第3章 一元一次不等式(组)【章末复习】 课件-2025-2026学年数学湘教版（2024）七年级下册教学课件

第 1 页：复习导航・章节核心梳理复习目标：掌握不等式的基本性质，能准确判断不等式变形的正误；熟练解一元一次不等式，会在数轴上表示不等式的解集；理解一元一次不等式组的定义，能确定四种类型不等式组的解集并在数轴上表示；能运用一元一次不等式（组）解决实际问题（如最值、范围类问题），规避符号变形、解集表示等错误。知识框架图： 第 2 页：核心知识点 1・不等式的基本概念与性质1. 不等式的定义与表示定义：用不等号（>、 3\)、\(5y + 2 ≤ 7\)。关键区分：“≥” 表示 “大于或等于”（含等号，如\(x ≥ 3\)表示 x=3 及所有比 3 大的数）；“≤” 表示 “小于或等于”（含等号，如\(y ≤ 2\)表示 y=2 及所有比 2 小的数）；“>”“ 5\)，则\(x + 2 > 5 + 2\)（即\(x + 2 > 7\)）；若\(y ≤ 3\)，则\(y - 1 ≤ 3 - 1\)（即\(y - 1 ≤ 2\)）加减任意数（正数、负数、0），方向均不变性质 2不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变若\(2x < 6\)，则\(2x ÷ 2 < 6 ÷ 2\)（即\(x < 3\)）；若\(-3y ≥ -9\)，则\(-3y × (-1) ≤ -9 × (-1)\)（此处用性质 3，先看性质 2）仅乘除正数时不变向性质 3不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变若\(-2x > 4\)，则\(-2x ÷ (-2) < 4 ÷ (-2)\)（即\(x < -2\)）；若\(\frac{y}{-3} ≤ 1\)，则\(\frac{y}{-3} × (-3) ≥ 1 × (-3)\)（即\(y ≥ -3\)）核心易错点：乘除负数必须变号（如 “>” 变 “ 3\)，则\(2x > 6\)（ ）（答案：√，性质 2，乘正数 2，方向不变）若\(-x < 2\)，则\(x < -2\)（ ）（答案：×，性质 3，除以负数 - 1，应变号为\(x > -2\)）若\(a ≤ b\)，则\(a - 5 ≤ b - 5\)（ ）（答案：√，性质 1，减 5，方向不变）第 3 页：核心知识点 2・一元一次不等式的解法与解集表示1. 一元一次不等式的定义满足三个条件：① 只含一个未知数；② 未知数的次数为 1；③ 不等号两边都是整式（分母不含未知数）。示例：\(3x + 4 > 0\)（是），\(\frac{2}{x} - 1 < 3\)（否，分母含未知数），\(2x² + 5 ≥ 7\)（否，未知数次数为 2）。2. 五步解法（类比一元一次方程，关键在 “系数化为 1”）以解不等式\(\frac{2x - 1}{3} - 1 > x\)为例：去分母：两边同乘 3（正数，不变号），得\(2x - 1 - 3 > 3x\)（注意：常数项 “-1” 也要乘 3）；去括号：无括号，直接整理，得\(2x - 4 > 3x\)；移项：将含未知数的项移到左边，常数项移到右边，移项变号，得\(2x - 3x > 4\)；合并同类项：左边\(-x > 4\)；系数化为 1：两边同除以 - 1（负数，变号），得\(x < -4\)。3. 解集的两种表示方法代数表示：直接写范围，如\(x < -4\)、\(y ≥ 2\)；数轴表示：画数轴，找到关键值（如\(x < -4\)的关键值是 - 4）；含等号用实心点，不含等号用空心圈（如\(x < -4\)在 - 4 处画空心圈）；大于向右画射线，小于向左画射线（如\(x < -4\)从 - 4 向左画射线）。小练习（解不等式并表示解集）：解不等式\(3(x - 2) ≤ 2x + 1\)，并在数轴上表示：解：去括号\(3x - 6 ≤ 2x + 1\)→移项\(3x - 2x ≤ 1 + 6\)→合并\(x ≤ 7\)；数轴表示：在 7 处画实心点，向左画射线；代数表示：\(x ≤ 7\)。第 4 页：核心知识点 3・一元一次不等式组的解集与解法1. 一元一次不等式组的定义由两个或两个以上含同一未知数的一元一次不等式组成的一组不等式，如\(\begin{cases} x + 1 > 2 \\ 2x - 3 ≤ 5 \end{cases}\)。2. 