福建省莆田市中山中学、金石中学四校联考九年级下学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省莆田市中山中学、金石中学四校联考九年级下学期月考数学试题（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了 7515×103B，37515×108D， 下列各式计算正确的是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（每小题4分，共10题）
1. 下列分别是福州、厦门、泉州、莆田四地市的城市，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】∵A，B、C选项中的都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
∴不是轴对称图形，不符合题意；
∵D选项中的能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
∴是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 福建的地理特点是“依山傍海”，海岸线长度居全国第二位，海岸曲折，陆地海岸线长达37515000米．数据37515000用科学记数法表示为( )
A. 3. 7515×103B. 3.7515×107
C. 0.37515×108D. 37515×103
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】37515000=3.7515×107，
故选：B．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 榫卯，是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，其特点是在物件上不使用钉子，利用榫卯加固物件，体现出中国古老的文化和智慧．如图是其中一种榫，其左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体的三视图的画法和形状是正确解答的前提．
根据简单几何体的三视图的画法画出它的左视图即可．
【详解】解：这个几何体的左视图为：
故选：C．
4. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据完全平方公式与幂的运算公式进行计算即可．
【详解】解：A．，故选项错误；
B．，故选项错误；
C．，故选项错误；
D．，故选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的运算，熟练运用幂的运算公式与完全平方公式是解题的关键．
5. 莆田一果农随机从甲、乙、丙、丁四个品种的枇杷树中各选5棵，每棵产量的平均数x（单位：千克）及方差（单位：千克）如表所示，他准备从这四个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了方差，平均数．先比较平均数得到产量较高的，然后比较方差得到比较稳定的，一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【详解】解：甲、乙的平均数比丙、丁大，
甲、乙的产量较高，
甲的方差比乙小，
甲的产量比较稳定，
即从这四个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲．
故选：A．
6. 袁隆平院士被称为“杂交水稻之父”，他在早期的研究中需要对不同的水稻品种进行种植，计算其单位产量，现有两块面积相同的水稻试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别获得水稻12000kg和14000kg．已知第一块试验田每公顷的产业比第二块少1500kg，如果设第一块试验田每公顷的产量为x kg，那么x满足怎样的分式方程？（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，根据两块试验田每公顷产量间的关系，可得出第二块试验田每公顷的产量为，利用种植面积总产量每公顷的产量，结合两块试验田的面积相等，即可列出关于的分式方程，此题得解，正确列出分式方程是解题的关键．
【详解】解：第一块试验田每公顷的产业比第二块少1500kg，且第一块试验田每公顷的产量为，
第二块试验田每公顷的产量为．
根据题意得：,
故选：B．
7. 如图，在已知的△ABC中，按以下步骤：（1）分别以B、C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交M、N；（2）作直线MN，交AB于D，连接CD，若CD＝AD，∠B＝25°，则下列结论中错误的是（ ）
A. 直线MN是线段BC的垂直平分线
B. 点D为△ABC的外心
C. ∠ACB＝90°
D. 点D为△ABC的内心
【答案】D
【解析】
【分析】根据垂直平分线的性质和三角形外接圆、圆周角性质判断即可．
【详解】解：由作图可知，MN垂直平分线段BC，
∴DC＝DB，
∵DC＝DA，
∴DC＝DB＝DA，
∴点D是△ACB的外心， AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
故选项A，B，C正确，
答案：D．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质和三角形的外接圆、圆周角性质，解题关键是熟练掌握相关性质，准确进行推理判断．
8. 如图，中，点D在边上，将沿射线方向平移得到线段，连接．若，则的长是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平移的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，证明四边形是平行四边形，推出，利用勾股定理求出即可, 解题的关键是证明．
【详解】解：根据平移可得，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
故选：C．
9. 如图，点A、D分别在函数、的图象上，点B、C在x轴上．若四边形为正方形，点D在第一象限，则点D的坐标是（ ）

