福建省厦门市集美后溪中学上学期九年级数学期中考试卷（解析版）-A4

这是一份福建省厦门市集美后溪中学上学期九年级数学期中考试卷（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号展现一系列完备且完美的世界．下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是（ ）
A. 笛卡尔心形线B. 三叶玫瑰曲线
C. 蝴蝶形曲线D. 太极曲线
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转，与自身重合，逐一进行判断即可．
【详解】A、笛卡尔心形线不是中心对称图形，不符合题意；
B、三叶玫瑰曲线不是中心对称图形，不符合题意；
C、蝴蝶形曲线不是中心对称图形，不符合题意；
D、太极曲线是中心对称图形，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查中心对称图形．熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
2. 若一元二次方程的一个根为，则的值为（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的解，此题比较简单，需要同学们熟练掌握．
一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立，最后转化成解的一元一次方程．
【详解】解：把代入方程可得，
解得，
故选：A．
3. 抛物线的对称轴是（ ）
A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数顶点式的性质，解题的关键是掌握，对称轴为直线，据此即可解答．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线，
故选：A．
4. 配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则b的值是（ ）
A. 2024B. 2025C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了配方法，将2024移到方程的右边，然后方程左右两边同时加上1，则方程左边变成了完全平方式，方程右边即为所求的b的值．
【详解】解：
，
∴，
故选：B．
5. 一元二次方程根的情况是（ ）
A. 没有实数根B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查利用判别式判断一元二次方程根的个数，求出判别式的符号，进行判断即可．
【详解】解：，
∵，
∴方程没有实数根，
故选A．
6. 二次函数的图象向下平移4个单位，再向左平移2个单位，所得到的函数关系式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移．根据二次函数图象的平移规律：“左加右减，上加下减”进行求解即可．
【详解】解：二次函数的图象向下平移4个单位，再向左平移2个单位，
所得到的函数关系式是，
即，
故选A．
7. 如图，将含45°的直角三角板ABC绕着点A顺时针旋转到△ADE处（点C，A，D在一条直线上），则这次旋转的旋转角为（ ）

A. 45°B. 90°C. 135°D. 180°
【答案】C
【解析】
【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，据此即可求解．
【详解】旋转角是∠BAD=180°﹣45°=135°．
故选C．
8. 如图，李大爷用24米长的篱笆靠墙围成一个长方形菜园，若菜园靠墙的一边长为（米），那么菜园的面积（平方米）与的关系式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出的长是解题关键．先求出的长，再利用长方形的面积公式求解即可得．
【详解】解：由题意得：米，
则菜园的面积，
故选：C．
9. 某小组同学为了研究太阳照射下物体影长变化规律，某日在学校操场上竖立一根直杆，经研究发现，当日该直杆的影长与时间的关系近似于二次函数，并在，，这三个时刻，测得该直杆的影长分别约为，，．根据该小组研究结果，下列关于当日该直杆影长的判断正确的是（ ）
A. 前，直杆的影子逐渐变长
B. 后，直杆的影子逐渐变长
C. 在到之间，还有某个时刻直杆的影长也为
D. 在到之间，会有某个时刻直杆的影长达到当日最短
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，由题意可知，从到，直杆的影长先变短，再变长，再结合数据可推导，对称轴在到之间．理解并掌握二次函数的对称性是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可知，从到，直杆的影长先变短，再变长，
由二次函数的性质可知，其对称轴在到之间，
若对称轴在到之间时，与对称的时候直杆的影长为，且这个时间在之前，与题意矛盾，故不符题意；
∴对称轴在到之间，
∴前，直杆的影子逐渐变短，后，直杆的影子逐渐变长，故A、B错误，
在到之间，还有某个时刻直杆的影长也为，故C正确，
在到之间，会有某个时刻直杆的影长达到当日最短，故D错误，
故选：C．
10. 抛物线 过四个点，若，四个数中有且只有一个大于零，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
依据题意，可得抛物线的对称轴是直线，又当时，，从而，且当时，，故，然后分和两种情形讨论，结合四个数中有且只有一个大于零，即可判断得解．
【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴是直线．
又当时，
∴，且当时，．
∴．
①若，则当时，y随x增大而增大．
∵，
∴．
∵四个数中有且只有一个大于零，
又，
∴
∴．
∴
②若，
则当时，y随x的增大而减小．
∵
∴．
∴四个数中没有一个大于0，不合题意．
故选：D．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 方程的解是______．的解是______．
【答案】 ① ， ②. ，
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据直接开平方法和因式分解法法求解即可，熟练掌握解一元二次方程的方法及步骤是解题的关键．
【详解】解：
，；
，
，；
故答案为：，；，．
12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了中心对称，关于原点对称的两点，其横、纵坐标均互为相反数，熟记相关结论即可．
【详解】解：由题意得：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：
13. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的解析式可得出汽车刹车时时间，将其代入二次函数解析式中即可得出的值.
