2025-2026学年上海市浦东新区进才中学北校七年级（上）期中数学试卷（含解析）

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1．（3分）下列代数式中整式有
A．6个B．7个C．8个D．9个
2．（3分）下列运算正确的是
A．B．
C．D．
3．（3分）下列整式的乘法中，不能用平方差公式计算的是
A．B．C．D．
4．（3分）下列从左到右变形，是因式分解的有
；；；；．
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（3分）已知是自然数，，，那么的值不可能是
A．B．0C．1D．2
6．（3分）我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提出的表格，揭示了为非负数）展开式中各项系数的规律．例如，系数为1，2，1；又如，系数为1，3，3，1．请根据上述规律计算：
A．B．C．D．
二、填空题
7．（3分）．
8．（3分）因式分解：．
9．（3分）如果与的和是单项式，则的值为．
10．（3分）计算（结果用幂的形式表示）．
11．（3分）若整式是一个完全平方式，则常数．
12．（3分）已知，则．
13．（3分）若多项式是四次三项式，则．
14．（3分）计算：．
15．（3分）若、互为相反数，且，则，．
16．（3分）已知，则．
17．（3分）已知，其中是正整数，那么．
18．（3分）如图，将两张边长分别为和的正方形纸片分别按图1和图2两种方式放置在长方形内，（图1和图2中两张长方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边、的长度分别为、；设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，当，时，．（用含的代数式表示）
三、简答题（本大题共3小题，每小题6分，共24分）
19．（6分）计算下列各题：
（1）；
（2）；
（3）．
20．（2分）因式分解：
（1）；
（2）．
21．（4分）简便计算：．
四、解答题（本大题共6题，22题5分，23题5分，24题5分，25题5分，26题6分，27题8分，共34分）
22．（4分）先化简，再求值：，其中．
23．（6分）已知，，求的值．
24．（6分）已知关于的整式的值与的大小无关，求整式的值．
25．（6分）已知，求的值．
26．（6分）阅读下列解题的过程．
分解因式：
解：
请按照上述解题思路完成下列因式分解：
（1）；
（2）．
27．（6分）现有若干个正方形纸片，从中任取两个大小不等的正方形如图摆放，其中，、、三点在一条直线上．
（1）如图①，，，那么阴影部分的面积是．（用含、的代数式表示）
（2）如图②，如果大正方形和小正方形的面积之和是10，图中阴影部分的面积为3，延长、交于点，求长方形的面积．
（3）小明想要自己动手拼长方形，从中选取了边长为的正方形2张，边长为的正方形2张，形如（长为，宽为的长方形2张．从这6张卡片中去掉2张，用余下的4张卡片拼出一个长方形，他能拼出种不同形状的长方形．
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）下列代数式中整式有
A．6个B．7个C．8个D．9个
解：式子，，，，，0，，符合整式的定义，是整式；
式子，分母中含有字母，不是整式．
故整式有7个．
故选：．
2．（3分）下列运算正确的是
A．B．
C．D．
解：，错误，不符合题意；
：由、可得，错误，不符合题意；
，错误，不符合题意；
，正确，符合题意；
故选：．
3．（3分）下列整式的乘法中，不能用平方差公式计算的是
A．B．C．D．
解：，则不符合题意；
，则不符合题意；
，则符合题意；
，则不符合题意；
故选：．
4．（3分）下列从左到右变形，是因式分解的有
；；；；．
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：根据因式分解定义逐项分析判断如下：
是单项式的变形，不是因式分解，不符合题意；
中等号右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意；
是乘法运算，不是因式分解；
，符合提取公因式法，是因式分解，符合题意；
符合因式分解的定义，是因式分解，符合题意；
综上所述，因式分解有2个．
故选：．
5．（3分）已知是自然数，，，那么的值不可能是
A．B．0C．1D．2
解：是自然数，
是偶数，是奇数，
，，
，
当时，，
