，
解得：，因为m为整数，所有，
所以，该公司有三种购车方案，
方案1：购进6辆A型公交车，4辆B型公交车；
方案2：购进7辆A型公交车，3辆B型公交车；
方案3：购进8辆A型公交车，2辆B型公交车．
该公司购买这10辆公交车的总费用为w元，则
，
因为，，w随m的增大而减小，当时，w取得最小值，最小值为330，
答：购进8辆A型公交车，2辆B型公交车时总费用最少，最少费用为330万元．
22. 如图，矩形中，，在边上取一点E，将沿折叠，使点C恰好落在边上点F处．连接与交于点G．
（1）根据题目要求，尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，确定一点E，然后以点E为圆心，长为半径画弧交于点F，然后连接即可；
（2）由折叠的性质得，，设，由勾股定理得，从而可求，由矩形的性质可得，由，得出 ，连接交于点M，延长交的延长线于点T，由可判定，由全等三角形的性质得，，由勾股定理得，再由直角三角形的特征，即可求解；
【小问1详解】
解：如图所示即为所求；
【小问2详解】
解：由折叠的性质可知：
，，
设，
在中，
，
，
解得：，
，
四边形是矩形，
，
由折叠得：，
，
，
，
，
，
，
解得：；
连接交于点M，延长交的延长线于点T，如图，
四边形是矩形，
，
，
，
，
由折叠得：，
在和中
，
（），
，，
，
，
，，
．
【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，全等三角形的判定方法及性质，勾股定理，直角三角形的特征，锐角的三角函数，直角三角形斜边的中线性质等；掌握相关知识的判定方法及性质，能将相关条件转化到直角三角形中用勾股定理求解是解题的关键．
23. 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：
某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：
以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：
（1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定．求某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的平均费用；（费用值保留到个位数字）
（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元；
①若该销售商购进一辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求该辆车是事故车的概率；
②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的平均数．
【答案】（1）平均费用约为元；
（2）①为事故车的概率为；②50万元
【解析】
【分析】本题考查加权平均数的计算，列举法求概率，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
（1）根据加权平均数计算解题即可；
（2）①从辆已满三年的该品牌同型号私家车中，任意抽出一辆车为事故车的有辆，可直接得出为事故车的概率；
②设为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，根据题意求得的可能取值和对应的概率后，可得的平均值，最后求购进100辆车获得利润的平均费用再乘以100即可．
【小问1详解】
解：元，
答：在第四年续保时的平均费用约为元；
【小问2详解】
①解：由题意得到从辆已满三年的该品牌同型号私家车中，任意抽出一辆车为事故车的有辆，
∴任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为；
②一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，获得利润的平均数为：万元．
24. 如图，在矩形中，点E，F分别为对边的中点，线段交于点O，延长于点G，连接并延长交于点Q，连结交于点P，连结．
（1）求证：O是的中点；
（2）求证：平分；
（3）若，求．（结果用含m的代数式表示）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）首先证明，根据该相似三角形的对应边成比例得到：，结合中点的性质推知，，最后根据等量代换推知为的中点；
（2）如图2，延长与的延长线交于点．构造相似三角形：，．根据该相似三角形的性质和等腰三角形的判定与性质推知．
（3）首先证得，则，同理，故．作于点，于点，构造，再次由相似三角形的对应边成比例推知．
【小问1详解】
证明：四边形是矩形，
，
，
点E，F分别为对边的中点，
，
，
在和中，
，
，
，
O是的中点；
【小问2详解】
证明：如图2，延长与的延长线交于点．
点E，F分别为对边的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
所以，；
且，．
，
，
．
又，
，
，
则，
平分；
【小问3详解】
解：因为，
由，得，
，
同理，
．
作于点，于点，
又由（2），得，
，
．
即．
【点睛】本题考查的是相似综合题，主要涉及到了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例等知识点，解题的难点是作出辅助线，构造相似三角形．
25. 直线经过抛物线的顶点D，其中．
（1）求m的值；
（2）点A，B为抛物线上不同的两点，轴于点M，轴于点N，；
①若直线、直线和抛物线交于同一点，求直线的解析式；
②抛物线与y轴交于点C，直线AC的解析式为，直线的解析式为，且，求的面积．
【答案】（1）
（2）①直线的解析式为：或；②
【解析】
【分析】题目主要考查二次函数及一次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式及面积问题，熟练掌握运用一次函数及二次函数的基本性质是解题关键
（1）将二次函数化为顶点式，然后代入求解即可；
（2）①根据（1）中结果及题意得出一次函数与二次函数的交点为，，令，分两种情况：当点A与点D重合时，当点A与点T重合时，分别求解即可；
②根据题意得出直线的解析式为，直线BC的解析式为，然后联立一次函数与二次函数确定，，结合题意求解即可．
【小问1详解】
解：，
∴顶点，
∵直线经过抛物线的顶点D，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去）；
【小问2详解】
①由（1）得，
∴抛物线为，
∵直线、直线和抛物线交于同一点，
∴，
解得：，，
∴令交点为，
∵点A，B为抛物线上不同的两点，轴于点M，轴于点N，，
∴，令，
当点A与点D重合时，
，
∴，
此时，，
设直线的解析式为，
代入得：，解得：，
∴直线的解析式为；
当点A与点T重合时，
，
∴，
此时，，
同理得：直线的解析式为；
综上得：直线的解析式为：或；
②抛物线，
当时，，
∴，
∵直线的解析式为，直线BC的解析式为，
∴直线的解析式为，直线BC的解析式为，
当时，，
∴，
同理：，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵，平行于，
∴,
∴，即P为中点，
设直线的解析式为：，
代入得：，解得：，
∴，
当时，，
∴，
∴，
交强险浮动因素和浮动费率比率表
浮动因素
浮动比率
上一个年度未发生有责任道路交通事故
下浮
上两个年度未发生有责任道路交通事故
下浮
上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故
下浮
上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故
上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故
上浮
上一个年度发生有责任道路交通死亡事故
上浮
类型
数量
10
5
5
20
15
5