福建省厦门外国语集美分校九年级上学期期中考数学试卷（解析版）-A4

这是一份福建省厦门外国语集美分校九年级上学期期中考数学试卷（解析版）-A4，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）
一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分，每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1. 在下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可．
【详解】解：A中图标不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B中图标是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C中图标既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，，故本选项不符合题意；
D中图标既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意，
故选：D．
2. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线顶点式即可求解．
【详解】解：∵抛物线，
∴顶点坐标为，
故选：．
【点睛】本题主要考查抛物线顶点式的理解，掌握抛物线顶点式的形式即表示意义是解题的关键．
3. 抛物线的对称轴是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的对称轴求解方法，直接根据二次函数配方后得到对称轴，就是，进而选出正确选项．
【详解】解：；
；
；
即；
所以对称轴为；
故选：D．
4. 如图所示的正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，．旋转角的度数是（ ）
A. 110°B. 90°C. 70°D. 20°
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAD=，由旋转的性质推出≌，求出∠FAE=∠BAD=，即可得到答案．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=，
由旋转得≌，
∴∠FAB=∠EAD，
∴∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE，
∴∠FAE=∠BAD=，
∴旋转角的度数是，
故选：B．
【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
5. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，由有两个相等的实数根，得，代入数值化简计算，即可作答．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴
∴
故选：B．
6. 据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为，依题意可列方程为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式．设年平均增长率为，根据等量关系式：2022年人均可支配收入2024年人均可支配收入，列出方程即可．
【详解】解∶ 设年平均增长率为，
根据题意，得，
故选：C．
7. 汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式是，汽车刹车后到停下来前进了（ ）米．
A. 0B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据二次函数的解析式得出其顶点式，再利用二次函数的性质求出s的最大值即可得出结论．利用配方法求出二次函数的顶点式是解题的关键．
【详解】解：∵
，
∴汽车刹车后到停下来前进了米，
故选：D．
8. 已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，运用因式分解法解一元二次方程，正确地列出不等式是解题的关键．先得出二次函数与轴的两个交点坐标分别为则，再结合，得出，可求①，又因为和两点都在直线的上方，得出，，可求②，即可作答．
【详解】解： 令，
解出
二次函数与轴的两个交点坐标分别为
，
，
，
二次函数（是常数，）的图象上有和两点．，
，
，
，
，
①，
二次函数（是常数，）的图象上有和两点．
，
和两点都在直线的上方，
，，
，，
，，
解得，，
②，
由①②得．
故选：A．
二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分）
9. 方程的解为：______．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后直接开平方，求出方程的解即可．
【详解】解：，
移项得：，
开平方得：，
∴，．
故答案为：，．
10. 点关于原点对称的点的坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点的坐标的特征：横、纵坐标都互为相反数，即可求解．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
11. 已知一元二次方程的一个根为，则的值为__________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义把代入方程得到关于m的方程，然后解此一次方程即可．
【详解】解：∵一元二次方程的一个根为，
∴，
∴，
故答案为：3．
12. 某二次函数的几组对应值如下表所示，若 x1＜x2＜x3＜x4＜x5，则该函数图象的开口方向是_____．
【答案】向下．
【解析】
【分析】由条件可判断二次函数的增减性，则可求得答案．
【详解】解：由表中所给函数值可知：
当x＜x4时，y随x的增大而增大，
当x＞x5时，y随x的增大而减小，
∴抛物线开口向下，
故答案为向下．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，由题目条件得出二次函数的增减性是解题的关键．
13. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标，连接，将绕点逆时针旋转，得到，则点的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】过点作轴于点A，过点作轴于点C，易证，即得出，，即．
【详解】解：如图，过点作轴于点A，过点作轴于点C，
∵将绕点逆时针旋转，得到，
∴，，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与图形，三角形全等的判定和性质．正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
14. 阅读下列材料：
早在公元1世纪左右，我国著名的数学典籍《九章算术》中就已经对一元二次方程进行了研究：在“勾股”章中，根据实际问题列出方程x2 + 34x - 71000 = 0，给出该方程的正根为x = 250，并简略指出解该方程的方法：开方除之．其后，受此启发，有数学家研究了利用几何图形求解该方程的方法，对于丰富我国古代有关一元二次方程的研究具有重要的价值．用该方法求解的过程如下（如图）：
第一步：构造
已知小正方形边长为x，将其边长增加17，得到大正方形．
第二步：推理
根据图形中面积之间的关系，可得（x+17）2 = x2 + 2 × 17x + 172．
由原方程x2 + 34x - 71000 = 0，得x2 + 34x = 71000．
所以（x+17）2 = 71000 + 172．
所以（x+17）2 = 71289．
直接开方可得正根x = 250．
依照上述解法，要解方程x2 + bx + c = 0（b > 0），请写出第一步“构造”的具体内容与第二步中“（x+17）2 = 71000 + 172”相应的等式是 _________ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据题中例题及配方法求解即可得．
【详解】解：第一步：“构造”
内容为：已知小正方形边长为x，将其边长增加，得到大正方形；
第二步：“推理”
，
∵，得，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查利用配方法解一元二次方程的应用，理解题中例题及配方法是解题关键．
15. 点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F分别是AB边上的点，且EF＝AB；G、H分别是BC边上的点，且GH＝BC；若S1,S2分别表示∆EOF和∆GOH的面积，则S1,S2之间的等量关系是______________
【答案】2S1＝3S2
【解析】
【分析】过点O分别作OM⊥BC，垂足为M，作ON⊥AB，垂足为N，根据点O是平行四边形ABCD的对称中心以及平行四边形的面积公式可得AB•ON=BC•OM，再根据S1=EF•ON，S2=GH•OM，EF＝AB，GH＝BC，则可得到答案．
【详解】过点O分别作OM⊥BC，垂足为M，作ON⊥AB，垂足为N，
∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，
∴S平行四边形ABCD=AB•2ON， S平行四边形ABCD=BC•2OM，
∴AB•ON=BC•OM，
∵S1=EF•ON，S2=GH•OM，EF＝AB，GH＝BC，
∴S1=AB•ON，S2=BC•OM，
∴2S1＝3S2，
故答案为2S1＝3S2．
【点睛】本题考查了平行四边形的面积，中心对称的性质，正确添加辅助线、准确表示出图形面积是解题的关键．
16. 如图，在中，，，，点M是边上一动点，点D，E分别是，的中点，当时，的长是___________．若点N在边上，且，点F，G分别是，的中点，当时，四边形面积S的取值范围是____________．

