福建省泉州市永春县福建省永春第一中学九年级上学期1月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省泉州市永春县福建省永春第一中学九年级上学期1月月考数学试题（解析版）-A4，共35页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每题4分，共40分）
1. 定义“!”是一种数学运算符号，并且，，，．…，则的值为（ ）
A. B. 99!C. 100D. 2!
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了新定义运算．根据新定义运算，进行求解即可．
【详解】解：根据题意得，
故选：C．
2. 若是方程的解，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将代入方程即可得到关于的方程，再利用的值得到代数式的值．
【详解】解：∵是方程解，
∴，
∴，
∴，
故选．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解及有理数的混合运算，掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
3. 将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图，则大圆柱形容器水面的高度与注水时间的函数图像大致为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分三个过程：当水的高度不高于小水杯的高度，当小水杯没有装满水，小水杯装满水，分别分析出高度与时间的关系即可得到答案．
【详解】解：将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，则大圆柱形容器水面的高度一定会慢慢升高，故排除A；当水面高度和小水杯一样高时，继续注水，水流入小水杯，大圆柱形容器水面的高度不变，故排除D；当小水杯注满水时，大圆柱形容器水面的高度继续升高，但此时的高度变化比第一阶段的变化慢，所以直线比较平缓，故排除B，
故选：C．
【点睛】本题考查了函数图像横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图像得到在自变量增大的时候，函数是增大、减小、还是不变是解题的关键．
4. 孟德尔被誉为现代遗传学之父，他通过豌豆杂交实验，发现了遗传学的基本规律．如图，纯种高茎豌豆和纯种矮茎豌豆杂交，子一代都是高茎豌豆，子一代种子种下去，自花传粉，获得的子二代豌豆由DD、Dd、dd三种遗传因子控制．由此可知，子二代豌豆中含遗传因子D的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】画出遗传图解，即可得到答案．
【详解】解：画图如下：
共有4种情况，而出现高茎的有3种结果，
∴子二代豌豆中含遗传因子D的概率是，
故选：D
【点睛】本题主要考查了求概率，正确画出树状图是解答本题的关键．
5. 若二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，则m的取值范围是（ ）
A. m＞1B. m＜1C. m＞1且m≠0D. m＜1且m≠0
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线与坐标轴有三个交点可得出：方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，且m≠0，利用根的判别式△＞0可求出m的取值范围，此题得解．
【详解】解：∵二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，
∴方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，且m≠0，
∴△=22﹣4m＞0，
∴m＜1．
∴m＜1且m≠0．
故选D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及根的判别式，利用根的判别式△＞0找出关于m的一元一次不等式是解题的关键．
6. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，与函数y＝（k＞0，x＞0）的图象交于点C．若AB＝2BC，则k的值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，可得，即有．由直线与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，可知A（﹣4，0），B（0，2），所以OA＝4，OB＝2，所以AD＝6，CD＝3，则OD＝2，由此可得C（2，3）．根据反比例函数上点的坐标特点可得出结论．
【详解】解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，
∴，
∴，
∵AB＝2BC，
∴，
∴，
∵直线与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，
∴A（﹣4，0），B（0，2），
∴OA＝4，OB＝2，
∴AD＝6，CD＝3，
∴OD＝2，
∴C（2，3）．
∵点C在函数（k＞0，x＞0）的图象上，
∴k＝2×3＝6．
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，平行线分线段成比例等相关内容，作出辅助线，得出比例求出点C的坐标是解题关键．
7. 如图所示，中， ，顶点分别在反比例函数与的图象上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，于是得到∠BDO=∠ACO=90°，根据反比例函数的性质得到S△BDO=，S△AOC=，根据相似三角形的性质得到=，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】解：过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，
则∠BDO=∠ACO=90°，
∵顶点A，B分别在反比例函数与的图象上，
∴S△BDO=，S△AOC=，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOD+∠DBO=∠BOD+∠AOC=90°，
∴∠DBO=∠AOC，
∴△BDO∽△OCA，
∴，
∴，
∴tan∠BAO=.
故选B.
