2025-2026学年江苏省南京市栖霞区九年级（上）12月月考数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年江苏省南京市栖霞区九年级（上）12月月考数学试卷-自定义类型，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在比例尺为的地图上，两处景点的距离为，则这两处景点的实际距离为（ ）
A. B. C. D.
2.对于二次函数的图象，下列叙述正确的是（ ）
A. 顶点坐标为B. 与轴有两个交点
C. 函数有最大值2D. 当时，随增大而减小
3.共享单车是一种“绿色出行”方式，道路交通法规定未满16周岁不得驾驶电动自行车．振兴初中为了加强交通安全教育，引导学生文明出行，随机调查了部分出行学生一周内使用共享单车的情况，并整理成如下表：
根据以上表格信息，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A. 12，12B. 1，1C. 0，0D. 1，0
4.如图，四边形是的内接四边形，且，连接并延长交的切线于点E，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
5.已知二次函数的图像如图所示，则函数的图像不可能是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知二次函数与一次函数．若函数的图象与轴只有一个公共点，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.若，则的值为 ．
8.用圆心角为120°，半径为6cm的扇形做成一个无底的圆锥侧面，则此圆锥的底面半径为 ____cm．
9.已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
10.已知点P是线段的黄金分割点（），如果，那么的长为 ．
11.若点，在二次函数为常数，且的图象上，则a ．（填“＞”、“＜”或“＝”）
12.抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的解析式为 ．
13.已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表：则当时，x的取值范围是 ．
14.如图，是的内接三角形，，直径与边交于点E，B是的中点．若，则的半径为 ．
15.如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝ ．
16.已知二次函数的图象经过点，，当时，x的取值范围是，则d的取值范围是 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解方程：
(1)
(2)
四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息．
【收集数据】
甲班10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89
乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81
【整理数据】
【分析数据】
【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：
(1) 填空： ， ， ；
(2) 请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由：
(3) 甲班共有学生45人，乙班其有学生40人．按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？
19.(本小题8分)
某公司有甲、乙、丙三辆车去南京，它们出发的先后顺序随机，张先生和李先生准备坐该公司的车去南京出差，但有不同的需求．
张先生：我要先处理一些事务，只坐最后出发的那辆车．
李先生：我要早点出发，只坐最先出发的那辆车．
请用所学概率知识解决下面的问题．
(1) 写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果．
(2) 两人中，谁坐到甲车的可能性更大？请说明理由．
20.(本小题8分)
如图，在的内接四边形中，，点D是弧的中点．
(1) 当时，求的度数；
(2) 连接，当，时，求的长．
21.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点．抛物线经过点A且交线段于点C．
(1) 求k的值；
(2) 点C的坐标为 ；
(3) 当时，的取值范围为 ；当时，x的取值范围为 ．
22.(本小题8分)
如图，⊙O是△ACD的外接圆，AB是直径，过点D作直线DE // AB，过点B作直线BE // AD，两直线交于点E，如果∠ACD=45°，⊙O的半径是4cm
(1) 请判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2) 求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．
23.(本小题8分)
每年月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利元时，每天可售出辆；单价每降低元，每天可多售出辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于元，设每辆轮椅降价元．每天的销售利润为元．
(1) 求与的函数关系式并写出的取值范围；
(2) 每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
24.(本小题8分)
如图，已知是锐角三角形．
(1) 请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图；作直线，使上的各点到、两点的距离相等；设直线与、分别交于点、，作一个圆，使得圆心在线段上，且与边、相切；（不写作法，保留作图痕迹）
(2) 在（1）的条件下，若，，则的半径为 ．
25.(本小题8分)
已知二次函数（a为常数，且）．
(1) 若，求证：函数图象与x轴无公共点；
(2) 若函数图象上有两点、，其中，，若．求证：；
(3) 若函数图象与x轴有两个公共点、，且，则a的取值范围是 ．
26.(本小题8分)
定义：三角形一个内角的平分线与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的分角．
(1) 如图1，是中的分角，若， （请用含的代数式表示）；
(2) 如图2，四边形内接于，，四边形的外角平分线交于点F，连结并延长交的延长线于点E．求证：是中的分角；
(3) 如图3，在（2）的条件下，连结，，若是的直径．求证：．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】
8.【答案】2
9.【答案】7
10.【答案】
/​​​​​​​
11.【答案】＞
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】48°
16.【答案】
17.【答案】【小题1】
解：，
，
，
，
或，
．
【小题2】
解：变形为，方程中的，
所以方程根的判别式为，有两个不相等的实数根，
所以方程的解为，
所以方程的解为．

