湖南省沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2025-2026学年上学期12月月考八年级数学试卷

这是一份湖南省沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2025-2026学年上学期12月月考八年级数学试卷，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列计算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知三角形的两边长分别为和，则第三边的长可以是（ ）
A．B．C．D．
4．计算：（ ）
A．B．C．D．
5．已知第二象限的点，那么点P到x轴的距离为（ ）
A．5B．4C．D．
6．如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（ ）
A．AD⊥BCB．∠BAD＝∠CADC．AB＝ACD．BD＝CD
7．如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（）
A．B．
C．D．
8．我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒斛，1个小桶盛酒斛，下列方程组正确的是（ ）．
A．B．C．D．
9．下列分式中是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，点分别是边上的定点，点P，Q分别是边上的动点，记，，当最小时，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．分解因式： ．
12．若分式有意义，则的取值范围是 .
13．如图，直线过点A，且．若，，则的度数为 ．
14．如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点，，，则 ．
15．已知，则的值是 ．
16．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左、右两数之和．它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应展开式中的系数；根据上面的规律，写出展开式中的系数和 ．
三、解答题
17．计算：
18．先化简，再求值：．从中选一个合适的数代入求值．
19．（1）因式分解：．
（2）解不等式组．
20．（深度求索）是一款人工智能模型，团队为了解用户对此模型的体验感设计了调查问卷，用户对调查问卷中的四个选项进行单项选择且调查问卷均有效．团队从所有的调查问卷中抽取了部分调查问卷绘制成如图所示不完整的统计图．设定选项A为“功能建议”，选项B为“界面优化”，选项C为“报告”，选项D为“其他反馈”．
请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)抽取的调查问卷共 份，
(2)补全条形统计图；
(3)求扇形统计图中选项A“功能建议”对应扇形的圆心角度数；
(4)团队收集了3000份调查问卷，请估计选择“界面优化”和“报告”的总人数．
21．如图，在中，是边上的一点，，平分，交边于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
22．为加快复工复产，某企业需运输一批物资，据调查得知，辆大货车与辆小货车一次可以运输箱；辆大货车与辆小货车一次可以运输箱．
(1)求辆大货车和辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；
(2)计划用两种货车共辆运输这批物资，每辆大货车运输一次所需费用为元，每辆小货车运输一次所需费用为元，若大货车的数量不少于辆，总费用小于元．请列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？
23．如图，和均为等边三角形，当旋转至点，，在同一直线上时，连接．
(1)求的度数．
(2)当时，并且，求等边的边长．
24．定义：如果两个分式，则称A是B的“美好分式”，如分式，，，，则A是B的“美好分式”．
(1)已知分式，，请判断C是否为D的“美好分式”，并说明理由：
(2)已知分式（w为常数），，且E是F的“美好分式”，若关于x的方程对于任意的x值恒成立，求参数的值；
(3)已知分式（为正整数），分式（为正整数），P是的“美好分式”，若，，，求出此时满足条件的值．
25．如图1所示，点坐标为，点坐标为，分别在x轴和y轴的正半轴上，为线段上的一个动点，过作，且，点在第三象限，连接交x轴于点．
(1)若，请直接写出、的坐标；
(2)在（1）条件下，若时，求的长；
(3)如图2所示，若，点在x轴的负半轴上，连接，且有，，设四边形的面积为，三角形的面积为，求的值．
《湖南省沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2025-2026学年上学期12月月考八年级数学试卷》参考答案
1．A
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
2．A
【分析】本题考查幂的运算法则，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
运用幂的运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A. ，故本选项正确；
B. ，故本选项错误；
C. ，故本选项错误；
D. ，不是同类项，不能合并，故本选项错误．
故选：A．
3．C
【分析】先确定第三边的取值范围，后根据选项计算选择．
【详解】设第三边的长为x，
∵ 角形的两边长分别为和，
∴3cm＜x＜13cm,
故选C．
【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，熟练确定第三边的范围是解题的关键．
4．A
【分析】根据完全平方公式展开即可．
【详解】解：原式=
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
5．A
【分析】本题主要考查了坐标系中点到坐标轴的距离，一个点到x轴的距离为其纵坐标的绝对值，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴点P到x轴的距离为，
故选：A．
6．D
【分析】根据三角形中线的定义，即可求解．
【详解】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形中线的定义，熟练掌握在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线是解题的关键．
7．A
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
本题要判定，已知，，得，具备了一组边一对角对应相等，根据判定方法对选项一一分析，即可选出正确答案．
【详解】解：∵，，
∴，
即，
A、添加，根据有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，故不能判断，该选项符合题意；
B、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意；
C、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意；
D、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意．
故选：A．
8．A
【分析】根据大小桶所盛酒的数量列方程组即可.
