福建省泉州市永春第二中学九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省泉州市永春第二中学九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的概念“等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程”依次进行判段即可得．
【详解】解：A、，不是一元二次方程，选项说法错误，不符合题意；
B、化简为，不是一元二次方程，选项说法错误，不符合题意；
C、，是一元二次方程，选项说法正确，符合题意；
D、，不是一元二次方程，选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的概念．
2. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B. 2C. 1D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的性质对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．
【详解】解：A． 与不能合并，所以A选项不符合题意；
B．=，所以B选项不符合题意；
C．=，所以C选项不符合题意；
D．=2×5=10，所以D项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
3. 下列二次根式中能与2合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先化简选项中各二次根式，然后找出被开方数为3的二次根式即可．
【详解】A、＝2，不能与2合并，故该选项错误；
B、能与2合并，故该选项正确；
C、＝3不能与2合并，故该选项错误；
D、＝3不能与2合并，错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
4. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知等式可得，再代入所求代数式计算可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴
故选C．
【点睛】此题考查的是比例的性质，能够对所给等式进行正确变形是解决此题的关键．
5. 把方程化成配方式的形式，则下列符合题意的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先把移到方程的右边，然后方程两边都加36，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程－配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
6. 一元二次方程根的情况为（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】求出判别式，判断其的符号就即可．
【详解】解：，
有两个不相等的实数根，
故选：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式时，方程有两个不相等的实数根是解决问题的关键．
7. 一种药品原价为25元，经过两次降价后每盒16元，设两次降价的百分率都同为x，则x满足方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】等量关系为：，把相关数值代入即可．
【详解】解：第一次降价后的价格为，
第二次降价后的价格为，
∴列的方程为，
故选：B．
【点睛】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．
8. 如图，∠1＝∠2，要使△ABC∽△ADE，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ）
A. ∠B＝∠DB. ∠C＝∠EC. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出∠DAE＝∠BAC，再根据相似三角形的判定方法分析判断即可．
【详解】∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
A、添加∠B＝∠D可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
B、添加∠C＝∠E可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
C、添加可利用两边及其夹角法：两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故此选项不合题意；
D、添加不能证明△ABC∽△ADE，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形判定方法：两角法、两边及其夹角法、三边法、平行线法．
9. 已知、是方程的两个根，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得，，，，则，，将其代入得，再将，代入即可得．
【详解】解：∵、是方程的两个根，
∴，，，，
∴，
=
=
=
∵，，
∴原式=，
故选：C．
【点睛】本题考查了方程的根，根与系数的关系，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
10. 如图，在正方形中，点,,分别是 ,,上的点，，，, ,则的长为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作△EFG的外接圆交BC与另一点H.由圆的性质可得∠BHE=∠EGF=45°，∠CHG=∠GEF=60°.然后求出BH和CH的长即可.
【详解】作△EFG的外接圆交BC与另一点H.
∵∠BHE与∠EGF所对的弧相同，
∴∠BHE=∠EGF=45°，
∴△BHE是等腰直角三角形，
∴BH=BE=3.
∵∠CHG是圆内接四边形的外角，
∴∠CHG=∠GEF=60°.
∴∠CGH=30°，
∴CH=tan30°·CG=，
∴BC=BH+CH= .
故选A.
【点睛】本题考查了正方形的性质，圆周角定理的推论，圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，及锐角三角函数的知识，正确作出辅助线是解答本题的关键.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 使二次根式有意义的x的取值范围是________．
【答案】x≥7
【解析】
分析】根据有意义，必须a≥0.因此x-7≥0.
【详解】由x-7≥0.得x≥7.
故答案为x≥7.
【点睛】本题考核知识点：二次根式的意义. 解题关键点：理解二次根式的意义，注意被开方数必须大于或等于0.
