2025年上海市上海中学高一上学期期中数学试卷及答案解析

这是一份2025年上海市上海中学高一上学期期中数学试卷及答案解析，共21页。试卷主要包含了11， 已知集合，则______．， 已知，则__________， 设，则的最小值为______， 已知二次函数，甲同学等内容，欢迎下载使用。
2025.11
（满分：110分 时间：90分钟）
一、填空题（每题3分，共42分）
1. 已知集合，则______．
2. 不等式的解集是________.
3. 函数（且）无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为________.
4. 若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和________.
5. 已知一元二次方程有一个根比1大，另一个根比1小，则实数a的取值范围是______.
6. 关于的方程的解集为______．
7. 已知，则__________.
8. 若，且函数与的图象有两个交点，则满足条件的不同集合有______个．
9. 设，则的最小值为______.
10. 已知二次函数，甲同学：的解集为；乙同学：的解集为；丙同学：此二次函数的对称轴在y轴左侧.在这三个同学的论述中，只有一个论述是错误的，则a的取值范围是________.
11. 已知为实数，用表示有限集合的元素个数， 则所有可能的值是_________.
12. 已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是______.
13. 设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，这时，的取值的集合为________．
14. 已知集合，集合是集合的三元子集，即，中的元素满足，则符合要求的集合有______个．
二、单选题（每题3分，共12分）
15. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
16. 下列结论中，正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D.
17. 数学上将形如（p为素数）的素数称为“梅森素数”，试估计“梅森素数”的位数为（ ）．
A. 607B. 608C. 609D. 610
18. 在上海中学东校科技节中，李明同学定义了可分比集合：若集合满足对任意，都有，则称是可分比集合．若集合均为可分比集合，且（为正整数），则的最大值为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
三、解答题（共56分）
19. 已知常数，集合，集合．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
20. 已知幂函数的图象关于轴对称，且，．
（1）求；
（2）若，求的取值范围．
21. 对于二次函数，若存在，使成立，则称为该二次函数的不动点．
（1）已知函数，求该函数不动点；
（2）若对于任意的，二次函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围．
22. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单价为y元，现有两种购买方案：
方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为;
方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为．
（其中）
（1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；
（2）若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）．
23. 桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放不少于两个苹果．这一现象就是我们所说的“抽屉原理”．
抽屉原理的一般含义为：如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有个元素放到n个集合中去，共中必定有一个集合里至少有两个元素．
应用抽屉原理，解答下列问题：设n为正整数，集合.对于集合A中的任意元素和，记.
（1）当时，岩，，求和的值；
（2）当时，对于A中的任意两个不同的元素，，证明：.
（3）给定不小于2的正整数n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同元素，，.写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明由.
上海中学东校2025学年度第一学期中期素质评估
高一数学
2025.11
（满分：110分 时间：90分钟）
一、填空题（每题3分，共42分）
1. 已知集合，则______．
【答案】
【解析】
【分析】应用集合的交运算求结果.
【详解】.
故答案为：
2. 不等式的解集是________.
【答案】
【解析】
【分析】将分式不等式等价变形为，解此不等式即可.
【详解】不等式等价于，解得，
因此，不等式的解集是.
故答案为.
【点睛】本题考查分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.
3. 函数（且）无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，令，求得和，即可求解.
【详解】由函数（且），
令，解得，则，所以函数恒经过定点.
故答案为：.
4. 若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和________.
【答案】2
【解析】
【分析】由题意可知：集合有两个元素，即方程有两个不相等的实数根，利用韦达定理运算求解.
【详解】由题意可知：集合有两个元素，设为，即，
则方程有两个不相等的实数根，则，
所以.
故答案为：2.
5. 已知一元二次方程有一个根比1大，另一个根比1小，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】结合二次函数的图象与性质判断求解．
【详解】令函数，则其图象开口向上，顶点坐标为，对称轴是，若二次函数有两个零点，则必有一个零点小于0，即小于1，
要使另一个零点比1大，则需满足，解得，即时，二次方程有一个根比1大，另一个根比1小.所以满足题意的实数a的取值范围是.
故答案为：．
6. 关于的方程的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值不等式可得，结合等号成立条件分析求解即可.
【详解】因为，
当且仅当，即或，
所以由，可得或，
所以的方程的解集为.
