2025-2026学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）第一次月考数学模拟试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）第一次月考数学模拟试卷-自定义类型，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程中，关于x的一元二次方程的是（）．
A. B. C. D.
2.关于x的方程的一根是1，则m的值是（ ）
A. B. 3C. D. 2
3.已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
4.如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（ ）
A. 倾斜直线B. 抛物线C. 圆弧D. 水平直线
5.若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，中两条弦与的延长线交于点与交于点，下列关系式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
7.在中，若，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 不能确定
8.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.已知的半径为，，则点与的位置关系是：点在 ．
10.已知的半径为，点到直线的距离为，则与的位置关系是 ．
11.如图，为，则弦所对的圆心角度数为 ．
12.在圆内接四边形中，、的度数之比为，则
13.如图，点A、B、C、D、E在上，且，则所对的圆心角度数为 ．
14.如图，由4个边长为1的小正方形组成的图形，若经过其顶点A、B、C，则圆心O到的距离为 ．
15.如图，以的边为直径的分别交于点、，连结、，若，则
16.如图，在中，弦相交于点E，．若，则的度数为 °．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解下列方程：
(1) ．
(2) ．
四、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
某市有A、B两个公园，甲、乙、丙三位同学随机选择其中一个公园游玩．
(1) 甲去A公园游玩的概率是 ；
(2) 求三位同学恰好在同一个公园游玩的概率．
19.(本小题8分)
如图，、是的直径，弦．求证：是弧的中点．
20.(本小题8分)
超市以每件元的价格购进了一批玩具，定价为元时，平均每天可售出个经调查发现，玩具的单价每降元，每天可多售出个；玩具的单价每涨元，每天要少售出个如何定价才能使每天的利润为元？
21.(本小题8分)
如图，已知内接于圆．求证：四边形是矩形．
22.(本小题8分)
如图，已知．
(1) 利用直尺和圆规作出的内切圆；
(2) 若的周长为，面积为，求它的内切圆的半径．
23.(本小题8分)
如图，一个边长为的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形中，点分别在上，且，在，五边形三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元．
(1) 五边形的面积为 ．（结果用含有x的代数式表示）
(2) 当为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？
24.(本小题8分)
如果关于x的一元二次方程满足，那么称这样的方程为“美好方程”．例如，方程，，则这个方程就是“美好方程”．
(1) 下列方程是“美好方程”的是 ；① ② ③ ④
(2) 求证：“美好方程”总有两个实数根；
(3) 若美好方程有两个相等的实数根，求证：．
25.(本小题8分)
如图，四边形ABCD是的内接四边形，，，垂足分别是E、F．
(1) 直接写出OF与CD的数量关系 ，并证明你的结论．
(2) 若，．求的半径．
26.(本小题8分)
如图，是斜边上的中线，以为直径作，分别交、于点、，过点作，交于点．
(1) 求证：是的切线；
(2) 若，，求的长．
27.(本小题8分)
(1) 证明定理：圆内接四边形的对角互补．
已知：如图①，四边形内接于⊙．
求证：．
(2) 逆命题证明：
若四边形的一组对角，则这个四边形的个顶点共圆（图②）
可以用反证法证明如下：
在图②中，经过点，，画⊙．
假设点落在⊙外，BC交⊙于点，连接DE，
四边形内接于⊙，
可得 ，
，
_，与得出矛盾；
同理点也不会落在⊙内，
，，，共圆．
(3) 结论运用：如图，线段，点，分别在射线和线段上运动，以为边在内部作等边，则的最小值为 ．
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】内
10.【答案】相离
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】/50度
14.【答案】
/​​​​​​​
15.【答案】
16.【答案】46
17.【答案】【小题1】
解：，
∴，
∴，
即，
∴，
解得：；
【小题2】
解：
整理得：，
即，
∴，
解得：．

18.【答案】【小题1】
​​​​​​​
【小题2】
画树状图如下：
由树状图知共有8种等可能结果，其中甲、乙、丙三名同学恰好选择了同一家公园的有2种结果，
∴甲、乙、丙三名同学恰好选择了同一家公园的概率为

19.【答案】证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴是弧的中点．

20.【答案】解：设每件玩具的定价为元．
当时，每件玩具的销售利润为元，平均每天可售出件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，；
当时，每件玩具的销售利润为元，平均每天可售出件，
根据题意得：，
整理得：，
，
此种情况下原方程没有实数根．
答：每件玩具的定价应为元或元．

21.【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵内接于圆，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．

22.【答案】【小题1】
解：如图，先分别作和的平分线，相交于点，再过点作于点，以点为圆心，的长为半径画圆，
则即为所求．
【小题2】
解：设的内切圆分别与，相切于点，，连接，，，
的周长为，
．
的面积为，，
，
，
它的内切圆的半径为．

23.【答案】【小题1】
​​​​​​​
【小题2】
由题意，得：，
整理，得：，
解得：；
∴当时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元

24.【答案】【小题1】
①④
【小题2】
∵一元二次方程，
∴，
∴，
∴，
∴美好方程总有两个实数根．
【小题3】
方法1 ∵美好方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故，
故．
方法2 将代入美好方程，得
左边，右边
∵美好方程有两个相等的实数根，
∴，
∴是美好方程的一个根，
∴方程的另一个根也是，
∴，
∴，
∴．

25.【答案】【小题1】
，理由如下：
连接AO并延长交于点G，连接CB、BG，
∵，
∴，
∵，
∴OF是的中位线，
∴，
∵AG是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴；
【小题2】
由（1）得：，，
在中，，
∴的半径为．

26.【答案】【小题1】
证明：如图，连接，
，为斜边的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
为半径，
为的切线；
【小题2】
解：如图，连接，
，，是斜边上的中线，
，
为直径，
，
，
，
，
．

27.【答案】【小题1】
证明：如下图，连接、，
，，且，
，
同理，
；
【小题2】
​​​​​​​

【小题3】
​​​​​​​