【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
8. 如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理求出AC=BD=10，由矩形的性质得出AO=5，证明得到OE的长，再证明可得到EF的长，从而可得到结论．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
，
，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，，
，
同理可证，，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答此题的关键．
9. 已知二次函数，当时，，则的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的取值范围．
【详解】解：二次函数y＝ax2﹣2ax+3＝a（x﹣1）2﹣a+3（a＞0），
∴该函数图象开口向上，对称轴是直线x＝1，当x＝1时，该函数取得最小值﹣a+3，
∵当0≤x≤m时，3﹣a≤y≤3，当y＝3时，x＝2或x＝0，
∴1≤m≤2，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10. 关于二次函数的三个结论：①对任意实数m，都有与对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则或；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则或．其中正确的结论是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可求次函数y=ax2-4ax-5的对称轴为直线，由对称性可判断①；分a＞0或a＜0两种情况讨论，由题意列出不等式，可求解，可判断②；分a＞0或a＜0两种情况讨论，由题意列出不等式组，可求解，可判断③；即可求解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为，
∴x1=2+m与x2=2-m关于直线x=2对称，
∴对任意实数m，都有x1=2+m与x2=2-m对应的函数值相等；
故①正确；
当x=3时，y=-3a-5，当x=4时，y=-5，
若a＞0时，当3≤x≤4时，-3a-5＜y≤-5，
∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，
∴，
若a＜0时，当3≤x≤4时，-5≤y＜-3a-5，
∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，
∴，
故②正确；
若a＞0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，
∴△＞0，25a-20a-5≥0，
∴，
∴；
若a＜0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，
∴△＞0，25a-20a-5≤0，
∴
∴a＜，
综上所述：当a＜或a≥1时，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6．
故③正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与x轴的交点等知识，理解题意列出不等式（组）是本题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
11. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________．
【答案】且
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，以及根据一元二次方程根据情况求参数的取值范围，解题的关键是掌握一元二次方程二次项系数不能为0，以及当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此解答即可．
【详解】解：∵方程是一元二次方程，
∴，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
综上：的取值范围是且，
故答案为：且．
12. 已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息：
则c的值是_____________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据表格的数据分别确定，a=-1，然后根据分式的值为3求解即可．
【详解】解：由表格数据得：当x=2时，分式无意义，
∴，
∴，
当时，分式的值为0，
∴，
解得：a=-1，
∴分式，
当分式的值为3时，即，
解得：，
检验，为分式方程的解，
∴，
故答案：5．
【点睛】题目主要考查分式有意义的条件与分式的值为0的条件，解分式方程，熟练掌握运算法则是解题关键．
13. 如图，在中，，，是AB的中点，是上一点，若DE平分的周长，则DE的长等于_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了三角形中位线定理，等腰三角形性质，解直角三角形等知识点；延长至点使得，连接，作于点，则，易得，又由已知得，则，故为中位线，从而得．
【详解】延长至点使得，连接，作于点，

则，
∴，
∴，
∵平分的周长
∴，
∵是AB中点，
∴，
∴，
∴为中位线，
∴．
故答案为：．
14. 黄金分割总能给人以美的享受，从人体审美学的角度看，若一个人上半身长与下半身长之比满足黄金比的话，则此人符合和谐完美的身体比例．如图，一芭蕾舞演员的身高为，但其上半身长与下半身长之比大于黄金比，当其表演时掂起脚尖，身高就可以增加，这时上半身长与下半身长之比就恰好满足黄金比，那么该演员的上半身长为______．（黄金分割比）

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割比例的实际应用、解分式方程；熟记黄金分割比例，正确求解方程是解题的关键．设演员的上半身长为，掂起脚尖后，下半身长为，根据黄金分割比列方程求解即可．
【详解】解：设演员的上半身长为，身高为，则掂起脚尖身高为，
下半身长为，
