11.1.1 不等式及其解集（课件）--2024新人教版七年级数学下册课件

买合苏迪古丽·买买提托克逊县第二中学1590995488011.1.1 不等式及其解集学习目标理解不等式的概念，能识别不等式并准确使用不等号表示数量关系。掌握不等式的解和解集的含义，能区分不等式的解与解集。学会用数轴表示不等式的解集，体会数形结合的思想。能根据实际问题列出简单的不等式，提升从实际问题中抽象数学模型的能力。情境引入实际问题在日常生活中，我们经常会遇到数量之间不相等的情况。例如：小明的身高是 150cm，小红的身高是 145cm，小明的身高比小红高。一辆公交车的核载人数是 50 人，现在车上有 52 人，人数超过了核载人数。某品牌酸奶的保质期是 7 天，购买后已经存放了 8 天，存放时间超过了保质期。这些问题中都存在数量之间的大小关系，如何用数学式子表示这种不相等的关系呢？这就是我们今天要学习的不等式。思考讨论用数学式子表示下列数量关系：小明的身高（150cm）比小红的身高（145cm）高。车上人数（52 人）超过核载人数（50 人）。存放时间（8 天）超过保质期（7 天）。你能发现这些式子的共同特点吗？不等式的概念定义用不等号表示大小关系的式子，叫做不等式。常见的不等号有：“＞”（大于）、“＜”（小于）、“≥”（大于或等于）、“≤”（小于或等于）、“≠”（不等于）。注意事项不等号 “≥” 表示 “大于或等于”，例如 “x≥5” 表示 x 大于 5 或 x 等于 5；“≤” 表示 “小于或等于”，例如 “y≤3” 表示 y 小于 3 或 y 等于 3。“≠” 表示 “不等于”，只强调数量不相等，不明确大小关系，例如 “a≠b” 表示 a 和 b 的数量不相等。不等式中可以含有未知数，也可以不含未知数。含有未知数的不等式，未知数的取值会影响不等式是否成立。典型例题例题 1下列式子中，哪些是不等式？（1）3＞2 （2）x + 1≤5 （3）2x - 3 = 1 （4）a + b≠c （5）5x + 2＞7解答步骤：根据不等式的定义，用不等号表示大小关系的式子是不等式。（1）用 “＞” 表示，是不等式。（2）用 “≤” 表示，是不等式。（3）用 “=” 表示，是等式，不是不等式。（4）用 “≠” 表示，是不等式。（5）用 “＞” 表示，是不等式。答案：（1）（2）（4）（5）是不等式。例题 2用不等式表示下列数量关系：（1）x 的 2 倍与 3 的和大于 5。（2）y 的一半不小于 4。（3）m 与 2 的差小于 m 的 3 倍。（4）a 的 5 倍与 b 的和不等于 10。解答步骤：根据数量关系选择合适的不等号表示。（1）x 的 2 倍是 2x，与 3 的和是 2x + 3，大于 5 表示为：2x + 3＞5。（2）y 的一半是\(\frac{y}{2}\)，不小于 4 即大于或等于 4，表示为：\(\frac{y}{2}≥4\)。（3）m 与 2 的差是 m - 2，m 的 3 倍是 3m，小于表示为：m - 2＜3m。（4）a 的 5 倍是 5a，与 b 的和是 5a + b，不等于 10 表示为：5a + b≠10。不等式的解与解集不等式的解使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。例如：对于不等式 x + 1＞3，当 x = 3 时，3 + 1 = 4＞3，不等式成立，所以 x = 3 是该不等式的解；当 x = 1 时，1 + 1 = 2＜3，不等式不成立，所以 x = 1 不是该不等式的解。不等式的解集一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。例如：不等式 x + 1＞3 的解是所有大于 2 的数，即 x＞2，所以该不等式的解集是 x＞2。解与解集的区别与联系项目不等式的解不等式的解集区别单个或多个具体的未知数的值所有解组成的集合联系解集包含了所有的解解是解集中的具体元素典型例题例题 3判断下列各数是不是不等式 2x - 1＞5 的解：（1）x = 3 （2）x = 4 （3）x = 2 （4）x = 5解答步骤：将各数代入不等式，看不等式是否成立。（1）当 x = 3 时，2×3 - 1 = 5，5＞5 不成立，所以 x = 3 不是解。（2）当 x = 4 时，2×4 - 1 = 7，7＞5 成立，所以 x = 4 是解。（3）当 x = 2 时，2×2 - 1 = 3，3＞5 不成立，所以 x = 2 不是解。（4）当 x = 5 时，2×5 - 1 = 9，9＞5 成立，所以 x = 5 是解。答案：（2）（4）是不等式的解。