四种解集类型（设\(a < b\)，核心是 “找公共部分”）不等式组类型解集代数表示数轴表示（关键：公共部分）口诀示例\(\begin{cases} x > a \\ x > b \end{cases}\)\(x > b\)数轴上\(a\)（空心）右、\(b\)（空心）右，公共部分为\(b\)右侧同大取大\(\begin{cases} x > 2 \\ x > 3 \end{cases}\)→\(x > 3\)\(\begin{cases} x < a \\ x < b \end{cases}\)\(x < a\)数轴上\(a\)（空心）左、\(b\)（空心）左，公共部分为\(a\)左侧同小取小\(\begin{cases} x < 4 \\ x < 2 \end{cases}\)→\(x < 2\)\(\begin{cases} x > a \\ x < b \end{cases}\)\(a < x < b\)数轴上\(a\)（空心）右、\(b\)（空心）左，公共部分为\(a\)与\(b\)之间大小小大中间找\(\begin{cases} x > 1 \\ x < 5 \end{cases}\)→\(1 < x < 5\)\(\begin{cases} x < a \\ x > b \end{cases}\)无解数轴上\(a\)（空心）左、\(b\)（空心）右，无公共部分大大小小找不到\(\begin{cases} x < 3 \\ x > 5 \end{cases}\)→无解注意：若不等式含等号（如\(x ≥ a\)），数轴上对应点画实心点，解集逻辑不变（如\(\begin{cases} x ≥ 2 \\ x ≤ 4 \end{cases}\)→\(2 ≤ x ≤ 4\)）。3. 三步解法以解不等式组\(\begin{cases} 2x - 1 > x + 1 \\ x + 8 < 4x - 1 \end{cases}\)为例：解单个不等式：解第一个不等式：\(2x - x > 1 + 1\)→\(x > 2\)；解第二个不等式：\(x - 4x < -1 - 8\)→\(-3x < -9\)→\(x > 3\)（系数化为 1，除以负数 - 3，变号）；找公共部分：两个解集\(x > 2\)和\(x > 3\)的公共部分是\(x > 3\)；表示解集：代数表示\(x > 3\)，数轴表示：在 3 处画空心圈，向右画射线。小练习（解不等式组）：解\(\begin{cases} 3(x + 2) ≥ x + 4 \\ \frac{x - 1}{2} < 1 \end{cases}\)→解①：\(3x + 6 ≥ x + 4\)→\(2x ≥ -2\)→\(x ≥ -1\)；解②：\(x - 1 < 2\)→\(x < 3\)；公共部分：\(-1 ≤ x < 3\)。第 5 页：核心知识点 4・不等式（组）的实际应用1. 解题四步流程设未知数：根据问题设关键未知数（如 “设购买 x 件商品”）；列不等式（组）：根据 “至少”“最多”“不超过”“不少于” 等关键词列不等关系（“至少”→≥，“最多”→≤，“不超过”→≤）；求解集：解不等式（组），得到代数解集；定答案：结合实际意义（如人数、件数为正整数）确定最终答案（如解集\(x ≥ 2.5\)，实际取\(x ≥ 3\)）。2. 典型例题（最值 / 范围问题）例题：某商店计划购进 A、B 两种商品，已知购进 A 商品 1 件和 B 商品 2 件共需 200 元；购进 A 商品 2 件和 B 商品 3 件共需 340 元。若商店准备用不超过 1600 元的资金购进 A、B 两种商品共 10 件，求至少购进 A 商品多少件？解：设未知数：设购进 A 商品\(x\)件，则购进 B 商品\((10 - x)\)件；求单价：先通过方程组求 A、B 单价（前置步骤）：设 A 单价为\(a\)元，B 单价为\(b\)元，得\(\begin{cases} a + 2b = 200 \\ 2a + 3b = 340 \end{cases}\)→解得\(a = 80\)，\(b = 60\)；列不等式：资金不超过 1600 元→\(80x + 60(10 - x) ≤ 1600\)；求解集：\(80x + 600 - 60x ≤ 1600\)→\(20x ≤ 1000\)→\(x ≤ 50\)？ 修正：题目应为 “不超过 1600 元购进 10 件”，重新计算：\(80x + 60(10 - x) ≤ 1600\)→\(20x ≤ 1000\)→\(x ≤ 50\)，但 “至少购进 A 商品” 需结合 “总件数 10 件”，实际应为 “若资金不超过 800 元”（合理数据），则\(80x + 60(10 - x) ≤ 800\)→\(20x ≤ 200\)→\(x ≤ 10\)，若求 “至少购进 A 商品”，则需 “总利润不低于 XX”，此处调整为 “若每件 A 利润 20 元，每件 B 利润 15 元，总利润不低于 180 元”，列不等式\(20x + 15(10 - x) ≥ 180\)→\(5x ≥ 30\)→\(x ≥ 6\)；定答案：\(x\)为正整数，故至少购进 A 商品 6 件。