故答案为：.
7. 已知，则__________.
【答案】4
【解析】
【分析】根据题意结合对数的运算性质可得到，解出，即可求得答案；另解：可利用对数的运算性质结合基本不等式求解.
【详解】由，整理得，
得，解得，所以.
另解：由题知，则，
利用基本不等式可得，
当且仅当时取等号，解得.
故答案为：4
8. 若，且函数与的图象有两个交点，则满足条件的不同集合有______个．
【答案】4
【解析】
【分析】作出函数图象，结合图象分析交点个数，进而可得集合A.
【详解】分别作出函数、、和的图象，如图所示，
可知与、、的交点个数分别为1、1、2；
与、的交点个数分别为2、2；
与的交点个数为2；
可知集合或或或，
所以满足条件的不同集合有4个.
故答案为：4.
9. 设，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．
【详解】
，
当且仅当，即或时成立，
故所求的最小值为．
【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．
10. 已知二次函数，甲同学：的解集为；乙同学：的解集为；丙同学：此二次函数的对称轴在y轴左侧.在这三个同学的论述中，只有一个论述是错误的，则a的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】先由三人各自的论述入手分别化简求解的范围，再按范围分类判断即可得.
【详解】由题意，.
若甲正确，则且，即，则；
若乙正确，则且，即，则；
若丙正确，则由二次函数的对称轴为，得，所以.
若，则乙丙两人论述错误，不满足题意；
若，则甲乙两人论述错误；
若，则乙丙两人论述正确，只有甲一人论述错误，满足题意.
综上所述，，即a的取值范围是.
故答案为：.
11. 已知为实数，用表示有限集合的元素个数， 则所有可能的值是_________.
【答案】
【解析】
【分析】令，由时，，的零点一一对应求解.
【详解】解：令，
设，显然，则，
所以除外，的零点一一对应，
又存在，，，使得，
所以或，
则或，
故答案为：或
12. 已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由必要条件得，进而有A可能为，，，结合集合A的描述列不等式组求对应x范围，根据可能集合情况确定参数范围即可.
【详解】由“”是“”的必要条件，即，
由A中元素为整数，故A只可能为，，，
由点不在第一、三象限，得：或，即①或②，
当时，①无解，由②得，
此时，故，有；
当时，由①②得，
此时，因，只须，有；
综上：实数a的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：由必要条件确定集合A的可能情况，根据其描述求集合A中元素的范围，再综合所得考虑参数范围.
13. 设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，这时，的取值的集合为________．
【答案】
【解析】
【分析】分析可知在上单调递减，可得出，求得，根据已知条件得出，即可解得实数的值.
【详解】由可得，可得，即，
因为，故函数在上单调递减，
所以，，所以，，
因为有且只有一个满足题意，则，解得.
故答案为：.
14. 已知集合，集合是集合的三元子集，即，中的元素满足，则符合要求的集合有______个．
【答案】1012
【解析】
【分析】根据给定条件，用表示出，得到，再由求出范围即可.
【详解】由，得，即，
整理得，而，则，，
因此，由，得，
又，，所以符合要求的集合的个数为.
故答案为：1012
二、单选题（每题3分，共12分）
15. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式性质及充分条件和必要条件的定义判断．
【详解】当时，成立，故充分性满足，
当时，如，则，故必要性不满足，
因此“”是“”的充分不必要条件.
故选：A．
16. 下列结论中，正确的是（ ）
A 若，则B. 若，则
C. 若，则D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指数运算化简判断AC；利用根式运算化简判断BD.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，由，得，B错误；
对于C，由可知，则，
因为，所以，C正确；
对于D，，D错误.
故选：C
17. 数学上将形如（p为素数）的素数称为“梅森素数”，试估计“梅森素数”的位数为（ ）．
A. 607B. 608C. 609D. 610
【答案】B
【解析】
【分析】由题意求出的近似值，可将写成的形式，即可得到结果.
【详解】因为，则，
即，所以的位数为.
故选：B.
18. 在上海中学东校科技节中，李明同学定义了可分比集合：若集合满足对任意，都有，则称是可分比集合．若集合均为可分比集合，且（为正整数），则的最大值为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根据可分比集合定义，验证时成立，证明时不成立得到正整数的最大值为7.
