2025-2026学年江苏省南京民办求真中学九年级（上）12月月考数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年江苏省南京民办求真中学九年级（上）12月月考数学试卷-自定义类型，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.抛物线y=﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标是（）
A. （2，﹣3）B. （﹣2，3）C. （2，3）D. （﹣2，﹣3）
2. ABC与 DEF的相似比为1：4，则 ABC与 DEF的面积比为（ ）
A. 1：2B. 1：3C. 1：4D. 1：16
3.已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
4.如图，直线，直线a、b与、、分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，，则的长为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
5.如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将扩大到原来的倍，得到．若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A. B. C. 或D. 或
6.如图，在ΔABC中，∠BAC＝45°，BD、CE分别是AC、AB边上的高，连接DE，若DE＝2，则BC的长为（ ）
A. B. C. D. 2
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.已知，则的值是
8.在中，为中线，点G是的重心，若，则 ．
9.已知点是线段的黄金分割点，且，若，则 ．
10.本学期小明平时测验、期中考试和期末考试的数学成绩分别为92分、100分和110分，如果分别按、、的份额计算他本学期的数学总评分，那么他本学期的数学总评分是 分．
11.二次函数的x与y的部分对应值如下表，则当时，y的值为 ．
12.如图，的对角线，相交于点，、过点，且点，在边上，点，在边上，向内部投掷飞镖（每次均落在内，且落在内任何一点的机会均等），飞镖恰好落在阴影区域的概率为 ．
13.一组数据的方差计算公式为，则这组数据的方差是 ．
14.若函数的图象与轴有两个公共点，则的范围是 ．
15.如图，四边形是矩形，点D，G分别在和上，是的高，，，，则矩形的周长是__ ___cm．
16.在中，最大角是最小角的2倍，且，则的长为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解方程：
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
某校为了解学生对安全知识的掌握情况，对他们进行了安全知识测试．现随机抽取甲、乙两班各10名学生的测试成绩进行整理分析，下面给出了部分信息．甲班10名学生测试成绩分别为：79，87，88，92，90，92，97，92，99，95．乙班10名学生测试成绩中的成绩如下：88，89，89．根据信息，回答下列问题：
乙班学生测试成绩的频数分布表如下：
甲、乙两班学生测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如下：
(1) ， ；
(2) 乙班的小明测试成绩是88分．小明认为自己的成绩高于平均分，所以他的成绩高于乙班一半学生的成绩．你认为小明的判定正确吗？请说明理由；
(3) 根据以上数据，你认为哪个班本次测试的成绩较好？请说明理由（写出一条即可）．
19.(本小题8分)
如图，经过某丁字路口的汽车，可能向左转或向右转．如果这两种可能性大小相同，现有A，B，C三辆汽车经过这个丁字路口．
(1) A汽车经过这个丁字路口向左转的概率为 ；
(2) 求A，B，C三辆汽车中至少有两辆汽车向左转的概率．
20.(本小题8分)
直播带货作为一种线上新型销售模式，绕过了经销商等传统中间渠道，实现产品和消费者的直接对接，小刚线上通过直播带货销售家乡的某种特产水果．已知这种水果的成本价为10元/千克，通过前几个周的销售他发现这种水果每周的销售量（千克）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数关系：．
(1) 如果小刚本周将这种水果的售价定为16元/千克，那么本周他销售这种水果可获利多少？
(2) 直接写出这种水果每周销售利润w（元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并求出销售单价为多少时，周利润最大？
21.(本小题8分)
数学家笛卡尔在其著作《几何学》中指出“仅用尺规可以求一个数的算术平方根”．方法如下：如图，已知线段的长为，延长至点，使，以的中点为圆心，的长为半径作圆．
①以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．
②作的中垂线交于．
所得的长是的长的算术平方根．
(1) 请在图中用尺规作图完成①②步骤（保留作图痕迹，不写作法）．
(2) 求证：．
(3) 若，则 ．
22.(本小题8分)
已知关于x的二次函数
(1) 若时，求该函数的解析式；
(2) 当时，该函数的最大值与最小值的差为18，求a的值；
(3) 若是该函数图象上的两点，且对于都有，求a的取值范围．
23.(本小题8分)
问题背景
如图在中，点在上，点在上，．
(1) 问题探究
如图（1），若是等边三角形，求证：；
变式探究
将特殊化成直角三角形．
(2) 如图（2），若，求证：；
(3) 如图（3），若，直接写出的长（用含的式子表示）．
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】
8.【答案】6
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】15
12.【答案】
13.【答案】7.6
14.【答案】且
15.【答案】48
16.【答案】
17.【答案】【小题1】
解：∵
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
【小题2】
解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得．

18.【答案】【小题1】
92
88.5
【小题2】
解：小明的判定错误．
理由：虽然小明的成绩88高于乙班的平均分86.5，但是乙班成绩的中位数是88.5，乙班约有一半学生的成绩大于或等于88，而，所以小明的成绩低于乙班一半学生的成绩，小明的判定不正确；
【小题3】
解：甲班本次的测试成绩更好．
理由：①从平均数角度看，甲班的平均数是91.1，乙班的平均数是86.5分，，所以从平均数来看，甲班本次的测试成绩更好；
②从方差角度看，甲班的方差是28.89，乙班的方差是62.86，，说明甲班学生的成绩比乙班学生的成绩更稳定，所以从方差来看，甲班本次的测试成绩更好．

19.【答案】【小题1】
​​​​​​​
【小题2】
解：画树状图如下：
由树状图可知，三辆汽车经过这个丁字路口共有8种等可能的结果，其中至少有两辆汽车向左转的结果有4种．
（至少有两辆汽车向左转）．

20.【答案】【小题1】
解：当时，每千克利润为（元），销售量（千克），
所以获利（元）．
答：本周他销售这种水果可获利288元；
【小题2】
解：利润，化简得．
∵是关于的二次函数，且，
∴有最大值．当时，最大．
答：这种水果每周销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式为（），销售单价为25元时，周利润最大．

21.【答案】【小题1】
解：在图中用尺规作图完成①②步骤如下：
．
【小题2】
证明：如图，连接，
由作图可知，，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
∴，
∴或（不符合题意，舍去）．
【小题3】
​​​​​​​

22.【答案】【小题1】
解：，
当时，，
，
．
该函数的解析式为．
【小题2】
解：依题意，，
图象的对称轴为直线．
又．
当时，最小，
∵
∴当时，，
∴．
．
；
【小题3】
解：①若，则函数图象开口向上．
又对称轴为直线，
当时，随的增大而增大．
∴点在对称轴的右侧．
又对于，都有，
，
．
②若，则函数图象开口向下，
∴点在对称轴的左侧．
对称轴为直线
当或时函数值相等．
又对于，都有，
，
．
综上：或．

23.【答案】【小题1】
证明：如图1中，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小题2】
证明：如图2中，过点作于点，于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小题3】
解：在上取一点，使得，连接，设，
∵，
∴，
∴，
由（1）可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即①，
∵，
∴，
∴，
∴②，
由①②解得，，
∴．
x
…
0
1
2
3
…
y
…
15
10
7
6
7
…
班级
乙
3
1
3
1
2
班级
平均数
众数
中位数
方差
甲
91.1
a
92
28.89
乙
86.5
89
b
62.86