2022-2023学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级（上）第三次月考数学试卷

这是一份2022-2023学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级（上）第三次月考数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）目前，世界集成电路生产技术水平最高已达到7nm（1nm＝10﹣9m），主流生产线的技术水平为14﹣28nm，中国大陆集成电路生产技术水平最高为28nm．将28nm用科学记数法可表示为（ ）
A．28×10﹣9mB．2.8×10﹣8mC．28×109mD．2.8×108m
3．（3分）下列式子从左到右的变形一定正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
4．（3分）如图，如果△ABC≌△DEF，△DEF周长是32cm，DE＝9cm，EF＝13cm，∠E＝∠B，则AC＝（ ）
A．9cmB．10cmC．13cmD．22cm
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x4•x3＝x12B．（﹣xy3）3＝﹣x3y9
C．3x2+2x2＝5x4D．（x﹣y）2＝x2﹣y2
6．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝5cm，BC＝8cm，则△ABD的周长为（ ）
A．10cmB．13cmC．15cmD．16cm
8．（3分）武汉新冠肺炎疫情爆发后，某省紧急组织调运一批医疗物资，由车队送往距离出发地900千米的武汉，出发第一小时内按原计划速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.2倍匀速行驶，因此比原计划提前2小时到达目的地．设原计划速度为x千米/时，则根据题意可列方程为（ ）
A．+1＝﹣2B．﹣2＝
C．+2＝D．+1＝+2
9．（3分）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（ ）
A．3B．4.5C．6D．7.5
10．（3分）关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有负整数a的个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
二、填空题（本大题共6道题，每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：x3﹣xy2＝ ．
12．（3分）若代数式（1﹣2x）0+（x+1）﹣2有意义，则x的取值范围是 ．
13．（3分）一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是 ．
14．（3分）已知点P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2021的值为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，若AB＝5，AC＝3，DF＝2，则△ABC的面积为 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝45°，∠BAC＝90°，点A为（3，0）、点B（0，2）为坐标系内有一动点P，使得以P、A、C为顶点的三角形和△ABC全等，则P点坐标为 ．
三、解答题（本大题共9道题，共72分）
17．．
18．先化简，再求值：，其中x为满足|x|不大于2的整数．请选择一个适当的数值作为x的值代入求值．
19．某中学在全校进行了“请党放心，强国有我”科学知识竞赛，并对八年级（3）班全体同学本次知识竞赛成绩进行了统计，我们将成绩分为A、B、C、D、E五类，制成了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）八年级（3）班学生总人数是 人；在扇形统计图中，a的值是 ；
（2）若八年级（3）班得C等级的同学人数是得E等级的同学人数的4倍，请将条形统计图补充完整；
（3）在（2）的基础上，若等级A，B，C，D，E分别表示优秀，良好，合格，不合格，差，根据本次统计结果，估计全校2000名学生中知识竞赛成绩在合格及以上的学生大约有多少人？
20．如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC于点D．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求证：DC＝2DB．
21．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1）B（4，2）C（2，3）．
（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）在图中，若B2（﹣4，2）与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是 ，此时C点关于这条直线的对称点C2的坐标为 ；