此时上半身长与下半身长之比就恰好满足黄金比，
黄金分割比例约为：，
，
解得，经检验符合题意；
故答案为：．
15. 在平面直角坐标系中，已知，，二次函数的图象与线段恰有一个交点，则的取值范围________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质并分类讨论是解题的关键．
由题意知抛物线的对称轴为直线，分当时，当时，当顶点与线段相交时，三种情况，结合图象求解即可．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线，
当时，则当时，即，解得，；
当时，即，解得，；
∴；
当时，时，即，解得，（舍去）；
当顶点与线段相交时，即，，即，解得，；
综上所述，或，
故答案为：或．
16. 已知在等腰中，，．，连接AD，在AD的右侧做等腰，其中，，连接E，则的最小值为____________________(用含的代数式表示)．

【答案】
【解析】
【分析】过点作交CB延长线于，过点作于，作的垂直平分线交于，连接，利用证明，可得，进而可得，则由含度角的直角三角形的性质得到CE，，故当、、三点共线时，为最小值，当、、三点共线时，，即，可得，再运用解直角三角形即可求得答案．
【详解】解：如图，过点作交CB延长线于，过点作于，作的垂直平分线交于，连接，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
CE，
，
当、、三点共线时，为最小值，
当、、三点共线时，，
，
，
与重合，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
的垂直平分线交于，
，
，
，
在中，，
即的最小值
故答案为：．
【点睛】本题字要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角用的推质，勾服定理，三角形内角和定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
三、解答题（共86分）
17. 小明在解方程的过程中出现了错误，其解答如下：
解：，，，．．．．．．．．．．．．．．．．．第一步
，．．．．．．．．．．．．．第二步
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第三步
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第四步
（1）问：小明的解答是从第________步开始出错的；
（2）请写出本题正确的解答．
【答案】（1）一 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据等式的性质，移项需要改变移动的项的符号可得出答案；
（2）先移项，再利用公式法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：移项需要变号，
，
故答案为：一；
【小问2详解】
解：，
，，，
，
，
．
【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
18. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论为何值，此方程总有一个根是定值；
（2）若直角三角形的一边为，另两边恰好是这个方程的两根，求的值．
【答案】（1）见解析；
（2）或．
【解析】
【分析】（）先通过因式分解解方程，从而可得到两个因式的积为，从而可求解；
（）由（）求出方程的两个根为，，，然后分两种情况讨论即可；
本题主要考查一元二次方程解法，勾股定理，分类思想，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法及其应用．
【小问1详解】
∵，
∴，
∴，，
∴无论为何值，此方程总有一个根是定值；
【小问2详解】
分两种情况：
当为直角边时，则，得，
又∵边长，
∴，
当为斜边时，则，得，
又∵边长，
∴，
综上所述，的值为或．
19. 我们国家青少年平均运动时间、身体素质水平都处于严重落后状态，而且还在持续下降．为了引起社会、学校和家庭对青少年的重视，某地区抽查了部分九年级学生，进行了一次身体素质测试，将成绩分成5组并绘制成如图两幅统计图，成绩高于90分的评为优秀．
根据上述所给的统计表中的信息，解决下列问题：
（1）本次抽测了 名九年级学生，a＝ ，本次成绩的中位数位于 组；
（2）若该地区有2.4万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有多少人？
（3）在本次抽测的优秀学生中按1∶9的比例抽取部分学生，其中恰好有2名女生．若从中随机选取2名学生参加市级运动会，求恰好抽取一男一女的概率．
【答案】（1）300；108；C；
（2）3600人 （3）
【解析】
【分析】（1）利用A组频数和圆心角求得总人数，根据圆心角=（各组人数÷总人数）×360°求出各组人数即可解答；
（2）根据E组人数所占的圆心角估计总体即可；
（3）根据优秀的人数计算出抽取的人数，再利用列表法求概率即可；
【小问1详解】
解：由A组的频数和扇形圆心角可得：总人数=30÷=300（人）；
a=；
B组人数=（人），C组人数=（人），
一共300名学生，中位数是第150名、151名学生的平均成绩，
∵30+60=90，30+60+75=165，∴第150名、151名学生在C组，即中位数位于C组；
【小问2详解】
解：E组的圆心角=360°-36°-72°-90°-108°=54°，
∴优秀学生的约有=3600（人）；
【小问3详解】
解：优秀学生人数=（人）；
按1∶9的比例抽取部分学生，则抽取了5名学生，有2名女生则有3名男生，
根据题意列表如下：
由表可知一共有20种可能结果，一男一女的结果有12种，
∴抽取一男一女的概率=12÷20=；
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的关联计算；列表法求概率；掌握相关的定义的计算方法是解题关键．
20. 根据以下思考，探索完成任务．
【答案】任务1：或；任务2：ABE；任务3：
【解析】
【分析】（1）根据曼哈顿距离的定义进行求解即可；
（2）分别算出五个点作为D点时的值即可得到答案；
（3）先求出直线的解析式为，设，则，再分当时， 当时，两种情况求出的最值情况即可得到答案.