A. B. (2，3)C. (3，2)D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，表示出、的坐标是解题的关键．
根据题意设出、的纵坐标为，即可得出，，根据正方形的性质得出，求得，即可求得的坐标为．
【详解】解：设的纵坐标为，则的纵坐标为，
点、分别在函数、的图象上，
∴，，
四边形为正方形，
，
解得或
∵点D在第一象限，
∴不符合题意舍去，
，
故选：B．
10. 如图，和是等腰直角三角形，，，，绕点A旋转，连接，点F是的中点，连接，则的最小值为（ ）

A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图所示，作交的延长线于点G，连接，首先证明出是等腰直角三角形，然后得到是的中位线，进而判断出，当点A，G，C三点共线时，有最小值，即的长度，然后利用勾股定理求出，进而根据等腰直角三角形的性质求解即可．
【详解】如图所示，作交的延长线于点G，连接，

∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴点E是的中点，
∵点F是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴当最小时，最小，
∵，
∴当点A，G，C三点共线时，有最小值，即的长度，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴的最小值为，
∴的最小值为．
故选：B．
【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，旋转最值问题，解题的关键是得到当点A，G，C三点共线时，有最小值，即的长度，．
二．填空题（每小题4分，共6题）
11. 不等式组的解集是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别解两个一元一次不等式，再将解集合并即可解答，熟练解一元一次不等式是解题的关键．
【详解】解： ，
解①得，
解②得，
原不等式组的解集为，
故答案为：．
12. 今年的春节档电影精彩多元，小南决定从《第二十条》、《飞驰人生2》、《热辣滚烫》中随机挑选两部电影观看，则选取观看的影片为《飞驰人生2》、《热辣滚烫》的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列表法或树状图法求简单随机事件的概率，列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：《第二十条》、《飞驰人生2》、《热辣滚烫》分别用、、表示，
列表如下：
共有6种等可能的结果，其中选取观看的影片为《飞驰人生2》、《热辣滚烫》的有2种结果，
所以选取观看的影片为《飞驰人生2》、《热辣滚烫》的概率为．
故答案为：．
13. 如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点A，则关于x、y方程组的解是______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，先求出点坐标，再观察图象，即可解答，从函数图象的角度看，就是确定直线与函数的图象的交点，熟知上述概念是解题的关键．
【详解】解：解：在中，令时，则，
，
，
由图可得：关于x、y方程组的解是，
故答案为：．
14. 已知菱形的两条对角线的长分别是关于x的方程的两根，则菱形的面积是______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了根与系数关系，菱形的面积，先利用方程得到，再利用菱形的面积等于对角线相等除以2，即可解答，熟知菱形的面积等于对角线相等除以2是解题的关键．
【详解】解：菱形的两条对角线的长分别是关于x的方程的两根，
，
菱形的面积为，
故答案为：3．
15. 已知非零实数x，y满足，则值是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了求分式的值，将化简为，整体代入即可解答，求得是解题的关键．
【详解】解：将化简为，
，
故答案为：．
16. 已知二次函数（a，b，c是常数，且）的最小值为，且该二次函数图象经过点、两点，则n的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数的最值以及二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质．
由题意可得抛物线图象开口方向及对称轴，再由得点到对称轴距离小于点到对称轴距离．即可判断的范围，进而求解．
【详解】解：二次函数、、是常数，且的最小值为，
二次函数开口向上，对称轴为直线，
，
，
，