例题 4写出不等式 x - 3＜2 的解集，并在数轴上表示出来。解答步骤：解不等式 x - 3＜2，得 x＜5，所以该不等式的解集是 x＜5。在数轴上表示时，先找到 5 对应的点，因为不包含 5，所以用空心圆圈表示，再向左画线表示所有小于 5 的数。用数轴表示不等式的解集表示方法画数轴：标出原点、正方向和单位长度。确定边界点：找到不等式解集的边界值对应的点。若解集包含边界值（即不等号为 “≥” 或 “≤”），用实心圆点表示。若解集不包含边界值（即不等号为 “＞” 或 “＜”），用空心圆圈表示。确定方向：解集是 “＞” 或 “≥” 时，向数轴的正方向（右边）画线。解集是 “＜” 或 “≤” 时，向数轴的负方向（左边）画线。典型例题例题 5在数轴上表示下列不等式的解集：（1）x＞2 （2）x≤-1 （3）x≥0 （4）x＜3解答步骤：（1）x＞2：边界点是 2，不包含 2，用空心圆圈，向右边画线。（2）x≤-1：边界点是 - 1，包含 - 1，用实心圆点，向左边画线。（3）x≥0：边界点是 0，包含 0，用实心圆点，向右边画线。（4）x＜3：边界点是 3，不包含 3，用空心圆圈，向左边画线。解题技巧与注意事项技巧列不等式的技巧：仔细分析数量关系，抓住关键词（如 “大于”“小于”“不超过”“至少” 等），选择合适的不等号。常见关键词与不等号的对应关系：大于、超过、多于→＞小于、不足、少于→＜大于或等于、至少、不低于→≥小于或等于、至多、不超过→≤不等于→≠判断不等式解的技巧：将未知数的值代入不等式，若不等式成立，则是解；否则不是。数轴表示解集的技巧：牢记 “含等号用实心，不含等号用空心；大于向右，小于向左” 的口诀。注意事项不等号的方向：列不等式时不要混淆不等号的方向，例如 “x 的 3 倍不小于 5” 应表示为 3x≥5，而不是 3x≤5。解集的完整性：不等式的解集是所有解的集合，不要遗漏任何一个解。数轴表示的规范性：画数轴时要标注清楚原点、正方向和单位长度，边界点的表示（空心或实心）和方向不能出错。课堂练习练习 1下列式子中，哪些是不等式？（1）5 + 3 = 8 （2）x - 1＜0 （3）2x + 1≥3 （4）a + b = c （5）3x≠6练习 2用不等式表示下列数量关系：（1）x 的 5 倍减去 2 小于 10。（2）y 与 4 的和不大于 7。（3）m 的 3 倍与 1 的差至少是 2。（4）a 的一半与 b 的 2 倍的和不等于 5。练习 3判断下列各数是不是不等式 3x + 2≤11 的解：（1）x = 0 （2）x = 3 （3）x = 4 （4）x = 2练习 4写出下列不等式的解集，并在数轴上表示出来：（1）x + 2＞5 （2）2x≤6 （3）x - 1≥3 （4）3x + 4＜10课堂小结不等式是用不等号表示大小关系的式子，常见不等号有＞、＜、≥、≤、≠。使不等式成立的未知数的值是不等式的解，所有解组成的集合是不等式的解集。可以用数轴表示不等式的解集，遵循 “含等号用实心，不含等号用空心；大于向右，小于向左” 的规则。列不等式时要准确理解数量关系，选择合适的不等号。课后作业课本 Pxx 页习题 11.1 第 x、x 题。用不等式表示下列数量关系：（1）x 的 2 倍与 5 的差大于 3。（2）y 的 3 倍与 1 的和不小于 4。（3）m 与 2 的商小于 m 与 3 的和。（4）a 的 4 倍与 b 的一半的差不等于 6。写出下列不等式的解集，并在数轴上表示出来：（1）x - 5＜1 （2）3x≥9 （3）2x + 1＞7 （4）4x - 3≤5当 x 取下列哪些值时，不等式 2x - 5＞1 成立？x = 3，x = 4，x = 5，x = 2，x = 6思考：不等式的解和解集有什么区别？如何快速准确地在数轴上表示不等式的解集？2. 数轴的定义是什么? 数轴与实数有什么样的关系?1. 等式、方程的定义是什么?等式是指用“＝”表示相等关系的式子；方程是指含有未知数的等式，是表示两个数学式之间相等关系的一种等式.数轴是指规定了原点、正方向和单位长度的直线；一一对应. 小宏一家有四兄妹小宏、姐姐小新、哥哥小卡和弟弟小宋. 爸爸给四兄妹派发零花钱，小宏得到 5 元，小新得到 x 元，比小宏多；小卡得到 7 元，和小新得到的零花钱不一样；小宋得到 10 元，小新比小宋少，你能用式子表示他们零花钱之间的大小关系吗? 这节课我们来学习这些不等的数量关系的表示方法.问题 1：怎么用式子表示上面的数量关系?“x＞5”，“x≠7”，“x＜10”问题 2：像 “ x＞5”，“ x≠7 ”，“ x＜10” 这样子的式子是等式吗?