【详解】解：任务1：∵，
∴，
∴，
∴，
∴消防站的位置为或；
任务2：当选作为D点时，
∵，，
∴，，
∴；
同理当作为D点时，；
当作为D点时，；
当作为D点时，；
当作为D点时，；
∴当选则或或时最小，
故答案为：ABE；
任务3：设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设，
∴，
当时，，
∴此时当时，有最小值；
当时，，
∴此时，
综上所述，得到最小值．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一次函数与几何综合，正确理解题意是解题的关键．
21. 生态水果是指在保护、改善农业生态环境的前提下，遵循生态学、生态经济学规律，运用现代科学技术，营养的、健康的水果．青岛市扶贫工作小组对李沧、胶州、即墨等多地果农进行精准投资建设，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了．批发销售总额比去年增加了20%
（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？
（2）今年某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克．设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时该水果店一天的利润最大（利润计算时，其它费用忽略不计，并且售价为整数）
【答案】（1）24元；
（2）当m=35时，w最大=7260元．
【解析】
【分析】（1）设去年这种水果的批发价为x元/千克，今年的销量-去年的销量=1000列方程解方程即可；
（2）设每千克的平均销售价为m元，根据总利润=每千克利润×销量列函数关系式w=(m-24)(300+)配方为顶点式，利用函数性质求即即可．
【小问1详解】
解：设去年这种水果的批发价为x元/千克，
根据题意得：，
整理得：3000-2400=24x，
解得x=25，
经检验符合题意，
元；
【小问2详解】
解：设每千克的平均销售价为m元，
w=(m-24)(300+)，
=，
=，
∵a=-60＜0，
抛物线开口向下，函数有最大值，
当m=35时，w最大=7260元．
【点睛】本题考查列分式方程解应用题，列二次函数解应用题，掌握列分式方程解应用题的方法与步骤，列二次函数解应用题方法是解题关键．
22. 如图，在中，点I是的内心．

（1）求作过点I且平行于的直线，与分别相交于点D，E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的平行线的作法作图即可；
（2）过点I作于点N，于点M，于点M，于点P，过点A作于点F，交于点H，过点D作于点G，连接．易证，即可得出．由三角形内心的性质可知，结合三角形面积公式可得出，，即得出，结合题意可求出，．又易证，，即可证，得出，从而可求出，即可求解．
【小问1详解】
解：如图，直线即为所作；
【小问2详解】
解：如图，过点I作于点N，于点M，于点M，于点P，过点A作于点F，交于点H，过点D作于点G，连接．
∵，
∴，
∴,
∴．
∵点I是的内心，
∴．
∵，，
∴．
∵，即，
∴，．
由所作辅助线可知四边形为矩形，
∴，
∴．
∵，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查作图—作平行线，三角形相似的判定和性质，三角形内心的性质，三角形全等的判定和性质，矩形的判定和性质等知识．掌握基本作图方法和正确作出辅助线是解题关键．
23. 定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”．
（1）请通过计算判断关于的方程与关于的方程是不是“2差解方程”；
（2）若关于的方程与关于的方程是“差解方程”，求的值；
（3）关于x，y的两个方程与方程，若对于任何数，都使得它们不是“2差解方程”，求的值．
【答案】（1）是，过程见解析
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据“m差解方程”的定义解答即可；
（2）根据定义列出方程关于m，n方程，再去掉绝对值，并求解；
（3）根据定义列出方程，并根据m的系数为0时，符合题意，求出解．
【小问1详解】
方程的解是；
方程的解是．
根据题意可得，
所以这两个方程是“2差解方程”；
【小问2详解】
方程的解是；
方程的解是．
根据题意可得，
整理，得，
由m为正数，
得或，
解得或；
【小问3详解】
方程的解是；
方程的解是．
根据题意可得，
即，
当时，即，对于任何数m，得，它们不是“2差解方程”．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解含字母系数的方程等，理解新定义是解题的关键．
24. 在中，，将绕点旋转一定的角度得到．
（1）如图1，当边恰好经过点C时，边的延长线交于点，连接．求证：；
（2）如图2，当点恰好在中线的延长线上，且时，的延长线交于点，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】由旋转性质得出为等腰三角形，从而得出，有三角形内角和得出，再通过角之间的关系推出最后结论．