故答案为：．
三．解答题（共9小题，共86分）
17. 计算：
【答案】1
【解析】
【分析】此题主要考查了实数的运算，首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
【详解】解：，
，
．
18. 如图，，，，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】已知，可得，由，得，可证明，再利用全等三角形的性质可证明结论．
【详解】证明：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质．掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
19. 先化简，再求值：．其中．
【答案】；
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的运算，先将分式进行化简，再将代入即可解答，熟练进行分式的化简是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
；
当时，原式．
20. 为喜迎中国共产党第二十次全国代表大会的召开，红星中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标、良好、优秀、优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是______，圆心角______度；
（2）补全条形统计图；
（3）已知红星中学共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
【答案】（1），
（2）见解析 （3）480名
【解析】
【分析】（1）由成绩良好的学生人数除以所占百分比得出本次调查的样本容量后得出优异学生人数百分比，进而求出对应的圆心角度数．
（2）求出成绩优秀人数，补全统计图即可．
（3）由总人数乘以优异等级学生的所占百分比即可得出结论．
【小问1详解】
解：本次调查的学生数为（人），即样本容量为50，
∴优异所对应的圆心角的度数为，即；
故答案为：， ；
【小问2详解】
解：优秀等级的人数为（人），
补全条形统计图如图所示：
【小问3详解】
解：（名）
答：估计此次竞赛该校获得优异等级的学生人数为480名．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确算出样本容量是解题关键．
21. 武夷山是福建省茶叶主要产区，每年清明过后就是春茶采摘季节．已知1名熟练采茶工人与2名新手采茶工人一天可采摘50斤茶叶；2名熟练采茶工人与3名新手采茶工人一天可采摘90斤茶叶．
（1）求熟练采茶工人和新手采茶工人一天分别能采摘多少斤茶叶？
（2）某茶厂计划一天采摘茶叶600斤，该茶厂有15名熟练采茶工人和18名新手采茶工人，按点工制度付给熟练采茶工人每人每天的工资为300元，付给新手采茶工人每人每天的工资为80元，应如何安排熟练采茶工人和新手采茶工人能使所付工资最少？
【答案】（1）1名熟练采茶工人一天能采摘茶叶30斤，1名新手采茶工人一天能采摘茶叶10斤
（2）茶厂一天安排熟练采茶工人14名，新手采茶工人18名能使所付工资最少
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
（1）根据1名熟练采茶工人与2名新手采茶工人一天可采摘50斤茶叶；2名熟练采茶工人与3名新手采茶工人一天可采摘90斤茶叶，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以得到总工资与新手采茶工人人数的函数关系式，再根据一次函数的性质和该茶厂有15名熟练采茶工人和18名新手采茶工人，可以求得最低工资．
【小问1详解】
解：设1名熟练采茶工人一天能采摘茶叶a斤，1名新手采茶工人一天能采摘茶叶b斤，
由题意可得：，
解得，
答：1名熟练采茶工人一天能采摘茶叶30斤，1名新手采茶工人一天能采摘茶叶10斤；
小问2详解】
解：设一天安排名新手采茶工人采摘茶叶，则安排名熟练采茶工人采摘茶叶，该茶厂需要支付工资元，
由题意可得，，
随的增大而减小，
该茶厂有15名熟练采茶工人和18名新手采茶工人，
当时，取得最小值，此时，人，
答：茶厂一天安排熟练采茶工人14名，新手采茶工人18名能使所付工资最少．
22. 如图，在中，，点D在边上．
（1）求作：点E．使四边形是平行四边形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）以（1）中的边为直径作交的延长线于点F，若．求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、圆周角定理、作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
（1）分别以、为圆心，、为半径画弧，两弧相交于点，则根据两组对边分别相等的四边形为平行四边形可判断四边形为平行四边形；
（2）根据圆周角定理得到，则利用等角的余角相等得到，再根据平行四边形的性质得到，，则利用平行线的性质得到，然后证明得到，从而得到．
【小问1详解】
解：如图，四边形为所求；
【小问2详解】
证明：如图，
是的直径，
，
即，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
．
23. 根据以下素材，完成探索任务．
【答案】任务一：；任务二：当时，；任务三：该车未超速，故此次该车不会因超速而被罚款
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，理解“图形面积的数值与运动距离”以及“用距离差除以两次测速的时间差，算出这段路程的平均车速”是解题的关键．
任务一：设当该车进入隧道时的速度为，根据题意列出一元一次方程，即可求解；
任务二：设，利用待定系数法求得，计算当时，即可求解；
任务三：设第二次闪光与第一次闪光的时间差为，对应的速度为，利用梯形面积公式求得的值，据此求解即可．
【详解】解：任务一：设当该车进入隧道时的速度为，由题意得：
，
解得；
任务二：设，
把，代入，得：，
解得，
，
千米小时，
当时，；
任务三：此次该车会因超速而被罚款，理由如下：
设第二次闪光与第一次闪光的时间差为，对应的速度为，
则，
由梯形面积得，
解得或（舍），
千米/小时，
，
该车未超速，故此次该车不会因超速而被罚款．
24. 已知，如图1，在中，，，在上有一动点F，连接，过点C作于E，的外接圆交于D，连接，．
（1）求的度数．
（2）如图2，过点B作交的延长线于点H，与交于点G．
①求证：；
②求证：．
【答案】（1）
（2）①见解析；②见解析
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理可得，由等腰直角三角形的性质求出，再利用圆周角定理即可得出答案；
（2）①延长至点M，使得，连接，证明，可得，，进而可证得结论；
②证明，可得，证明，可得，等量代换可得结论．
【小问1详解】
解∶∵，
∴，
∵的外接圆交于D，
∴，
∵，
∴，，
∴；
【小问2详解】
①由（1）得，
∴，
∵，
∴，
延长至点M，使得，连接，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
∴，
∴
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
25. 已知，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点为A，顶点为．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图（1），点是直线上方抛物线上一点，连接，若的面积为4，求点的坐标；
（3）如图（2），设直线（k≠0）与抛物线交于两点，点关于直线的对称点为，直线与直线交于点，求证：的长为定值．
【答案】（1）
（2）
（3）点为定点，为定值2
【解析】
【分析】（1）根据题意利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）中结果确定点，，设上方轴上点满足，即，然后求解得出与原点重合．再确定直线解析式为：，得出点在直线上时，，再联立求解即可；
（3）根据题意联立两个函数得出，再由题意确定直线的解析式，即可求解．
【小问1详解】
解：抛物线的对称轴为直线，过原点，可得，
；解得；
即解析式为：．
【小问2详解】
由（1）得：，得．