（3）求△A1B1C1的面积．
22．圆圆预测一种应季衬衫能畅销市场，就用12000元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，圆圆又用30000元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了20元．
（1）圆圆购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按四折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
23．如图，AD是△ABC的高，AD＝BD＝4，E是AD上一点，BE＝AC＝5，S△ABC＝14，BE的延长线交AC于点F．
（1）求证：△BDE≌△ADC；
（2）求EF与AE的长．
24．我们定义：如果一个代数式有最大值，就称之为“青一式”，对应的最大值称之为“青一值”．如：﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4是“青一式”，它的“青一值”为4．
（1）以下代数式是“青一式”的有 .（请填序号）
①2x+5；②﹣x2+4x﹣5；③④．
（2）如果实数m﹣n2＝1请判断代数式﹣m2+2n2+4m﹣1是否为“青一式”？如果是，请求出它的“青一值”，如果不是，请说明理由．
（3）①已知x2+y2＝5，求“青一式”xy的“青一值”，并求出此时x和y满足何种条件？
②求代数式在3≤x≤6范围内的“青一值”．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（a，0）、B（0，b）分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足．
（1）A点的坐标为 ；∠OAB的度数为 ．
（2）如图1，E，F分别为AC和BC上一点，∠EOF＝45°，AC⊥BC，若，，，求四边形AEFB的周长．
（3）如图2，过点B作BE⊥AC于点E，延长BE至点D，使得BD＝AC，连接OC、OD．若点C的坐标为（4，3），CE平分∠OCD，请判断DE与CF的数量关系，并说明理由．
2022-2023学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级（上）第三次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10道题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、汉字“最”不能看作是轴对称图形，不符合题意；
B、汉字“美”能看作是轴对称图形，符合题意；
C、汉字“青”不能看作是轴对称图形，不符合题意；
D、汉字“竹”不能看作是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2．（3分）目前，世界集成电路生产技术水平最高已达到7nm（1nm＝10﹣9m），主流生产线的技术水平为14﹣28nm，中国大陆集成电路生产技术水平最高为28nm．将28nm用科学记数法可表示为（ ）
A．28×10﹣9mB．2.8×10﹣8mC．28×109mD．2.8×108m
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂．
【解答】解：28nm＝2.8×10﹣8m．
故选：B．
【点评】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）下列式子从左到右的变形一定正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【分析】根据分式的基本性质去判断即可．
【解答】解：A选项，分式没有这样的性质，故该选项不符合题意；
B选项，题中没有说c≠0，故该选项不符合题意；
C选项，∵bc≠0，
∴c≠0，故该选项符合题意；
D选项，分式没有这样的性质，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解题的关键．
4．（3分）如图，如果△ABC≌△DEF，△DEF周长是32cm，DE＝9cm，EF＝13cm，∠E＝∠B，则AC＝（ ）
A．9cmB．10cmC．13cmD．22cm
【分析】根据△DEF周长是32cm，DE＝9cm，EF＝13cm就可求出第三边DF的长，根据全等三角形的对应边相等，即可求得AC的长．
【解答】解：∵△DEF周长是32cm，DE＝9cm，EF＝13cm，
∴DF＝32﹣DE﹣EF＝10cm．
∵△ABC≌△DEF，∠E＝∠B，
∴AC＝DF＝10cm．
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的性质，解题时应注重识别全等三角形中的对应边，要根据对应角去找对应边．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x4•x3＝x12B．（﹣xy3）3＝﹣x3y9