当时，为任何非零实数，
当，，时，的值为，故选项不符合题意；
当，，时，的值为0，故选项不符合题意；
当，，，的值为1，故选项不符合题意；
的值不可能是2，故选项符合题意．
故选：．
6．（3分）我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提出的表格，揭示了为非负数）展开式中各项系数的规律．例如，系数为1，2，1；又如，系数为1，3，3，1．请根据上述规律计算：
A．B．C．D．
解：，
．
根据上述规律计算，原式．
故选：．
二、填空题
7．（3分）．
解：．故填．
8．（3分）因式分解：．
解：根据提取公因式进行因式分解可知：
．
故答案为：．
9．（3分）如果与的和是单项式，则的值为 18 ．
解：由同类项的定义可知，，
解得，，
．
故答案为：18．
10．（3分）计算（结果用幂的形式表示）．
解：原式
．
故答案为：．
11．（3分）若整式是一个完全平方式，则常数 9或．
解：根据完全平方式可设完全平方式为，展开得．
与给定的整式比较系数得
当时，；
当时，．
故答案为：9或．
12．（3分）已知，则．
解：已知，
左边，
右边，
，
，，
．
故答案为：．
13．（3分）若多项式是四次三项式，则．
解：多项式是四次三项式，
，，
，，
．
故答案为：．
14．（3分）计算：．
解：原式
．
故答案为：．
15．（3分）若、互为相反数，且，则 1 ，．
解：若、互为相反数，且，
与互为相反数，．
方程，应用平方差公式得：
，
即．
代入，得，
两边除以3，得，
即．
联立方程组：
，
解得：
故答案为：1，．
16．（3分）已知，则 4 ．
解：设，则原方程转化为，
整理，得．
解得，（舍去）．
即．
故答案为：4．
17．（3分）已知，其中是正整数，那么 81或64 ．
解：，
①，，
解得：，，
；
②，，
解得：，，
．
故答案为：81或64．
18．（3分）如图，将两张边长分别为和的正方形纸片分别按图1和图2两种方式放置在长方形内，（图1和图2中两张长方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边、的长度分别为、；设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，当，时，．（用含的代数式表示）
解：若长方形中边、的长度分别为、；设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，
图1中阴影部分的面积，
图2中阴影部分的面积，
．
故答案为：．
三、简答题（本大题共3小题，每小题6分，共24分）
19．（6分）计算下列各题：
（1）；
（2）；
（3）．
解：（1）原式，
，
，
；
（2）原式，
；
（3），
，
，
．
20．（2分）因式分解：
（1）；
（2）．
解：（1）原式
；
（2）原式
．
21．（4分）简便计算：．
解：原式
．
四、解答题（本大题共6题，22题5分，23题5分，24题5分，25题5分，26题6分，27题8分，共34分）
22．（4分）先化简，再求值：，其中．
解：原式
，
当时，
原式．
23．（6分）已知，，求的值．
解：，，
．
．
故答案为：52．
24．（6分）已知关于的整式的值与的大小无关，求整式的值．
解：
，
整式的值与的大小无关，
原式
．
25．（6分）已知，求的值．
解：由题意可得：
，
化简得，
所以且，
解得，，
因此．
26．（6分）阅读下列解题的过程．
分解因式：
解：
请按照上述解题思路完成下列因式分解：
（1）；
（2）．
解：（1）原式
；
（2）原式
．
27．（6分）现有若干个正方形纸片，从中任取两个大小不等的正方形如图摆放，其中，、、三点在一条直线上．
（1）如图①，，，那么阴影部分的面积是．（用含、的代数式表示）
（2）如图②，如果大正方形和小正方形的面积之和是10，图中阴影部分的面积为3，延长、交于点，求长方形的面积．
（3）小明想要自己动手拼长方形，从中选取了边长为的正方形2张，边长为的正方形2张，形如（长为，宽为的长方形2张．从这6张卡片中去掉2张，用余下的4张卡片拼出一个长方形，他能拼出种不同形状的长方形．
解：（1）由题意得正方形的边长为，正方形的边长为，，
，，，
可得阴影部分的面积为：；
（2）根据大正方形和小正方形的面积之和是10，图中阴影部分的面积为3，
可得，
，，
解得（负值舍去），
长方形的面积．
（3）设长方形为，边长为的正方形为，边长为的正方形为，
选择的长方形，如图1所示：
选择的长方形，如图
一共4种．