【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理可得，设，从而，由此得到四边形是平行四边形，结合边上的高为，即可得到函数解析式，进而得到答案．
【详解】解：∵点D，E分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴；
如图，设，

由题意得，，且，
∴，
又F、G分别是的中点，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
由题意得，与的距离是，
∴，
∴边上的高为，
∴四边形面积，
∵，
∴，
故答案：，．
【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理，二次函数的性质，求函数解析式，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握并灵活运用适当的解法．
（1）根据直接开平方法求解即可；
（2）先计算，再利用公式法解方程即可．
【小问1详解】
解：
，；
【小问2详解】
解：
∴Δ=−62−4×1=32>0
∴，
∴，．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化等知识，先根据分式的运算法则化简，然后把x的值代入计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式
19. 如图，在中，．
（1）将绕点逆时针旋转使得点的对应点恰好落在边上，画出旋转后的；
（2）在（1）的条件下，连接，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质画图即可；
（2）根据旋转的性质，勾股定理解答即可．
本题考查了旋转作图，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【小问1详解】
解：将绕点逆时针旋转的度数，使得点的对应点恰好落在边上，画图如下：
则即为所求．
【小问2详解】
解：∵，，，
∴，
根据旋转的性质，得，，，
∴，
∴．
．
20. 已知抛物线
（1）在直角坐标系中画出函数图像；
（2）判断在抛物线的上方还是下方？并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）下方，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象，以及二次函数的图象上点的特征，解题的关键是：
（1）列表、描点、连线即可；
（2）求出当时，对应的函数值即可判断．
【小问1详解】
解：列表
画图如下
【小问2详解】
解：∵当时，y=−22−4×−2−2=10>5，
∴在抛物线的下方．
21. 若关于的方程有两个实数根，
（1）求的取值范围；
（2）设，是方程的两个根，且，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，解一元二次方程等知识，解题的关键是：
（1）根据方程有两个实数根，可得，代入求解即可；
（2）根据根与系数的关系得出，，然后根据，列方程求解即可．
小问1详解】
解：∵关于的方程有两个实数根，
∴，
解得；
【小问2详解】
解：根据题意，得，，
∵，
∴，
∴，
化简，得，
解得，，
∵，
∴．
22. 某超市购进一批时令水果，成本为10 元/千克，根据市场调研发现，这种水果在未来30天的销售单价m(元/千克)与时间x(天)之间的函数关系式为（且为整数），且其日销售量y (千克)与时间x(天)之间的函数关系如图所示：
（1）求每天销售这种水果的利润W(元)与x(天)之间的函数关系式；
（2）问哪一天销售这种水果的利润最大？最大日销售利润为多少？
【答案】（1）（且为整数）； （2）第22或23天，最大利润为903元；
【解析】
【分析】（1）由题意设销售数量把代入函数解析式，可得再利用总利润等于销售数量千克乘以每千克水果的利润元，从而可得答案；
（2）利用（1）中的二次函数解析式，结合且为整数，利用二次函数的性质求解最大值即可．
详解】解：（1）由题意设销售数量
把代入函数解析式；