【详解】解：根据二次函数解析式
可知，汽车的刹车时间为，
当时，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数性质的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．
14. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，，将绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点的坐标是______
【答案】
【解析】
【分析】作轴于H，由题可得，即可求出和，由第二象限点的特征横坐标为负数纵坐标为正数即可
【详解】解：如图，作轴于H．
由题意：，
∴，
∴， ，
∴，
∴ ．
【点睛】本题考查旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
15. 《代数学》中记载，形如方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小唐按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为_________．

【答案】4
【解析】
【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为3，先计算出大正方形的面积=阴影部分的面积+4个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论．
【详解】解：，
∵阴影部分的面积为64，
∴，
设，
则，
同理：先构造一个面积为的正方形，
再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，
得到大正方形的面积为，
则该方程的正数解为，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16. 若点，是二次函数与x轴正半轴的两个交点，且满足：在p，q，这三个数中，有一个数可以作为另两个数的平均数，也有一个数可以作为另两个数之积的平方根，则该二次函数顶点坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据点，是二次函数与x轴正半轴的两个交点，得出，则或，根据，得出是的平方根，则，联立求解，求出p和q的值，再用待定系数法，求出二次函数表达式，即可得出顶点坐标．
【详解】解：∵点，是二次函数与x轴正半轴的两个交点，
∴，
∴或，
∵，
∴是的平方根，即，
①当时，
，
解得：（舍去），
当时，，
②当时，
，
解得：（舍去），
当，，
综上：二次函数与x轴正半轴的两个交点，，
把，代入得：
，解得：，
∴二次函数表达式为：，
∴该二次函数顶点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平均数和平方根的定义，求二次函数表达式，求二次函数顶点坐标，解题的关键是根据题意得出或，以及是的平方根，掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤．
三、解答题（共86分）
17. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【小问1详解】
解：
，；
【小问2详解】
，，，
∵，
∴，
解得：，．
【点睛】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程的求解方法．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值及二次根式的化简，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，
原式．
19. 如图，E、F是平行四边形的对角线上的两点，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，解题的关键在于掌握辅助线的作法，以及数形结合思想的应用．连接，交于点O，根据平行四边形的性质可知，，再结合可得，从而可得四边形是平行四边形．
【详解】证明：连接，交于点O，
∵四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
，
∴四边形是平行四边形．
20. 已知二次函数．
（1）在平面直角坐标系中，利用五点法画出该函数图象（列表）．
利用函数图象回答下列问题：
（2）当x 时，y随x的增大而增大；
（3）当时，函数y的取值范围为 ；
（4）若有两个不相等的实数根，m的取值范围为 ．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查的是抛物线的顶点式，画二次函数的图象，二次函数的性质，二次函数与直线的交点坐标及一元二次方程的实数根之间的关系，掌握以上知识利用数形结合的方法解题是关键．
（1）在对称轴的两侧取两组对称点，列表，然后描点、连线即可．
（2）在对称轴的右侧符合题意，从而可得答案；
（3）先求解函数的最小值，再求解当的函数值，进而可以判断得解；
（4）观察函数，的图象的交点个数可得答案．
【小问1详解】
解：由题意，列表如下：
描点并连线如下图：
【小问2详解】
由函数图象信息可得：当时，y随x的增大而增大．
故答案为：．
【小问3详解】
由函数图象信息可得：
当时，，取最小值．
当时，，
∴当时，函数y的取值范围为：．
故答案为：．
【小问4详解】
，
观察函数，的图象的交点，
∴当时，函数，的图象的有两个交点．
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为：．
21. 如图，在中，．
（1）尺规作图：将绕点A顺时针旋转得到，并使点落在边上．（要求：不写作法，保留作图痕迹）．
（2）连接，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）以点A为圆心，长为半径画弧交于点，再以点为圆心，长为半径画弧与以点A为圆心，长为半径画弧交于点，连接，即为所求；
（2）根据勾股定理求出的长，再根据旋转的性质得出，，求出的长即可求解．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，明确旋转前后对应边、对应角相等是解题的关键．