C．3x2+2x2＝5x4D．（x﹣y）2＝x2﹣y2
【分析】A：根据同底数幂的乘法计算．
B：根据积的乘方计算．
C：根据合并同类项法则计算．
D：根据完全平方公式计算．
【解答】解：A：原式＝x7，∴不符合题意；
B：原式＝﹣x3y9，∴符合题意；
C：原式＝5x2，∴不符合题意；
D：原式＝x2﹣2xy+y2，∴不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查完全平方公式、合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
6．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式减法、乘法、除法运算法则和二次根式性质进行化简计算即可．
【解答】解：A.，故A错误；
B.，故B正确；
C.，故C错误；
D.，故D错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式减法、乘法、除法运算法则和二次根式性质，是解题的关键．
7．（3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝5cm，BC＝8cm，则△ABD的周长为（ ）
A．10cmB．13cmC．15cmD．16cm
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得出AD＝CD，再根据三角形的周长公式求解即可．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∴C△ABD＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝13（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，求三角形的周长．掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键．
8．（3分）武汉新冠肺炎疫情爆发后，某省紧急组织调运一批医疗物资，由车队送往距离出发地900千米的武汉，出发第一小时内按原计划速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.2倍匀速行驶，因此比原计划提前2小时到达目的地．设原计划速度为x千米/时，则根据题意可列方程为（ ）
A．+1＝﹣2B．﹣2＝
C．+2＝D．+1＝+2
【分析】根据“实际比原计划提前2小时到达目的地”，列出关于x的分式方程，即可得到答案．
【解答】解：设原计划速度为x千米/小时，
根据题意得：+1＝﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系，列出分式方程是解题的关键．
9．（3分）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（ ）
A．3B．4.5C．6D．7.5
【分析】由在等边三角形ABC中，DE⊥BC，可求得∠CDE＝30°，则可求得CD的长，又由BD平分∠ABC交AC于点D，由三线合一的知识，即可求得答案．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC，
∵DE⊥BC，
∴∠CDE＝30°，
∵EC＝1.5，
∴CD＝2EC＝3，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴AD＝CD＝3，
∴AB＝AC＝AD+CD＝6．
故选：C．
【点评】此题考查了等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
10．（3分）关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有负整数a的个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】解分式方程得出，根据其有非负整数解，即得出y≥0，y≠1，且为整数．再根据a为负整数，即得出所有a的可能的值，即得出答案．
【解答】解：，
等式两边同时乘（y﹣1），得：a+7+4＝3（y﹣1），
解得：．
∵该分式方程有非负整数解，
∴y≥0，y≠1，且为整数．
∵a为负整数，
∴a的值为﹣2或﹣5或﹣8或﹣14，
∴满足条件的所有负整数a的个数是4个．
故选：A．
【点评】本题主要考查根据分式方程的解的情况求参数．掌握解分式方程的步骤是解题关键．
二、填空题（本大题共6道题，每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：x3﹣xy2＝ x（x﹣y）（x+y） ．
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：x3﹣xy2
＝x（x2﹣y2）
＝x（x﹣y）（x+y）．
故答案为：x（x﹣y）（x+y）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．（3分）若代数式（1﹣2x）0+（x+1）﹣2有意义，则x的取值范围是 x≠且x≠﹣1 ．