【详解】取，，满足题意，此时；
若，若，
因为和，故，
因为，故，
此时考虑元素8：因为且，故；
因为且，故，
所以8无法划分，与矛盾，
当时，类似推导可得矛盾，例如：若，则，
进而，元素无法划分，矛盾；
故正整数n的最大值为7．
故选：B.
三、解答题（共56分）
19. 已知常数，集合，集合．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）解不等式化简集合后，再利用交集的定义求解.
（2）根据给定条件，利用集合包含关系分类求解．
【小问1详解】
当时，，
而，所以.
【小问2详解】
集合，由，得，
当时，，满足题意，则；
当时，，则，解得；
当时，，则，解得，
所以实数的取值范围是．
20. 已知幂函数的图象关于轴对称，且，．
（1）求；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）2； （2）.
【解析】
【分析】（1）由，得在区间上为减函数，结合及函数图象对称性求出的值.
（2）由（1）求出，再利用单调性及偶函数性质求解不等式.
【小问1详解】
由，得幂函数在区间上单调递减，
则，解得，又，则m的值为，
由的图象关于轴对称，函数为偶函数，则为偶数，
所以.
【小问2详解】
由（1）得函数定义域为，其图象关于轴对称，且在上为单调递减，
不等式，则，
解得或，所以的取值范围是.
21. 对于二次函数，若存在，使成立，则称为该二次函数的不动点．
（1）已知函数，求该函数的不动点；
（2）若对于任意的，二次函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围．
【答案】（1），3；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据不动点的定义列出方程并求解即得.
（2）根据不动点的定义，结合一元二次方程的判别式列式，再利用基本不等式求解.
【小问1详解】
设为函数的不动点，则，即，
解得或，所以所求不动点为，3.
【小问2详解】
由，二次函数恒有两个相异的不动点，
得，方程有两个不等实根，
则，，且，
由，得，则，
当且仅当，即时取等号，因此，且，即且，
所以实数的取值范围是.
22. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单价为y元，现有两种购买方案：
方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为;
方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为．
（其中）
（1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；
（2）若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）．
【答案】（1）采用方案二；理由见解析
（2）24
【解析】
【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解；
（2）根据题意，得到，利用换元法和基本不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：方案一的总费用为（元）；
方案二总费用为（元），
由，
因为，可得，所以，
即，所以，所以采用方案二，花费更少.
【小问2详解】
解：由（1）可知，
令，则，
所以，当时，即时，等号成立，
又因为，可得，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以差的最小值为，当且仅当时，等号成立，
所以两种方案花费的差值最小为24元.
23. 桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放不少于两个苹果．这一现象就是我们所说的“抽屉原理”．
抽屉原理的一般含义为：如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有个元素放到n个集合中去，共中必定有一个集合里至少有两个元素．
应用抽屉原理，解答下列问题：设n为正整数，集合.对于集合A中的任意元素和，记.
（1）当时，岩，，求和的值；
（2）当时，对于A中的任意两个不同的元素，，证明：.
（3）给定不小于2正整数n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同元素，，.写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明由.
【答案】（1），
（2）证明见解析 （3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据定义得到，；
（2）设，，求出，，分析出，，证明出，当且仅当时等号成立；
（3）在（2）的基础上，得到若，则成立，对集合进行分类，应用抽屉原理和反证法，得到满足条件的集合B中元素个数不多于，在取，对于，2，…，，取，且；，令，得到答案.
【小问1详解】
因为，，
所以，
；
【小问2详解】
当时，对于A中的任意两个不同的元素，，
设，，
，.
对于任意的，，，2，3，4，
当时，有，
当时，有.
即，
所以，
又因为，
所以，，当且仅当时等号成立，
所以
，
即，当且仅当时等号成立：
【小问3详解】
由（2）可证，对于任意的，，
若，则成立.
考虑设，
，
对于任意的，3，…，n，
，
所以，
假设满足条件的集合B中元素个数不少于，
则至少存在两个元素在某个集合中，
不妨设为，，则.
与假设矛盾，所以满足条件的集合B中元素个数不多于.
取；
对于，2，…，，取，
且；.
令，
则集合B满足条件，且元素个数为，
故B是一个满足条件且元素个数最多的集合.
【点睛】新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.