2025年上海市进才中学高一上学期期中数学试卷及答案解析

这是一份2025年上海市进才中学高一上学期期中数学试卷及答案解析，共22页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（2025年11月）
命题教师 戴经纬 审题教师 袁洁
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7题每题5分）
1. 幂函数的图像经过点，则_________.
2. 将化为有理数指数幂的形式为______.
3. 设a，b为实数，则___（填“＞，≥，＜或≤”）
4. 当时，的最小值为________．
5. 若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和________.
6. 设，则满足条件的集合共有________个．
7. 不等式的解集为__________.
8. 幂函数y=xa，当a取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xa，y=xb的图象三等分，即有BM=MN=NA，那么ab=______.
9. 已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列顺序是______.
10. 若正实数，满足，，则的值为______.
11. 函数的大致图像如图，若函数图像经过和两点，且和是其两条渐近线，则________
12. 定义区间、，、的长度均为，其中.若不等式组的解集中各区间长度和等于8，则实数t的取值范围是______.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16每题5分）
13. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件
14. 用反证法证明命题“设，如果能被5整除，那么中至少有一个能被5整除”，假设应该是（ ）
A 都能被5整除B. 至多有一个能被5整除
C. 或不能被5整除D. 都不能被5整除
15. 若方程的解集为M，则以下结论一定正确的是（ ）
（1）
（2）
（3）
（4）
A. （1）（4）B. （2）（4）
C. （3）（4）D. （1）（3）（4）
16. 若关于x方程有四个不同的实数解，则实数k的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17 设函数，.
（1）设，用表示，并指出的取值范围；
（2）求的最值，并指出取得最值时对应的的值.
18. 已知p：，q：．
（1）若p为假命题，求实数a的取值范围；
（2）若p，q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．
19. Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入万元.其中与x之间的关系为：，且函数的图象过，，三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完.
（1）求a，b，c的值，并写出年利润（万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式；
（2）当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润.
20. 已知幂函数在严格增，．
（1）求函数的解析式；
（2）求关于的不等式的解集（其中）；
（3）若在上恒成立，求实数a的取值范围．
21. 定义，且，例如.回答以下问题：
（1）若，求的最小值；
（2）若且，求的取值范围；
（3）函数定义域为，且满足，若恰有99个零点分别记作，求的取值范围．
参考答案及解析：
上海市进才中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷
（时间120分钟，满分150分）
（2025年11月）
命题教师 戴经纬 审题教师 袁洁
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7题每题5分）
1. 幂函数的图像经过点，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】将点代入函数解析式待定，指对互化即可解出.
【详解】由幂函数的图像经过点，
得，则.
故答案为：.
2. 将化为有理数指数幂的形式为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用根式与指数幂的互化、指数幂的运算性质化简可得结果.
【详解】.
故答案为：.
3. 设a，b为实数，则___（填“＞，≥，＜或≤”）
【答案】
【解析】
分析】利用作差法比较即可.
【详解】因为
所以
故答案为：
4. 当时，的最小值为________．
【答案】5
【解析】
【分析】构造乘积为定值，应用基本不等式求出最小值即可.
【详解】因为,
则 ，
当时，的最小值为5.
故答案为：5.
5. 若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和________.
【答案】2
【解析】
【分析】由题意可知：集合有两个元素，即方程有两个不相等的实数根，利用韦达定理运算求解.
【详解】由题意可知：集合有两个元素，设为，即，
则方程有两个不相等的实数根，则，
所以.
故答案为：2.
6. 设，则满足条件的集合共有________个．
【答案】4
【解析】
【分析】根据并集的定义，列举集合.
【详解】由并集定义可知，集合中有元素3和4，
所以满足条件的集合共4个.
故答案为：4
7. 不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得，结合二次不等式可得，结合绝对值的几何意义分析求解.
【详解】因为，即，
又因为，，则，
整理得，解得或（舍去），
由，可得或，
所以不等式解集为.
故答案为：.
8. 幂函数y=xa，当a取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xa，y=xb的图象三等分，即有BM=MN=NA，那么ab=______.
【答案】
【解析】
【分析】求得的坐标，进而求得，从而求得.
【详解】依题意，，所以是线段的三等分点，
而，所以，
所以，
.
故答案为：
9. 已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列顺序是______.
【答案】
【解析】
【分析】不等式可化为，设，，画出函数与函数的图像，利用数形结合法即可求出结果．
【详解】不等式可化为，
设，，
画出函数与函数的图像，如图所示，

由图像可知，，
故答案为：
10. 若正实数，满足，，则的值为______.