【分析】根据a0＝1（a≠0），以及分母不为0，可得1﹣2x≠0且x+1≠0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
1﹣2x≠0且x+1≠0，
解得：x≠且x≠﹣1，
故答案为：x≠且x≠﹣1．
【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握a0＝1（a≠0），以及分母不为0是解题的关键．
13．（3分）一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是 4 ．
【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，再根据第三边是偶数这一条件，求得第三边的值．
【解答】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系知，
4﹣1＜a＜4+1，即3＜a＜5，
又∵第三边的长是偶数，
∴a为4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，掌握第三边满足：大于已知两边的差，且小于已知两边的和是解决问题的关键．
14．（3分）已知点P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2021的值为 ﹣1 ．
【分析】关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数得出a，b的值，再利用有理数的乘方运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵点P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，
∴a﹣1＝2，b﹣1＝﹣5，
解得：a＝3，b＝﹣4，
则（a+b）2021＝（3﹣4）2021＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律．
15．（3分）如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，若AB＝5，AC＝3，DF＝2，则△ABC的面积为 8 ．
【分析】根据角平分线的性质可得DE、DF的长，然后根据三角形面积公式可得答案．
【解答】解：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，
∴DE＝DF＝2，
∵AB＝5，AC＝3，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD
＝AB•DE+AC•DF
＝×5×2+×3×2
＝5+3
＝8．
故答案为：8．
【点评】此题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解决此题关键．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝45°，∠BAC＝90°，点A为（3，0）、点B（0，2）为坐标系内有一动点P，使得以P、A、C为顶点的三角形和△ABC全等，则P点坐标为 （6，﹣2）或（8，1）或（2，5）或（0，2） ．
【分析】需分4种情况讨论：①延长BA到P，使AB＝AP；②过点C作CP⊥AC，使CP＝AB；③作CP⊥AC，使CP＝AB；④当点P与点B重合时．分别画出图形，再运用全等三角形的判定与性质求出每种情况P的坐标即可．
【解答】解：∵点A坐标为（3，0）、点B坐标为B（0，2），
∴OA＝3，OB＝2．
以P、A、C为顶点的三角形和△ABC全等分为三种情况：
①如图，延长BA到P，使AB＝AP，连接CP，过P作PM⊥x轴于M，
则∠AOB＝∠AMP＝90°，
在△AOB和△AMP中，，
∴△AOB≌△AMP（AAS），
∴AM＝AO＝3，MP＝OB＝2，
∴此时点P的坐标为（6，﹣2）；
②如图，过点C作CP⊥AC，使CP＝AB，则△ABC≌△CPA（HL）．
过P作PF⊥x轴于F，过点C作CE⊥x轴于点E，作CD⊥y轴于点D．
∵∠OBA+∠OAB＝90°，∠EAC+∠OAB＝90°，
∴∠OBA＝∠EAC．
又∵∠BOA＝∠AEC＝90°，AB＝AC，
∴△BOA≌△AEC（AAS），
∴OD＝CE＝OA＝3，AE＝OB＝2，
∴CD＝OE＝5．
∵CD∥x轴，
∴∠DCA＝∠FAC．
∵∠BCA＝∠PAC＝45°，
∴∠DCA﹣∠BCA＝∠FAC﹣∠PAC，即∠DCB＝∠FAP．
又∵∠CDB＝∠AFP＝90°，CB＝AP，
∴△CDB≌△AFP（AAS），
∴PF＝BD＝OD﹣OB＝3﹣2＝1，AF＝CD＝5，
∴OF＝OA+AF＝3+5＝8，
∴此时点P的坐标为（8，1）；
③如图，作CP⊥AC，使CP＝AB，连接BP，则△ABC≌△CPA（SAS），
∵∠BAC＝∠PCA＝90°，且CP＝AB，
∴四边形ABPC是矩形，
∴AB＝BP，∠ABP＝90°，即∠ABO+∠PBM＝90°，
过点P作PM⊥y轴，则∠BPM+∠PBM＝90°，
∴∠ABO＝∠BPM，
