2025-2026学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）第一次月考数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）第一次月考数学试卷-自定义类型，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.一元二次方程2x2=4x的解为（ ）
A. x1=1，x2=2B. x1=0，x2=2C. x1=x2=0D. x1=x2=2
2.用配方法解一元二次方程x2-4=2x时，此方程可变形为（ ）
A. （x-1）2=3B. （x-2）2=2C. （x-2）2=6xD. （x-1）2=5
3.下列说法中，正确的是（ ）
A. 弧是半圆B. 长度相等的弧是等弧
C. 在圆中直角所对的弦是直径D. 任意一个三角形有且只有一个外接圆
4.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则扇形的弧长为（ ）
A. B. πC. D. π
5.如图，AB是直径，点C，D在半圆AB上，若∠BAC=40°，则∠ADC的度数是（ ）
A. 110°
B. 120°
C. 130°
D. 140°
6.如图，在半圆ACB中，AB=6，将半圆ACB沿弦BC所在的直线折叠，若弧BC恰好过圆心O，则BC的长是（ ）
A.
B. 2π
C.
D.
7.如图，⊙O经过五边形OABCD的四个顶点，若∠AOD=150°，∠A=65°，∠D=60°，则的度数为（ ）
A. 45°
B. 40°
C. 35°
D. 30°
8.如图，在等边△ABC中，AB=6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD=CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则CF的最小值是（ ）
A. 2
B. 3
C. 2
D. 2
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若一元二次方程x2-3x+2k=0有两个相等的实数根，则k的值是______.
10.已知m是方程x2-5x-1=0的一个根.则2m2-10m+2024= ______.
11.圆锥的底面半径为2cm,母线长为3cm,则圆锥的侧面积为 cm2.
12.设x1、x2是方程x2-5x+m=0的两个根，且x1+x2-x1x2=2，则m=______．
13.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=108°，点E在上，则∠E= ______°.
14.已知⊙O的半径为5cm,点O到直线l的距离OP为7cm,把直线l向上平移 cm,才能使l与⊙O相切？
15.如图，在直角三角尺ABC中，∠C=90°，把直角三角尺ABC放置在圆上，AB经过圆心O，AC与⊙O相交于D，E两点，点C，D，E的刻度分别是0cm，2cm，5cm，BC与⊙O相切于F点，那么⊙O的半径是______cm．
16.如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为点E，当⊙O的半径为2，AB与CD两弦长的平方和等于28，则OE等于______.
三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解方程：
（1）3x2-6x+2=0；
（2）（x-1）（x-2）=5.
18.(本小题8分)
如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，若∠OCD=25°，求∠BAD的度数.
19.(本小题8分)
教练想从甲、乙两名运动员中选拔一人参加射击锦标赛，故先在射击队举行了一场选拔比赛，在相同的条件下各射靶5次，每次射靶的成绩情况如图所示.

（1）请你根据图中的数据填写下表：
（2）根据选拔赛结果，教练选择了甲运动员参加射击锦标赛，请给出解释.
20.(本小题8分)
已知关于x的方程mx2-（m+2）x+2=0．
（1）若方程有一个根是2，求m的值；
（2）求证：不论m取为何值，方程总有实数根．
21.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）用直尺和圆规作⊙O，使圆心O在AC上，且⊙O与BC、AB都相切；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AC=6，BC=8，则⊙O的半径长为______．
22.(本小题8分)
如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E．
（1）求证：BD=CD；
（2）若∠BAC=50°，求∠EBC和∠EDC的度数．​​​​​​​
23.(本小题8分)
如图，AB为半⊙O的直径，弦AC的延长线与过点B的切线交于点D，E为BD的中点，连接CE．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）过点C作CF⊥AB，垂足为点F，AC=5，CF=3，求⊙O的半径．
24.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，K为弧AC上一动点，AK，DC的延长线相交于点F，连接CK，KD．
（1）求证：∠AKD=∠CKF；
（2）已知AB=8，CD=4，求∠CKF的大小．
25.(本小题8分)
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c,AC=b,BC=a,⊙O是△ABC的内切圆，求⊙O的半径r（用含a、b、c的代数式表示）.
26.(本小题8分)
圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆，用大圆的面积减去小圆的面积就是圆环的面积.