解得：


（且为整数）；
（2），
抛物线的对称轴为：
＜ 且为整数，
当或时，取得最大值，
最大值为：元．
【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的应用，二次函数的性质，掌握利用二次函数的性质求解最大利润是解题的关键．
23. 图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向 旋转．当旋转角为60°时，箱盖ADE落在的位置（如图2所示），已知，，．
（1）求点到BC的距离；
（2）求E、两点的距离．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）如图所示，过点作垂足为点H，交AD于点F，先解直角三角形求出的长，再求出FH的长即可得到答案；
（2）连接AE，，，证明等边三角形，，只需要利用勾股定理求出AE即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图所示，过点作垂足为点H，交AD于点F，
由题意得：，，
∵四边形ABCD是矩形，
∵，
∴，
在中，
又∵CE＝40cm，DE＝30cm，
∴cm，
∴
答：点到BC的距离为；
【小问2详解】
解：连接AE，，，如图所示．由题意，，
∴是等边三角形，
∴．
∵四边形ABCD是矩形，
∴
在Rt△ADE中，AD＝90cm，DE＝30cm，
∴，
∴，
答：E、两点的距离为．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
24. 中，，，将线段绕点旋转，得到线段，连接、．
（1）如图1，将线段绕点逆时针旋转，则_____；
（2）如图2，将线段绕点顺时针旋转时，
①求证：；
②若的平分线交于点，交的延长线于点，连接，如图3，用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）
（2）①见解析；②，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由及旋转角、等腰三角形的性质可分别求得，，则由和角关系即可求得的度数；
（2）①由及旋转角、等腰三角形的性质可分别求得，，则由差角关系即可求得的度数；
②过点C作于点C，交的延长线于点H，证明B，是等腰直角三角形，推出，利用等腰直角三角形的性质即可证明结论．
【小问1详解】
解：由题意得：，
，
∴，
∴
故答案为：；
【小问2详解】
①证明：由题意得：，，
∴，
∴
②解：．理由如下：
过点C作于点C，交的延长线于点H，如图：
∵，是的平分线，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
由①知，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，则，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和等腰直角三角形解决问题．
25. 已知：二次函数的图象与x轴交于点A、，顶点为
求该二次函数的解析式；
如图，过A、C两点作直线，并将线段AC沿该直线向上平移，记点A、C分别平移到点D、E处若点F在这个二次函数的图象上，且是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；
试确定实数p，q的值，使得当时，．
【答案】（1）该二次函数的解析式为；（2）点F的坐标为；（3）满足条件的实数p，q的值为，或，．
【解析】
【详解】分析：（1）由二次函数y=ax2+bx+c的顶点为C（-1，-2），可设其解析式为y=a（x+1）2-2，再把B（-3，0）代入，利用待定系数法即可求出该二次函数的解析式；
（2）由二次函数的解析式求出A（1，0）．过点C作CH⊥x轴于点H．解直角△ACH，得出AH=2=CH，那么∠1=45°，AC=2．解等腰直角△DEF得出∠2=45°，EF=4，由∠1=∠2=45°，得到EF∥CH∥y轴．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x-1．设F（m，m2+m-）（其中m＞1），则点E（m，m-1），那么EF=（m2+m-）-（m-1）=m2-=4，解方程求出m，进而得出点F的坐标；
（3）先求出y=时x1=-4，x2=2．再根据二次函数的性质可知，当p≤x≤q时，p≤y≤，应分三种情况讨论：①p≤x≤-1；②p＜-1≤q；③-1≤p＜q．
详解：二次函数顶点为，
可设该二次函数的解析式为，
把代入，得，
解得，
该二次函数的解析式为；
由，得或1，
．
如图，过点C作轴于点H．
，
，，
又，
，
，．
在等腰直角中，，，
，，
，
轴．
由，可得直线AC的解析式为．
由题意，设其中，则点，
，
，不合题意舍去，
点F的坐标为；
当时，，解得，．
，
当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；
当时，y有最小值．
当时，，
可分三种情况讨论：
当时，由增减性得：
当时，，当时，，不合题意，舍去；
当时，
Ⅰ若，由增减性得：
当时，，当时，，不合题意，舍去；
Ⅱ若，由增减性得：
当时，，当时，，符合题意，
，；
当时，由增减性得：
当时，，当时，，
把，代入，得，
解得，不合题意，舍去，
，．
综上所述，满足条件的实数p，q的值为，或，．
x
x1
x2
x3
x4
x5
y
﹣3
﹣
0
2
﹣1
…
…
…
…
…
0
1
2
3
4
…
…
…