在△AOB和△BMP中，
，
∴△AOB≌△BMP（AAS），
∴BM＝OA＝3，PM＝OB＝2，
∴此时点P的坐标为（2，5）；
④当点P与点B重合时，点P的坐标为（0，2）．
综上可知，点P的坐标为（6，﹣2）或（8，1）或（2，5）或（0，2）．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质和判定．熟练掌握全等三角形的判定与性质以及分类讨论思想是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共9道题，共72分）
17．．
【分析】根据零指数幂、负整指数幂、乘方运算和化简绝对值的相关运算法则求解即可．
【解答】解：
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了零指数幂、负整指数幂、乘方运算和化简绝对值的相关运算法则，正确的计算是解决本题的关键．
18．先化简，再求值：，其中x为满足|x|不大于2的整数．请选择一个适当的数值作为x的值代入求值．
【分析】根据分式的混合运算法则运算即可化简．由x为满足|x|不大于2的整数，得出x可取﹣2，﹣1，0，1，2．再根据分式有意义的条件即得出x≠0，x≠﹣2，x≠2，故x可取﹣1，1．最后将x＝1代入化简后的式子求值即可．
【解答】解：
＝＝
＝
＝3x+10．
∵x为满足|x|不大于2的整数，
∴x可取﹣2，﹣1，0，1，2．
∵x2﹣4≠0，且x≠0，
∴x≠0，x≠﹣2，x≠2，
∴x可取﹣1，1．
当x＝1时，原式＝3x+10＝3×1+10＝13．
【点评】本题考查分式的化简求值，分式有意义的条件，绝对值的意义，掌握分式的混合运算法则是解题关键．
19．某中学在全校进行了“请党放心，强国有我”科学知识竞赛，并对八年级（3）班全体同学本次知识竞赛成绩进行了统计，我们将成绩分为A、B、C、D、E五类，制成了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）八年级（3）班学生总人数是 50 人；在扇形统计图中，a的值是 20 ；
（2）若八年级（3）班得C等级的同学人数是得E等级的同学人数的4倍，请将条形统计图补充完整；
（3）在（2）的基础上，若等级A，B，C，D，E分别表示优秀，良好，合格，不合格，差，根据本次统计结果，估计全校2000名学生中知识竞赛成绩在合格及以上的学生大约有多少人？
【分析】（1）用B等级的人数除以其百分比即可求出八年级（3）班学生总人数；用D等级人数除以总人数，即可得出a的值；
（2）由题意可设E等级的同学人数为x人，则C等级的同学人数是4x人，由总人数为50人，可列出关于x的等式，解出x，即得出C等级的同学人数和E等级的同学人数，再据此补全统计图即可；
（3）用全校总人数乘以知识竞赛成绩在合格及以上的学生所占百分比即可．
【解答】解：（1）八年级（3）班学生总人数是12÷24%＝50人．
∵，
∴a＝20．
故答案为：50，20；
（2）设得E等级的同学人数为x人，则C等级的同学人数是4x人，
∴8+12+4x+10+x＝50，
解得：x＝4，
∴C等级的同学人数为16人，E等级的同学人数是4人，
∴补全条形统计图如下．
（3）人，
答：估计全校2000名学生中知识竞赛成绩在合格及以上的学生大约有2000人．
【点评】本题考查条形统计图与扇形统计图相关联，由样本估计总体．从不同的统计图中得到必要的信息和数据是解题关键．
20．如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC于点D．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求证：DC＝2DB．
【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等求出∠B，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD＝BD，根据等边对等角可得∠BAD＝∠B，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解；
（2）根据三角形的内角和得到∠DAC＝90°，根据直角三角形的性质得到AD＝CD，∠BAD＝30°，求得∠B＝∠BAD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣120°）＝30°，
∵AB的垂直平分线交BC于点D．
∴AD＝BD，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝30°+30°＝60°；
（2）∵∠ADC＝60°，∠C＝30°，
∴∠DAC＝90°，
∴AD＝CD，∠BAD＝30°，
∴∠B＝∠BAD，
∴BD＝AD，
∴DC＝2DB．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．
21．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1）B（4，2）C（2，3）．