12. 方程的解为________________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了解一元二次方程，将一次项移到等式左边，利用因式分解法解方程，由此得到一元二次方程的解，正确确定一元二次方程的解法是解题的关键．
【详解】解：
∴，
故答案为：．
13. 已知，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据被开方数的非负性可得x＝2，从而得到，再代入，即可求解．
【详解】解：依题意得：，，
∴，
则．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的非负性，求算术平方根，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键．
14. 如图，在中，点D，E分别在上，若，，，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】证明，根据相似三角形的性质得到，据此即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴的长为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．
15. 已知a是方程x2﹣2013x+1=0一个根，求a2﹣2012a+的值为_____．
【答案】2012
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到a2-2013a+1=0，则a2=2013a-1，然后把a2=2013a-1代入原式可化简，然后通分后再次代入后化简即可．
【详解】∵a是方程x2−2013x+1=0的一个根，
∴a2−2013a+1=0，
∴a2=2013a−1，
∴原式=2013a−1−2012a+
=a+−1
=−1
=−1
=2013−1
=2012，
故答案为2012.
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的运算法则.
16. 如图，在矩形ABCD中，E、F、G分别是边AB、BC、AD上点，且∠FEG＝90°，EG＝6，GF与AC交于点M，若＝，则MF＝___．
【答案】
【解析】
【分析】由＝，设AB=3x，则BC=4x，设BE=3y，则CF=4y，根据条件可得△AEG∽△BFE，可得，再由AD∥BC，可得△AGM∽△CFM，由勾股定理可得EF=8，GF=10，由即可求解．
【详解】由＝，设AB=3x，则BC=4x，设BE=3y，则CF=4y
∵∠FEG=90゜，且四边形ABCD为矩形
∴∠AGE+∠AEG=90゜，∠AEG+∠BEF=90゜
∴∠AGE=∠BEF
∴Rt△AEG∽Rt△BFE
∴
即
∴，
∵EG=6
∴
∵∠GEF=90゜
∴由勾股定理得：
∵AD∥BC
∴△AGM∽△CFM
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，根据比例关系设未知数是关键．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】先计算乘除，再合并，即可求解．
【详解】解：原式
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
18. 解方程：x2+4x﹣12＝0．
【答案】x1=﹣6，x2=2
【解析】
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：原方程变形为：（x+6）（x,﹣2）=0，
∴x+6=0或x﹣2=0，
∴x1=﹣6，x2=2．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并能灵活运用是解答的关键．
19. 如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC=∠ACD，
（1）求证：△ABC∽△ACD
（2）若AD=2，AB=5.求AC的长．
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据∠ABC=∠ACD，∠A=∠A即可证明,
（2）由上一问列出比例式,代入求值即可.
【详解】证明：
（1）∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A

∴△ABC∽△ACD
（2）解：△ABC∽△ACD
∴
∵AD=2, AB=5
∴
∴AC=
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,属于简单题,列比例式是解题关键.
20. 已知关于x的方程.
（1）求证方程有两个不相等的实数根．
（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．
【答案】(1)证明见解析；（2），
【解析】
【分析】（1）先计算出△=（m+2）2﹣4（2m﹣1），变形得到△=（m﹣2）2+4，由于（m﹣2）2≥0，则△＞0，然后根据△的意义得到方程有两个不相等的实数根；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2=0，即m+2=0，解得m=﹣2，则原方程化为x2﹣5=0，然后利用直接开平方法求解．
【详解】（1）证明：△=（m+2）2﹣4（2m﹣1）
=m2﹣4m+8
=（m﹣2）2+4，
∵（m﹣2）2≥0，
∴（m﹣2）2+4＞0，
即△＞0，
所以方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个根为x1，x2，由题意得：
x1+x2=0，即m+2=0，解得m=﹣2，
当m=﹣2时，方程两根互为相反数，
当m=﹣2时，原方程为x2﹣5=0，
解得：x1=﹣，x2=．
【点睛】根的判别式；根与系数的关系．
21. 有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，，使并且，则将变成，开方，从而使得化简．
例如：化简：
∵
∴
仿照上例化简下列各式：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据，确定后化简计算．
(2)根据，确定后化简计算．
【小问1详解】
因为，
所以．
【小问2详解】
因为，
所以．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握阅读学习的基本方法是解题的关键．
22. 为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为元时，每天可售出个；若销售单价每降低元，每天可多售出个．已知每个电子产品的固定成本为元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利元？
【答案】销售单价为元时，公司每天可获利元
【解析】
【分析】根据题意设降价后的销售单价为元，由题意得到，则可得到答案.