令，解得：．得：．
设上方轴上点满足，即，
解得：，即与原点重合．
设直线解析式为：，则有：
：解得：；
直线解析式为：．
与直线平行，且过的直线为：．
点在直线上时，，满足题意．
；解得：或；
故：．
小问3详解】
为与抛物线的交点，
；
解得：或；
，
与关于直线对称，得：，
设直线的解析式为：，
；
解得：；

图（2）
即直线的解析式为：，
当时，．
点为定点，为定值2．
【点睛】本题主要考查二次函数综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，三角形面积问题及线段定值问题，理解诶题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
甲
乙
丙
丁
45
45
42
41
1.8
2.3
1.9
1.8
A
B
C
A
/
AB
AC
B
BA
/
BC
C
CA
CB
/
判断车辆是否因超速被罚款？
素材一
我国高速公路上的隧道通常限速80千米/小时，在隧道前会有一个提示牌及限速标志，在标识与隧道口之间的途中会有雷达测速仪测速，且测速时有闪光．根据交规，若超速以上未达的，处以200元以内罚款．
素材二
在物体运动的速度v关于时间t的函数图象中，函数图象与横轴以及直线，所围成的图形（如图的阴影部分）面积的数值等于物体从到这个时间段的运动距离．

素材三
雷达测速仪是安装在车辆前进方向的路上，根据短时间的两次测速（均有闪光提示），测出两个时刻车辆和雷达测速仪之间的距离，再用距离差除以两次测速的时间差，算出这段路程的平均车速．
素材四
速度1米/秒千米/小时，某车以108千米/小时的速度驶来，到达限速标志位置（隧道前500米）时开始匀减速，从开始减速到车头进入隧道口用了20秒，其速度v关于时间t的函数图象如图所示，和是两次雷达测速的时间．

问题解决
任务一
直接写出该车车头进入隧道口时的速度为 米/秒
任务二
当第一次闪光时，车速已经降到了90千米/小时，求时间．
任务三
从第一次闪光后到第二次闪光时，该车又前进了96米，从平均车速考虑，此次该车是否会因超速而被罚款？请通过计算说明理由．