【详解】∵5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，
∴5x+y=3，
∵1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，
∴x+5y=2，
∴得到方程组，
故选：A.
【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键.
9．B
【分析】分子分母不含公因式的分式叫做最简分式，对四个选项逐一检查是否还能化简即可求得结果．
【详解】A选项，故不是最简分式；
B选项不能再化简，故是最简分式；
C选项，故不是最简分式；
D选项，故不是最简分式．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的约分，解决本题的关键是找到分子分母中的公因式．
10．C
【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形外角的定义及性质、平角的定义.
作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，由轴对称的性质可得，，，，当、、、在同一直线上时，最小，为，表示出，，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得解．
【详解】解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，
，
由轴对称的性质可得：，，，，
∴，
∴当、、、在同一直线上时，最小，为，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
故选：C．
11．
【分析】本题考查了因式分解，提公因式，即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查分式有意义的条件，分母不能等于0，即可求解．
【详解】解：∵分式 有意义，
∴ ，
解得：，
故答案为：.
13．
【分析】根据两直线平行，内错角相等的性质，得，再通过角度和差计算，即可得到答案．
【详解】∵，
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线、角度和差计算知识；解题的关键是熟练掌握平行线的性质，从而完成求解．
14．6
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质．
根据等腰三角形的判定与性质得出的长度，再结合线段的垂直平分线的性质得出的长度．
【详解】解：∵，，
∴，
∵为线段的垂直平分线，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了代数式求值，由已知方程变形得 ，再整体代入目标表达式求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
则．
故答案为：．
16．16
【分析】本题考查了乘法公式的应用，正确理解题中数字的排列规律是解题的关键．根据杨辉三角的数字排列规律求出第5行的数字排列，即可计算答案．
【详解】解：根据杨辉三角的排列规律，将第5行排列如下：
则第5行的五个数为1，4，6，4，1，恰好对应展开式中的系数，
展开式中的系数和为．
故答案为：16．
17．0
【分析】本题考查了零次幂，绝对值，立方根，乘方，先化简零次幂，绝对值，立方根，乘方，再运算加减法，即可作答．
【详解】解：
．
18．
，
【分析】本题考查分式的化简求值，先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分，再选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：原式
，
∵当，时，分式无意义，
故取，
当时，原式．
19．（1）；（2）．
【分析】本题考查了因式分解，解一元一次不等式组．
（1）先提取公因式，再根据完全平方公式计算即可；
（2）分别解两不等式，即可求出不等式组的解集．
【详解】解：（1）
；
（2）解得；
解得；
即．
20．(1)200，10
(2)见解析
(3)
(4)1650人
【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图信息相关联、求扇形的圆心角、用样本估计总体，
（1）利用选项A的频数除以其所占的百分比求得样本容量，再利用选项D的频数除以样本容量求解即可；
（2）先利用选项B所占百分比乘以样本容量求得其频率，再补全统计图即可；
（3）利用选项A的百分比乘以即可求解；
（4）先求得选项B和选项C所占百分比的和，再乘以总人数即可．
【详解】（1）解：由图得，抽取的调查问卷共（份），，
故答案为：200，10；