不是等式问题 3：什么是不等式? 不等式中是否必须有未知数?用不等符号表示不等关系的式子叫作不等式；不一定有未知数，如 2＜3.像这样用符号“＜”或“＞”表示不等关系的式子，叫作不等式. 像 x≠7 这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式.要点归纳我们常用不等式表示不等关系.1. 判断下列式子是不是不等式：(1) -3＞0； (2) 4x＋3y＜0；(3) x = 3； (4) x2＋xy＋y2；(5) x＋2＞y＋5.解 ： (1)、 (2) 、 (5) 是不等式； (3)、 (4) 不是不等式.像这种，不含未知数的式子也是不等式练一练例1 用不等式表示下列不等关系：(1) a 与 15 的和大于 27；(2) b 的一半与 3 的差是负数；(3) 某县在乡村振兴项目的援助下，共种植 1 333 hm² 猕猴桃，种植面积超过全县原有猕猴桃种植面积的 18 倍.典例精析解：(1) a＋15＞27； (3) 设这个县原有猕猴桃种植面积为 x hm²， 那么 1 333＞18x，也可以表示为 18x＜1 333.2.用不等式表示下列数量关系：(1) x 的 5 倍大于－7；______________ (2) a 与 b 的和的一半小于－1；______________ (3) 长、宽分别为 x cm，y cm 的长方形的面积小于边长为 a cm的正方形的面积. __________练一练5x＞－7xy＜a2 问题情境：一辆匀速行驶的汽车在 11∶20 距离 A 地 50 千米，要在 12∶00 以前驶过 A 地，车速应该满足什么条件?问题1：假设车速是 x km/h，你可以列出不等式吗? A  不是不是不是是是是是是能，例如 x = 88，这个不等式有无数个解问题3：你还能找出这个不等式的其他解吗? 这个不等式有多少个解?追问1：根据方程的解的概念给不等式的解下定义. 代入法是检验某个值是否是不等式的解的简单、实用的方法.知识要点追问2：满足条件的 x 的值有何特点? 满足条件的 x 的值都在 x＞75 这个范围之内.求不等式的解集的过程叫作解不等式.知识要点使不等式成立的未知数的某个值使不等式成立的未知数的所有值个体全体如：x＝3 是不等式 2x＜10 的一个解如：x＜5 是不等式 2x＜10 的解集某个解一定是解集中的一员解集一定包含了所有的解 不等式的解与不等式的解集的区别与联系例2 下列不是不等式 5x－3＜6 的解的是( ) A.1 B.2 C.－1 D.－2典例精析B3.判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”.(1) x = 2 是不等式 x + 3 < 4 的解； （ ）(2) 不等式 x + 1 < 2 的解有无穷多个； （ ）(3) x = 3 是不等式 3x < 9 的解； （ ）(4) x = 2 是不等式 3x < 7 的解集. （ ）√××× 练一练先在数轴上标出表示 2 的点 A则点 A 右边所有的点表示的数都大于 2，而点 A 左边所有的点表示的数都小于 2.因此可以像下图那样表示不等式的解集 x > 2.问题 如何在数轴上表示出不等式 x＞2 的解集呢？A在数轴上表示不等式的解集 (1) x＞-1 ； (2) x＜0-101变式：已知关于 x 的不等式的解集在数轴上表示如图，你能写出此解集吗?x＜-2表示-1的点方向向右方向向左空心圆圈表示不含此点例3 在数轴上表示下列不等式.第一种：用式子 (如 x > 2)，即用最简形式的不等 式 (如 x > a 或 x < a ) 来表示.第二种：用数轴A1.画数轴2.定界点3.定方向数轴三要素＞，＜ 画空心圆圈大于向右，小于向左例4 直接写出 x + 4＜6 的解集，并在数轴上表示出来. 解：x＜2．这个解集在数轴上可以表示为：解：（1）x＜－3.（2）x＞7． CA. 5B. 4C. 3D. 22. 下列各项中，蕴含不等关系的是( )D  返回 B  BA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 返回      返回    1（答案不唯一） 返回8.用不等式表示下列不等关系：    （3）一枚炮弹的杀伤半径不小于300米； （4）三件上衣与四条长裤的总价不高于268元；   （6）小明的体重不比小刚轻.  返回9. 直接写出下列不等式的解集，并在数轴上表示出来.         返回 D  返回 C  返回  不等式及其解集阿木提江·塔西吐木尔托克逊县第一中学13899326086