（1）如图1，大圆的弦AB切小圆于点P，求证：AP=BP；
（2）若AB=2a,则图1中的圆环面积为______.（用含有a的代数式表示）；
（3）如图2，若大圆的弦AB交小圆于C、D两点，且AB=8，CD=6，则圆环的面积为______.
（4）如图3，点P是⊙O内一点，用不带刻度的直尺与圆规，过P点作⊙O的弦AB，使AP=2PB（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）.
27.(本小题8分)
【问题背景】
在一次数学兴趣小组活动中，小军对苏科版数学九年级教材第42页的第4题很感兴趣．
教材原题：如图1，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？
小军在完成此题解答后提出：如图2，若BD、CE的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上．
（1）请对教材原题或小军提出的问题进行解答．（选择一个解答即可）
【直接应用】
当大家将上述两题都解决后，组员小明想起了在七年级通过画图归纳出的一个结论：三角形的三条高所在直线交于同一点，可通过上面的结论加以解决．
（2）如图3，△ABC的两条高BD、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点F．
求证：AF为△ABC的边BC上的高．
【拓展延伸】
在大家完成讨论后，曾老师根据大家的研究提出一个问题：
（3）在（2）的条件下连接DE、EF、FD（如图4），设∠DEF=α，则∠AOB的度数为______．（用含α的式子表示）
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】
10.【答案】2026
11.【答案】6π
12.【答案】3
13.【答案】126
14.【答案】2或12
15.【答案】3.5
16.【答案】1
17.【答案】解：（1）3x2-6x+2=0，
3x2-6x=-2，
x2-2x=-，
x2-2x+1=-+1，即（x-1）2=，
∴x=1±
∴x1=1+，x2=1-；
（2）（x-1）（x-2）=5，
x2-3x-3=0，
Δ=b2-4ac=9-4×1×（-3）=21，
x=，
解得：x1=，x2=．
18.【答案】解：∵OC=OD，∠OCD=25°，
∴∠ODC=25°，
∵AB⊥CD，
∴∠BOD=90°-25°=65°，
∴∠BAD=∠BOD=32.5°．
19.【答案】6 6 2.8
20.【答案】解：（1）将x=2代入原方程，得：4m-2（m+2）+2=0，
解得：m=1．
故m的值为1；
（2）证明：当m=0时，原方程为一次方程，此时x=1；
当m≠0时，△=（m+2）2-4×2m=（m-2）2≥0，
∴当m≠0时，方程有实数根．
综上所述：不论m为何值，方程总有实数根．
21.【答案】（1）如图所示，⊙O即为所求．
（2）．
22.【答案】（1）证明：连接AD．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90º，
∴AD⊥BC，
又∵AB＝AC，∴BD＝CD；
（2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝50º，
∴∠ABC＝∠ACB＝65º，
∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90º．
∵∠BAC＝50º，∴∠ABE=40º．
∴∠EBC=25º，
∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠BAC+∠BDE=180º ．
又∵∠EDC+∠BDE=180º，
​∴∠EDC=∠BAC=50º.
23.【答案】（1）证明：连接CO、EO、BC，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠ABD=90°，
∵AB是直径，
∴∠BCA=∠BCD=90°，
∵Rt△BCD中，E是BD的中点，
∴CE=BE=ED，
∵OC=OB，OE=OE，
则△EBO≌△ECO（SSS），
∴∠ECO=∠EBO=90°，
∵点C在圆上，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：解法一：Rt△ACF中，∵AC=5，CF=3，
∴AF=4，
设圆O的半径为r，则OF=4-r，
由勾股定理得：CF2+OF2=CO2，
即32+（4-r）2=r2，r=；
解法二：Rt△ACF中，∵AC=5，CF=3，
∴AF=4，
设BF=x，
由勾股定理得：BC2=x2+32，
BC2+AC2=AB2，
x2+32+52=（x+4）2，
x=，
则r==，
则⊙O的半径为．
24.【答案】（1）证明：连接AD、AC，

∵∠CKF是圆内接四边形ADCK的外角，
∴∠CKF+∠AKC=180°，∠AKC+∠ADC=180°
∴∠CKF=∠ADC，
∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴=，
∴=，
∴∠ADC=∠AKD，
∴∠AKD=∠CKF；
（2）解：连接OD，

∵AB为⊙O的直径，AB=8，
∴OD=OA=4，
∵弦CD⊥AB，CD=4，
∴DE=CE=CD=2，
在Rt△ODE中，OE==2，
∴AE=6，
在Rt△ADE中，tan∠ADE===，
∴∠ADE=60°，
∵∠CKF=∠ADE=60°．
25.【答案】ab=cr+br+ar，r=；a+b-c=2r，r=（a+b-c）；
相等，见解析．
26.【答案】（1）证明：如图1，连接OP，
∵大圆的弦AB切小圆于点P，
∴OP⊥AB，
∴PA=PB．​​​​​​​
（2）πa2．
（3）7π．
（4）解：如图3，作法：1．作射线OP交⊙O于点Q；
2．作以O为圆心，以OP长为半径的圆；
3．作以OQ为直径的圆交以O为圆心，以OP长为半径的圆于点F；
4．连接QF，连接并且延长OF到点N，使NF=QF；
5．连接QN，作FM⊥QN于点M；
6．以P为圆心，以QM长为半径作圆作弧，交以O为圆心，以OP长为半径的圆于点D；
7．过点P、D作直线交⊙O于点A、B，
弦AB就是所求的弦．
理由：连接OA，作OC⊥AB于点C，则∠OCA=∠OCP=90°，
∵AC=BC，DC=PC，
∴AC-DC=BC-PC，
∴DA=PB，
设OA=OQ=R，OP=OF=r,
∵∠OFQ=90°，
∴∠NFQ=90°，NF=QF==，
∴QN==QF，
∵FM⊥QN于点M，
∴PD=QM=NM=QN=QF=，
∴PC=DC=PD=，
∵OA2-AC2=OP2-PC2=OC2，
∴AC2=OA2-OP2+PC2=R2-r2+=（R2-r2），
∴AC=，
∴DA=PB=AC-DC=-=，
∴DA=PD=PB，
∴PA=2PB，
∴弦AB就是所求的弦．
27.【答案】90°+ 平均数
众数
方差
甲
______
6
0.4
乙
6
______
______
（1）小旭同学用面积法，可以构建关于r的方程______.
解得r= ______（结果用含a、b、c的代数式表示）.
小辰同学由切线长定理，可以构建关于r的方程______.
解得r= ______（结果用含a、b、c的代数式表示）.
（2）两位同学得到的答案相等吗？若相等，请给出证明.