（2）解：，补全条形统计图如图所示：
（3）解：，
答：选项A“功能建议”对应扇形的圆心角度数为；
（4）解：由题意得，（人），
答：选择“界面优化”和“报告”的总人数为1650人．
21．(1)见解析；（2）
【分析】（1）由角平分线定义得出，由证明即可；
（2）由三角形内角和定理得出，由角平分线定义得出，在中，由三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】（1）证明：平分，
，
在和中，，
；
（2），，
，
平分，
，
在中，．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，证明三角形全等是解题的关键．
22．(1)辆大货车一次运输箱物资，辆小货车一次运输箱物资
(2)方案见解析，当有辆大货车，辆小货车时，费用最小，最小费用为元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式，是解题的关键．
（1）设辆大货车一次运输箱物资，辆小货车一次运输箱物资，根据辆大货车与辆小货车一次可以运输箱；辆大货车与辆小货车一次可以运输箱，列出方程组，解方程组即可；
（2）设有辆大货车，辆小货车，根据大货车的数量不少于辆，总费用小于元列出不等式组，解不等式组，得出a的取值范围，根据取正整数，得出，，，然后分别求出三种情况下的总费用，再进行比较，得出答案即可．
【详解】（1）解：设辆大货车一次运输箱物资，辆小货车一次运输箱物资．
由题意可得：，
解得：．
答：辆大货车一次运输箱物资，辆小货车一次运输箱物资．
（2）解：设有辆大货车，辆小货车，
由题意可得：，
∴，
取正整数，
，，，
有三种运输方案：
方案一：有辆大货车，辆小货车，此时费用元，
方案二：有辆大货车，辆小货车，此时费用元，
方案三：有辆大货车，辆小货车，此时费用元，
，
当有辆大货车，辆小货车时，费用最小，最小费用为元．
23．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理．熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．
(1)根据等边三角形的性质可证，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据角之间的关系可得；
(2)根据等边三角形的性质可知，当时，，由(1)可知，根据三角形内角和定理可得，根据等角对等边可知的边长为．
【详解】（1）解：和均为等边三角形，
，，，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：，
，
是等边三角形，
，
由(1)可知，
，
，
，
的边长为．
24．(1)是，理由见解析
(2)，，
(3)
【分析】题目主要考查分式的加减运算，新定义的理解，含参数的方程，理解新定义是解题关键．
（1）根据定义求解判断即可；
（2）根据题意得出，确定，再由题意得出，即可求解；
（3）根据题意得出，确定，得出，，代入化简确定，得出，，再结合题意求解即可．
【详解】（1）解：是，理由如下：
根据题意得：，
∴C是D的“美好分式”；
（2）∵分式（w为常数），，且E是F的“美好分式”，
∴，
∴，
∵关于x的方程对于任意的x值恒成立，
∴，
∴，
∴，
解得，；
综上，，，；
（3）∵分式（为正整数），分式（为正整数），P是的“美好分式”，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，，，
∴，，
∴，，
代入得：
，
整理得，
解得，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
整理得，
∵为正整数，
∴为3的正约数，
∴或，
解得（不符合题意，舍去）或，
∴综上，．
25．(1)点坐标为，点坐标为
(2)
(3)2
【分析】（1）根据非负性得，解方程即可解答；
（2）过作轴于，证得根据边的关系求出和直线的解析式为，时求出即可解答；
（3）延长交于，设，，则，，证和是等腰直角三角形，求得，利用面积公式化简即可解答．
【详解】（1）解：∵
∴解得
∴解得
∴点坐标为，点坐标为
（2）已知，则，
过作轴于，
∵，
∴，
又∵
∴
在和中
∴（）
∴，
则，
直线的解析式为代入，
，解得，即
当时，得，解得，故
（3）∵，，
∴是等腰直角三角形，
延长交于，如图：
又∵，
∴，
∴，
设，，
则，
在与中，
∴（）
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴即
∴
， ，
【点睛】本题考查非负数的性质，作垂直辅助线构建全等三角形，等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
C
A
A
D
A
A
B
C