【详解】解：设降价后的销售单价为元，则降价后每天可售出个，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：．
，符合题意．
答：这种电子产品降价后的销售单价为元时，公司每天可获利元．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的实际应用.
23. 如图所示，在中，，，，点从开始沿边向点A以的速度移动；点从开始沿边向点以的速度移动，如果，同时出发，用表示时间．

（1）当多少时，的面积是？
（2）当多少时，以，，为顶点的三角形与相似？
【答案】（1）当移动秒或秒时，的面积为
（2）或秒时，以，，为顶点的三角形与相似
【解析】
【分析】（1）根据题意和勾股定理得，由题意得：，当、同时出发后经过的时间为的面积为时，则，进行计算即可得；
（2）分情况讨论：①当时，，即，②当，，即，进行计算即可得．
小问1详解】
解：∵，，，
∴，
由题意得：，
当、同时出发后经过的时间为的面积为时，则
，
解得：或，
答：当移动秒或秒时，的面积为；
【小问2详解】
解：∵，
①当时，，
即，
解得；
②当，，
即，
解得，
综上所述，当秒或秒时，以、、为顶点的三角形与相似．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，相似三角形，解题的关键是掌握这些知识点．
24. 阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为x1，x2则， ．
材料2：已知一元二次方程两个实数根分别为m，n，求的值．
解：一元二次方程的两个实数根分别为m，n，
，
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程的两个根为x1，x2，则 ， ．
（2）初步体验：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值．
（3）类比应用：已知实数s、t满足，且，求的值．
（4）思维拓展：已知实数a、b、c满足、，且，求c的最大值．
【答案】（1）3，-1
（2）-11 （3）
（4）c的最大值为1
【解析】
【分析】（1）根据根与系数的关系进行求解即可；
（2）根据根与系数的关系可得：，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可；
（3）可把s与t看作是方程的两个实数根，则有，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可；
（4）将a、b看作是方程的两实数根，利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到c的最大值．
【小问1详解】
解：一元二次方程两个根为x1，x2，
，
故答案为：3，-1．
【小问2详解】
解：一元二次方程的两根分别为m，n，
，
．
【小问3详解】
解：实数s，t满足，且，
s，t是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，
．
，

．
【小问4详解】
解： ，
将a、b看作是方程的两实数根．

而，
，
，
即，
的最大值为1．
【点睛】本题考查根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
25. 如图（1），在矩形中，，点，分别在边，上（均不与端点重合)，且，以和为邻边作矩形，连接，．
（1）如图（2），当时，与的数量关系为______，与的数量关系为______．
【类比探究】
（2）如图（3），当时，矩形绕点顺时针旋转，连接，则与之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图（3）给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图说明理由．
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，已知，，当矩形旋转至，，三点共线时，请写出线段的长并说明理由．
【答案】（1），；（2）与之间的数量关系发生变化，，理由见解析；（3）或，见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意得出，，即可推出，根据矩形的性质得出，，，则，，即可得出；
（2）根据题意得出，，进而得出，，则，连接，通过证明，即可得出结论；
（3）当点在线段上时，根据勾股定理求出，则，即可得出；当点在线段上时，同理可求， 则 ．
【详解】解：（1），，
理由如下：
当，则，，
，
，
四边形是矩形，四边形是矩形，
，，，
，，
，
，
故答案为：，；
（2）与之间的数量关系发生变化，，
理由如下：如图（1）在矩形和矩形中，
当时，，，
，，
，
如图（3）连接，
矩形绕点顺时针旋转，
，
，
，
；
（3）如图，当点在线段上时，
，，
，
，
，，
，
，
；
如图，当点在线段上时，
同理可求，
；
综上所述：线段的长为或．