【小问1详解】
如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：连接
∵中，
∴
∵绕点A顺时针旋转得到，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理得，
22. 龙岩市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
【答案】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为
（2）该品牌头盔每个售价应定为50元
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用：
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可；
（2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可．
【小问1详解】
解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得
解得（不合题意，舍去）
答：设该品牌头盔销售量的月增长率为．
【小问2详解】
解：设该品牌头盔每个售价为y元，
依题意，得
整理，得
解得
因尽可能让顾客得到实惠
，所以不合题意，舍去．
所以．
答：该品牌头盔每个售价应定为50元．
23. 综合与实践
素材1：一年一度的科技节即将到来，小明所在的科技小组研制了一种航模飞机．通过多次实验，收集了飞机的水平飞行距离x（单位：）与相对应的飞行高度y（单位：）的数据（如下表）
素材2：如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞航模飞机
链接：已知航模的飞行高度y（单位：）与水平飞行距离x（单位：）满足二次函数关系
任务1：请求出y关于x的函数关系式（不用写自变量的取值范围），并求出航模的最远飞行距离．
任务2：在安全线上设置回收区域，点M的右侧为回收区域（包括端点M），．若飞机落到回收区域内，求发射平台相对于安全线的最低高度．
【答案】任务一：航模的最远飞行距离为；任务二：发射平台相对于安全线的最低高度为
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是求出二次函数解析式．
任务1：根据表中数据，用待定系数法求出函数解析式；令，解方程求出的值；
任务2：设发射平台相对于安全线的高度为，飞机相对于安全线的飞行高度为，然后根据题意知，当时，，解不等式求出的最小值．
【详解】解：（1）已知航模的飞行高度y（单位：）与水平飞行距离x（单位：）满足二次函数关系，由表可知是顶点
∴设
把代入得：
∴
当时
，

答：航模的最远飞行距离为
（2）设发射平台相对于安全线的高度为n米
∴
当时，
∴
∵
∴
∴
∴
答：发射平台相对于安全线的最低高度为．
24. 已知线段，将绕点逆时针旋转得到，连接，在线段上取一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．
（1）如图1，当时，连接，求度数；
（2）如图2，当时，试探究线段与之间满足的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2），理由见详解
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质可得，再结合题意及等腰三角形的性质即可获得答案；
（2）过点作于点，过点作于点，根据题意可得，，即，，，再证明，；根据“直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得，易得，结合垂直平分线的性质可得，即可证明．
【小问1详解】
解：∵线段绕点逆时针旋转得到，，
∴，，
∴；
【小问2详解】
如下图，过点作于点，过点作于点，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，
又∵，
∴，，即，
∵，
∴，
∵线段绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、30度角所对的直角边等于斜边的一半、垂直平分线的定义与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）过点作轴交直线于点，求的最大值；
（3）若点为抛物线对称轴上的点，问在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点，使为等腰直角三角形，且？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）点坐标为或
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，还考查了线段的最值，要注意分类讨论；还要注意求最大值可以借助于二次函数．
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）求出直线的函数表达式为，设，求出，得到，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）分点位于轴上方和点位于轴下方两种情况讨论求解即可．
【小问1详解】
解：由题意，把，代入抛物线，
得
解得
∴该抛物线的函数表达式为．
【小问2详解】
解：设直线的函数表达式为．
把，代入，得
解得
∴直线的函数表达式为．
设．
∵轴，
∴，
∴．
∵，
∴当时，有最大值．
【小问3详解】
解：①当点位于轴上方时．
如图1，过点作垂直对称轴于点，设抛物线的对称轴交轴于点，
则．
∵为等腰直角三角形，且，
∴，．
∵，
∴．
在和中，
∴，
∴，．
∵抛物线的对称轴为直线，
∴．
设点的坐标为，此时，则，
∴．
∵点在抛物线上，
∴，
解得，（舍去），
∴点的坐标为；
②当点位于轴下方时．
如图2，设点的坐标为，此时，
同理得，则有，
解得，（舍去），
∴点的坐标为．
x
…
…
y
…
…
x
…
0
1
2
3
…
y
…
0
0
…
飞行水平距离x（单位：）
0
20
40
60
80
100
飞行高度y（单位：）
0
40
64
72
64
40