（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）在图中，若B2（﹣4，2）与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是 y轴 ，此时C点关于这条直线的对称点C2的坐标为 （﹣2，3） ；
（3）求△A1B1C1的面积．
【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）作BB2的垂直平分线得到轴对称为y轴，然后利用关于y轴对称的点的坐标特征得到C2的坐标；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A1B1C1的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）这条对称轴是y轴，C点的对称点C2的坐标为（﹣2，3）；
故答案为：y轴，（﹣2，3）；
（3）△A1B1C1的面积＝2×3﹣×2×1﹣×2×1﹣×1×3＝2.5．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
22．圆圆预测一种应季衬衫能畅销市场，就用12000元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，圆圆又用30000元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了20元．
（1）圆圆购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按四折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
【分析】（1）设圆圆购进的第一批衬衫是x件，根据第二批单价比第一批单价贵20元，列分式方程，求解即可；
（2）设每件衬衫的标价至少y元，根据“两批衬衫全部售完后利润不低于25%”列不等式，求解即可．
【解答】解：（1）设圆圆购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，
根据题意，得，
解得x＝150，
经检验，x＝150是原方程的根，且符合题意．
答：圆圆购进的第一批衬衫是150件．
（2）3x＝3×150＝450，
设每件衬衫的标价至少y元，
根据题意，得（450﹣50）y+50×0.4y≥（30000+12000）×（1+25%），
解得y≥125．
∴每件衬衫的标价至少是125元．
【点评】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立关系式是解题的关键．
23．如图，AD是△ABC的高，AD＝BD＝4，E是AD上一点，BE＝AC＝5，S△ABC＝14，BE的延长线交AC于点F．
（1）求证：△BDE≌△ADC；
（2）求EF与AE的长．
【分析】（1）利用“HL”直接证明即可；
（2）由三角形面积公式可求出BC＝7．再根据全等三角形的性质即可求出DE＝DC＝BC﹣BD＝3，从而可求出AE＝AD﹣DE＝1．由全等三角形的性质又易得出∠DBE＝∠DAC．即得出∠AFE＝∠BDE＝90°，再根据三角形的面积公式可求出，即得出．
【解答】（1）证明：在Rt△BDE和Rt△ADC中，
，
∴△BDE≌△ADC（HL）．
（2）解：∵S△ABC＝AD•BC＝14，
∴，
解得：BC＝7．
∵△BDE≌△ADC，
∴DE＝DC＝BC﹣BD＝7﹣4＝3，
∴AE＝AD﹣DE＝4﹣3＝1．
∵Rt△BDE≌Rt△ADC，
∴∠DBE＝∠DAC．
又∵∠BED＝∠AEF，
∴∠AFE＝∠BDE＝90°，
∴S△ABC＝，
∴，
解得：，
∴．
【点评】本题考查三角形全等的判定和性质，三角形的面积公式．熟练掌握三角形全等的判定定理及其性质是解题关键．
24．我们定义：如果一个代数式有最大值，就称之为“青一式”，对应的最大值称之为“青一值”．如：﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4是“青一式”，它的“青一值”为4．
（1）以下代数式是“青一式”的有 ②④ .（请填序号）
①2x+5；②﹣x2+4x﹣5；③④．
（2）如果实数m﹣n2＝1请判断代数式﹣m2+2n2+4m﹣1是否为“青一式”？如果是，请求出它的“青一值”，如果不是，请说明理由．
（3）①已知x2+y2＝5，求“青一式”xy的“青一值”，并求出此时x和y满足何种条件？
②求代数式在3≤x≤6范围内的“青一值”．
【分析】（1）由“青一式”的定义结合各代数式的特点判断即可；
（2）由题意可得出n2＝m﹣1，代入﹣m2+2n2+4m﹣1中，并整理得：﹣（m﹣3）2+6，即代数式﹣m2+2n2+4m﹣1有最大值为6，即说明代数式﹣m2+2n2+4m﹣1是“青一式”，“青一值”为6；
（3）①由（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy≥0，x2+y2＝5，可得出，即xy的最大值为，且此时x＝y，即xy的“青一值”为，此时x＝y；②．再由3≤x≤6，当x＝6时，x﹣4取得最大值，也取得最大值，即得出当x＝6时，有最大值，即代数式在3≤x≤6范围内的“青一值”为．