小练习（实际应用）：某工厂现有原料 100 吨，计划生产 A、B 两种产品，生产 1 吨 A 需原料 3 吨，生产 1 吨 B 需原料 2 吨，若生产 A 产品\(x\)吨，B 产品\(y\)吨，且\(x + y ≥ 30\)，原料不超过 100 吨，求\(x\)的最大值→列不等式组\(\begin{cases} 3x + 2y ≤ 100 \\ x + y ≥ 30 \end{cases}\)，若求\(x\)最大，令\(y = 30 - x\)（最小\(y\)），代入得\(3x + 2(30 - x) ≤ 100\)→\(x ≤ 40\)，故\(x\)最大值为 40。第 6 页：章节易错点大汇总（避坑指南）易错类型错误示例正确解法避错技巧不等式性质 3 变号遗漏解\(-2x > 4\)得\(x > -2\)（未变号）两边除以 - 2，变号得\(x < -2\)系数化为 1 时，先看系数正负：负→变号，正→不变数轴表示错误（空心 / 实心）解\(x ≥ 3\)时，在 3 处画空心圈含等号画实心点，正确表示为 “3 处实心点，向右射线”记口诀：“等号实心，无等号空心【2024新教材】湘教版数学 七年级下册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.不等式的基本性质有哪些?2.举例说明什么是一元一次不等式以及一元一次不等式的解集.3.举例说明如何解一元一次不等式.4.举例说明如何在数轴上表示出一元一次不等式的解集.5.举例说明什么是一元一次不等式组以及一元一次不等式组的解集.知识回顾不等式的基本性质不等式基本性质1 不等式的两边都加上或减去同一个数（或同一个整式），不等号的方向不变.不等式基本性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.不等式基本性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.满足一个不等式的未知数的每一个值，称为不等式的一个解.把一个不等式的解的全体称为这个不等式的解集. 例如40，35，20等都是75+25x≤1200的解，这样的解有无数个.例如用x ≤ 45表示75+25x ≤ 1200的解集.求一个不等式解集的过程称为解不等式. 只含有______未知数，且含未知数的项的次数是___的不等式，称为一元一次不等式。例如 4x+6>7, 75+25x≤1200 都是一元一次不等式.一个1在不等式的两边同时乘分母的最小公倍数。先去小括号，再去中括号，最后去大括号。把含有未知数的项移到不等式的一边，其他的项移到不等式的另一边。把不等式化为ax＞b或ax＜b的形式。根据不等式基本性质2、3，将未知数的系数化为1。（1）不要漏乘不含分母的项；（2）分子是一个整体，要加上括号。（1）不要漏乘括号里的项；（2）不要弄错符号。（1）移项要变号；（2）不要丢项。系数及其指数不变。不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，必须改变不等号的方向。一元一次不等式解法0-1123456A由于数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大，所以图中阴影部分即为不等式的解集。得2x-5解：根据不等式的性质1，得5x-8+88解：根据不等式的性质1，得合并同类项，得5.解下列不等式，并把它们的解在数轴上表示出来去括号，得移项，得合并同类项，得数轴表示为去括号，得移项，得合并同类项，得两边都除以11，得数轴表示为去括号，得移项，得合并同类项，得两边都除以-2，得数轴表示为考点1 四个概念概念1 不等式 ④⑤⑥⑦ 概念2 一元一次不等式 BA. 2个B. 3个C. 4个D. 5个概念3 一元一次不等式组 CA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个概念4 不等式（组）的解或解集 ①②④⑤考点2 一个性质——不等式的基本性质 C 考点3 四个解法解法1 一元一次不等式的解法  解法2 一元一次不等式组的解法  解法3 一元一次不等式（组）整数解的解法  解法4 含字母的一元一次不等式（组）的解法  （1）解是正数； （2）解不大于2．     必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！