设，由旋转性质推出，由直角三角形内角之间关系得，，进而得出，再由相似三角形对应边成比例得出，设，所以，有对应角相等推出，得出，进而表示出，再得出最后结果即可．
【小问1详解】
证明：如图1，由旋转的性质得，，
．
，，
又，
，即．
，，
，
＝，
即．
【小问2详解】
如图2，设，由旋转的性质得
，，，，，
在等腰中，，
，，
．
，
．
是斜边上的中线，
，
，即，，
，
，
，
，
．
，
．
又，
，即，
，
，．
设，则
，．
，，
，
，即，，
．
【点睛】本题主要考查了旋转性质、三角形内角和、相似三角形的判定及相似三角形对应边成比例的知识，旋转后对应边和角相等是解答本题的关键．
25. 已知抛物线经过点，，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）为抛物线上不与抛物线的顶点和点，重合的动点．
①设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点，点关于轴的对称点为，求证：的长度为定值；
②当时，过线段上的点（不含端点，）作的垂线，交抛物线于，两点，求的最大值．
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）用待定系数法即可确定二次函数的解析式；
（2）①为方便作图，可设时，如图，设直线的方程为，可确定直线的解析式为，根据抛物线的对称轴为直线可得，继而得到，再通过可得，确定直线的解析式为，从而得到，再计算即可，当时，得到同样的结论，从而得证；
②分当点在轴的上方或当点在轴的下方两种情况进行讨论即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，，，
∴，
解得：，
∴这条抛物线的解析式为．
【小问2详解】
①证明：设直线的方程为，当时，如图，
∵，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴点关于轴的对称点为，
∵抛物线与直线交于点、，
∴，
解得：，，
∴，
设直线的解析式为，，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，为定值；
当时，同样可得，为定值；
∴的长度为定值．

②解：（Ⅰ）当点在轴的上方，且时，如图，
∵，直线与轴的正半轴的夹角为，
设直线与轴的交点坐标为，则直线与轴正半轴的交点坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
由可得，
由根与系数的关系，得，，（设，分别是点，的横坐标）
∵，
∴直线与轴的交点坐标为，
设直线的解析式为，过点和，
∴，
解得：p=1q=1，
∴直线的解析式为，
由，
解得：，，
∴，
由得：（设是点的横坐标），
过点作轴的平行线，分别过点，作轴的垂线交于点，，
∵，
∴，
∴，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
∴
，
∵，
∴，
∴当时，的最大值为；

（Ⅱ）当点在轴的下方，且时，如图，点与点重合，
∵，直线与轴所夹的锐角为，
设直线与轴的交点坐标为，则直线与轴的交点坐标 为，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
由可得，
由根与系数的关系，得，，（设，分别是点，的横坐标）
∵，，，
设直线的解析式为，过点和，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
由得：（设是点的横坐标），
由①可知：
，
∵，
∴，
∴当时，的最大值为；
综上所述，的最大值为．
x的取值
2
0.5
c
分式的值
无意义
0
3
男1
男2
男3
女1
女2
男1
男2，男1
男3，男1
女1，男1
女2，男1
男2
男1，男2
男3，男2
女1，男2
女2，男2
男3
男1，男3
男2，男3
女1，男3
女2，男3
女1
男1，女1
男2，女1
男3，女1
女2，女1
女2
男1，女2
男2，女2
男3，女2
女1，女2
曼哈顿距离的思考
问题背景
很多城市街道交织成格，行人和车辆沿网格线行走，城市街道的抽象涵义是直角坐标系内平行于两条数轴的条条直线．定义城市内街道上两点，之间的距离为，称为曼哈顿距离（简称为曼距），曼哈顿距离也叫出租车几何，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的．
素材1
如图，在平面直角坐标系中，点与点之间的曼距，可得矩形上及内部的任意格点（坐标为整数的点）为，都有．
素材2
在城市里有一个社区，其中的相邻道路恰可以近似地用过直角坐标系内格点的平行线表示（如图）．该社区内有数个火警高危点，为了消防安全，拟在某个格点位置设立消防站，其中格点位置四通八达．
任务1
探求消防站位置
若火警高危点，消防站的坐标为，且与点的曼距，请求出消防站的位置；
任务2
选择最适合位置
若火警高危点，，按设计要求最小，则下列5个点中最适合设为消防站的是___________；（写出所有正确的序号）
A． B． C． D． E．
任务3
拟定最短曼距方案
如图，一条笔直的公路起点为，点为公路上一点．若消防站在原点处，请探究消防站到公路（即射线）上一点的曼距的最小值．