【解答】解：（1）①代数式2x+5没有最大值不是“青一式”；
②∵代数式﹣x2+4x﹣5＝﹣（x﹣2）2﹣1，
∴其有最大值，是“青一式”；
③∵代数式，
∴其没有最大值，不是“青一式”；
④∵代数式（x﹣2）2+2有最小值2，
∴代数式有最大值，是“青一式”．
综上可知②④是“青一式”．
故答案为：②④；
（2）是“青一式”，“青一值”为6．
∵m﹣n2＝1，
∴n2＝m﹣1，
∴﹣m2+2n2+4m﹣1＝﹣m2+2（m﹣1）+4m﹣1＝﹣（m﹣3）2+6，
∴代数式﹣m2+2n2+4m﹣1有最大值为6，
∴代数式﹣m2+2n2+4m﹣1是“青一式”，“青一值”为6；
（3）①∵（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy≥0，x2+y2＝5，
∴5﹣2xy≥0，
∴，即xy的最大值为．
∵此时当x﹣y＝0，
∴x＝y，
∴xy的“青一值”为，此时x＝y；
②∵，
又∵3≤x≤6，
∴当x＝6时，x﹣4取得最大值，最大值为6﹣4＝2，
当x＝6时，取得最大值，最大值为，
∴当x＝6时，有最大值，最大值为，
∴代数式在3≤x≤6范围内的“青一值”为．
【点评】本题考查对新定义的理解，完全平方公式的应用，分式混合运算的应用，平方非负性的应用．读懂题意，理解“青一式”和“青一值”的定义是解题关键．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（a，0）、B（0，b）分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足．
（1）A点的坐标为 （﹣6，0） ；∠OAB的度数为 45° ．
（2）如图1，E，F分别为AC和BC上一点，∠EOF＝45°，AC⊥BC，若，，，求四边形AEFB的周长．
（3）如图2，过点B作BE⊥AC于点E，延长BE至点D，使得BD＝AC，连接OC、OD．若点C的坐标为（4，3），CE平分∠OCD，请判断DE与CF的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据非负数的性质求得a，b的值，得出△AOB是等腰直角三角形，即可求解；
（2）作GO⊥EO，延长CB交EO的垂线于点G，证明△AOE≌△BOG（ASA），然后证明△EOF≌△GOF（SAS）得出EF＝GF，进而可得EF＝FB+BG＝FB+AE，根据四边形的周长代入数据进行计算即可求解；
（3）延长CO交BD于点H，设AO，BD交于点G，证明△CAO≌△DBO（SAS），△CED≌△CEH（ASA），然后证明△DHO≌△CFO（ASA），由全等三角形的性质即可得证．
【解答】解：（1）∵，
∴，
∴a﹣b＝0，b+6＝0，
∴a＝﹣6，b＝﹣6，
∵点A（a，0）、B（0，b），
∴A（﹣6，0）、B（0，﹣6），
∴OA＝OB＝6，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB＝45°，
故答案为：（﹣6，0），45°；
（2）如图，作GO⊥EO，延长CB交EO的垂线于点G，
∵AC⊥BC，∠AOB＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OAC+∠OBC＝180°，
∵∠OBG+∠OBC＝180°，
∴∠OBG＝∠OAE，
∵∠EOF＝45°，
∴∠AOE+∠FOB＝∠AOB﹣∠EOF＝45°，
∵GO⊥EO，
∴∠GOF＝∠FOB+∠BOG＝45°，
∴∠AOE＝∠BOG，
又∵OA＝OB，
∴△AOE≌△BOG（ASA），
∴AE＝BG，OE＝OG，
在△EOF与△GOF中，
，
∴△EOF≌△GOF（SAS），
∴EF＝GF，
∴EF＝FB+BG＝FB+AE，
∵，，，
∴四边形AEFB的周长为AB+AE+EF+BF＝AB+2（AE+BF）
＝
＝
＝；
（3），理由如下，
如图，延长CO交BD于点H，设AO，BD交于点G，
∵BE⊥AC，∠AOB＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴∠CAO+∠AGE＝90°，∠DBO+∠BGO＝90°，
∵∠AGE＝∠BGO，
∴∠CAO＝∠DBO，
在△CAO与△DBO中，
，
∴△CAO≌△DBO（SAS），
∴∠AOC＝∠BOD，OC＝OD，
∴∠AOB+∠AOD＝∠AOD+∠DOC，
即∠DOC＝90°，
∴△DOC是等腰直角三角形，
∴∠OCD＝45°，
∵CE平分∠OCD，
∴，
∵AC⊥BD，
∴∠CDE＝∠CEH＝90°，
在△CED与△CEH中，
，
∴△CED≌△CEH（ASA），
∴，，
∴∠HDO＝∠CDE﹣∠CDO＝22.5°，
∴∠HDO＝∠FCO＝22.5°，
在△DHO与△CFO中，
，
∴△DHO≌△CFO（ASA），
∴FC＝DH，
∴．
【点评】本题考查了坐标与图形，二次根式有意义的条件，二次根式的加减混合运算，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
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