江苏省南通市如皋市2025-2026学年九年级上学期第三次月考数学试卷（人教版）-自定义类型

这是一份江苏省南通市如皋市2025-2026学年九年级上学期第三次月考数学试卷（人教版）-自定义类型，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.抛物线的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
2.函数y的图象经过点（﹣2，﹣4），则下列点中不在此函数图象上的是（ ）
A. （4，2）B. （1，8）C. （2，﹣4）D. （﹣1，﹣8）
3.已知，相似比为，若，则的长为（ ）
A. 4B. 9C. 12D. 18
4.在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，把缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. 或D. 或
5.如图，是的切线，A为切点，的延长线交于点B，连接．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6.若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
7.“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（）
A. B. C. D.
8.《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为（ ）
A. B. C. D.
9.如图，直线，直线分别交于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（ ）
A. B. C. D.
10.如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
11.已知中，，，，则 ．
12.如图，是的直径，在上，若，则 ．
13.圆锥的侧面积是，底面半径为，则圆锥的母线长是 ．
14.已知点P(m，n)在直线y＝-x+2上，也在双曲线上，则m2+n2的值为 ．
15.如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点落在反比例函数上，点落在反比例函数上，则 .
16.如图，正方形中，、分别是、边上的点，将四边形沿直线翻折，使得点、分别落在点、处，且点恰好为线段的中点，交于点，作于点，交于点．若，
（1）正方形的边长是 ．
（2）的长 ．
三、解答题：本题共9小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.
(1) 计算；
(2) 如图，，，相交于点．若，，，求的长．
18.(本小题6分)
已知二次函数的图象如图所示，顶点为，抛物线与y轴交于点，与x轴交于和D两点．
(1) 求此抛物线的解析式；
(2) 结合图象填空：
①关于x的一元二次方程的解是 ；
②不等式的解集为 ．
19.(本小题5分)
求证：圆内接平行四边形是矩形.
下面已经画出了图形，并写出了已知和求证，请将该命题的证明过程补充完整.
已知：如图，▱ABCD内接于⊙O.
求证：▱ABCD是矩形.
证明：
20.(本小题10分)
如图，一次函数的图象与函数的图象交于点和点B．
(1) 求n的值；
(2) 若，根据图象直接写出当时x的取值范围；
(3) 点P在线段上，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点Q，若的面积为1，求点P的坐标．
21.(本小题7分)
如图，四边形ABCD内接于，E为CD延长线上一点， ．
(1) 若，试用含的式子表示；
(2) 若AE是的切线，，，求的半径．
22.(本小题7分)
如图，在中，，是中线，，垂足为．
(1) 求证；
(2) 若，则线段的长度为 ．
23.(本小题7分)
如图，是的外接圆，是的直径，过点的直线与相切于点，在直线上取一点，使得．
(1) 求证：直线是的切线；
(2) 若，，求图中阴影部分的面积（结果保留）．
24.(本小题10分)
综合与实践
【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系．
【研究条件】
条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数；
条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人．
【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式：
结合上述信息，请完成下述问题：
(1) 当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为 ，排队人数与安检时间的函数关系式为 .
(2) 【模型应用】在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？
(3) 已知该演出主办方要求：
①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少；
②尽量少安排安检通道，以节省开支．
若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由?
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性．
25.(本小题10分)
如图（1），平面直角坐标系中，已知点，反比例函数的图象分别交矩形的两边，于、两点（、不与重合），沿着将矩形折叠使、两点重合．
(1) （用含有的代数式表示）；
(2) 如图（2），当点恰好落在矩形的对角线上时．
①证明：
②计算：的长度
(3) 若折叠后，连接，是等腰三角形，求此时点的坐标．
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】5
14.【答案】6
15.【答案】8
16.【答案】12
/

17.【答案】【小题1】
解：原式

；
【小题2】
解：，
，
，
．

18.【答案】【小题1】
解：由图象可知抛物线顶点为，
∴设抛物线解析式为，
∵抛物线与y轴交于点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为；
【小题2】

或​​​​​​​

19.【答案】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠C，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°，
∴∠A=∠C=90°，
∴平行四边形ABCD为矩形．
20.【答案】【小题1】
解：将点代入一次函数，
，
故，
将代入反比例函数，
得；
【小题2】
解：由（1）得，
联立一次函数和反比例函数，得
，
解得，
故，
由图像可知，的取值范围为；
【小题3】
解：设，且，交x轴于点M，如图；
，
，
，
解得，
点P的坐标为或．


21.【答案】【小题1】
∵，
∴∠EAD＝∠ADB．
∵
∴ ．
∴ ．
【小题2】
连接OA，OD，OA交BD于点H．
∵AE是⊙O的切线，
∴OA⊥AE，即 ．
∵，∴ ．
∴ ．
在Rt△ADH中，AD＝5，BD＝4，则由勾股定理得AH＝3．
设⊙O的半径为r，则 ．
在Rt△ODH中，由勾股定理得， ．
即 ．
解得 ．
∴⊙O的半径 ．

22.【答案】【小题1】
证明：在中，，
是中线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小题2】

23.【答案】【小题1】
证明：如图，连接，

，
，
又，
，
，
直线与相切于点，
，
，
点在上，是的半径，
直线是的切线．
【小题2】
解：设半径，则，
在中，，
，
解得，
，
，
，
，
，
故图中阴影部分的面积为：．

24.【答案】【小题1】
​​​​​​​
​​​​​​​
【小题2】

当时，
【小题3】
设开了条通道则：
对称轴为
∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少
，即：
又最多开通9条
为正整数，
最小值为7 ，
最少开7条通道；

25.【答案】【小题1】
【小题2】
①证明：∵，
，
，
点在上，
，
，
，
又，
，
，
．
②，
，
根据折叠可得，
，
，
．
【小题3】
解：连接交于，过点作于，
由折叠的性质得，
当时，如图3，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
②当时，如图4，
在中，，
，
，
，
，
，
，
．
③当时，
，
，
，即，
，
此时三点共线且点与点重合，不符合题意，舍去，
，
综上所述，所求点坐标为或．