18.【答案】【小题1】
79
79
27
【小题2】
乙班成绩与甲班平均数相同，中位数、众数高于甲班，方差小于甲班，代表乙班成绩的集中度比甲好，总体乙班成绩比较好．
【小题3】
获奖人数：（人）．
答：两个班获奖人数为42人．

19.【答案】【小题1】
∵有甲、乙、丙三辆车去南京，它们出发的先后顺序随机，
∴这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果有：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6种；
【小题2】
由（1）可知，张先生坐到甲车有两种情况，即乙丙甲，丙乙甲，
∴张先生坐到甲车的概率为；
由（1）可知，李先生坐到甲车有两种情况，即甲乙丙，甲丙乙，
∴李先生坐到甲车的概率为；
∴两人坐到甲车的可能性一样．

20.【答案】【小题1】
解：∵点D是弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小题2】
解：连接交于点E，连接，
∵，
∴，
∵点D是弧的中点，
∴，
∴，
在中，，
∴，
设的半径为r，
在中，，
∴，
解得：，
∴的长为．

21.【答案】【小题1】
解：根据题意，令得，，
解得、，
∴点的坐标为
将点坐标代入直线得：
，
解得；
【小题2】
​​​​​​​
【小题3】
​​​​​​​
或​​​​​​​

22.【答案】【小题1】
DE与⊙O相切．理由如下：
连接OD，BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°．
∴∠ABD=∠ACD=45°．
∴△ADB为等腰直角三角形．
∵点O为AB的中点，
∴OD⊥AB．
∵DE // AB，
∴OD⊥DE．
∴DE为⊙O的切线．
【小题2】
∵BE // AD，DE // AB，
∴四边形ABED为平行四边形．
∴DE=AB=8cm．
，
=（24-4π）cm2．

23.【答案】【小题1】
解：根据题意，可得：
，
∵每辆轮椅的利润不低于180元，
∴，
解得；
答：与的函数关系式为，的取值范围是；
【小题2】
解：函数中，
∵，
∴函数开口向下，
∵对称轴为，且，
∴，随增大而增大，
∴当时，．
答：当每辆轮椅降价元时，每天的销售利润最大，最大利润为元．

24.【答案】【小题1】
①先作的垂直平分线：分别以B，C为圆心，大于的长为半径画弧，连接两个交点即为直线l，分别交、于、；
②再作的角平分线：以点B为圆心，任意长为半径作圆弧，与的两条边分别有一个交点，再以这两个交点为圆心，相同长度为半径作弧，连接这两条弧的交点与点B，即为的角平分线，这条角平分线与线段MN的交点即为；
③以为圆心，为半径画圆，圆即为所求；
【小题2】
​​​​​​​

25.【答案】【小题1】
证明：，
∵，
∴且，
∴，即，
∴方程无实数根，函数图象与轴无公共点；
【小题2】
证明：对称轴，
∵，
∴抛物线开口向下，函数在对称轴左侧随的增大而增大，右侧随的增大而减小，
∵且，
∴当、在对称轴同侧时，则都在对称轴右侧，此时；
当、在对称轴两侧时，则，此时点比点更远离对称轴，则；
综上所述，；
【小题3】
或​​​​​​​

26.【答案】【小题1】
​​​​​​​
【小题2】
证明：如图2，延长到点，
四边形内接于，
，
，
，
平分，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，，
，
，
是的外角平分线，
是中的分角；
【小题3】
证明：如图3，连接，
是中的分角，
，
，
，
，
，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
．
使用次数
0
1
2
3
4
5
人数
46
22
12
12
6
2
x
…
0
1
2
…
y
…
11
6
3
2
3
…
班级
甲班
6
3
1
乙班
4
5
1
班级
平均数
中位数
众数
方差
甲班
80
a
b
51.4
乙班
80
80
80，85
c