【答案】20
【解析】
【分析】利用对数的性质可得，故可求的值.
【详解】因为，
所以.
故答案为：20.
11. 函数的大致图像如图，若函数图像经过和两点，且和是其两条渐近线，则________
【答案】
【解析】
【分析】先由函数图像，得到函数关于对称，推出，化原函数为，再由函数图像所过定点，即可求出参数，得出结果.
【详解】由图像可得：函数关于对称，
所以有，即，因此，
又函数图像经过和两点，
所以，解得：，因此，
所以.
故答案为：
【点睛】本题主要考查由函数图像求参数，熟记函数的对称性，以及待定系数法求函数解析式即可，属于常考题型.
12. 定义区间、，、的长度均为，其中.若不等式组的解集中各区间长度和等于8，则实数t的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】先解不等式，并求出解集区间的长度，再从分类讨论解不等式，结合题意即可得出答案.
【详解】由，得且，
由得，解得，
由得，解得或，
所以不等式的解集为，
此不等式解集的长度恰好为，
由得，
当时，此不等式的解集为空集，舍去；
当时，此不等式的解集为，
要满足题意则，解得；
当时，此不等式的解集为，
要满足题意则，解得，
综上所述，实数t的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：分别解不等式和是解决本题的关键.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16每题5分）
13. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式，根据集合的包含关系分析充分、必要条件.
【详解】因为，即，解得，
且是的真子集，
所以“”是“”的必要非充分条件.
故选：B.
14. 用反证法证明命题“设，如果能被5整除，那么中至少有一个能被5整除”，假设应该是（ ）
A. 都能被5整除B. 至多有一个能被5整除
C. 或不能被5整除D. 都不能被5整除
【答案】D
【解析】
【分析】根据反证法的性质进行判断即可.
【详解】用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有”
故选：D
15. 若方程的解集为M，则以下结论一定正确的是（ ）
（1）
（2）
（3）
（4）
A. （1）（4）B. （2）（4）
C. （3）（4）D. （1）（3）（4）
【答案】C
【解析】
【分析】根据特殊值法可确定(1),(2)选项错误; 根据集合的基本关系可以判断(3),(4)正确.
【详解】设,,
,,故(1),(2)错误;
根据集合的基本关系可以知道,,(3),(4)正确.
故选 :C.
16. 若关于x的方程有四个不同的实数解，则实数k的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用常变量分离法，结合二次函数的性质、数形结合思想进行求解即可.
【详解】由于关于x的方程有4个不同的实数解，
当时，原式为，解得，不满足题意；
故，则可转化成，
所以或，所以或，
所以时，是此方程的1个根，故关于x的方程有3个不同的非零非4的实数解，所以有3个不同的非零非4的实数解，
即函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，
在同一直角坐标系作图：由图可知，即，所以k的取值范围为.
故选：D
【点睛】关键点点睛：利用转化法，结合数形结合思想进行求解是解题的关键.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17. 设函数，.
（1）设，用表示，并指出的取值范围；
（2）求的最值，并指出取得最值时对应的的值.
【答案】（1），其中.
（2）时，取得最大值；时，取得最小值.
【解析】
【分析】先利用对数运算性质将函数转化为关于的表达式，再根据的范围确定的取值范围.
将关于的函数化为顶点式，再结合二次函数单调性求最值即对应的值.
【小问1详解】
设，因为，所以.
此时，，
即，其中
【小问2详解】
由第(1)问可得，.
因为，函数在单调递增，
在单调递减，所以当，即，
即时，取得最大值；
当，即，
即时，取得最小值.
18. 已知p：，q：．
（1）若p为假命题，求实数a的取值范围；
（2）若p，q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分和两种情况讨论结合二次函数的图象和性质得解；
（2）分真假和假真两种情况讨论得解.
【小问1详解】
若为真命题，
当时，不等式恒成立；
当时，有，解得，
所以为真命题的取值范围是，故为假命题的取值范围是.
【小问2详解】
等价于，
又，故，即为真命题的的取值范围是，
由（1）为真命题的取值范围是，
若p，q中有且仅有一个为真命题，则真假或假真，
若真假，则，解得，
若假真，则，解得，
综上，实数的取值范围是.
19. Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入万元.其中与x之间的关系为：，且函数的图象过，，三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完.
（1）求a，b，c的值，并写出年利润（万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式；
（2）当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润.
【答案】（1），
（2）当时，取得最大值，且最大值为115万元
【解析】
【分析】（1）将给定的三点坐标代入函数式，求出，进而求出的表达式.
（2）由（1）按与分段求出最大值，再比较大小即得.
【小问1详解】
将，，三点代入，得，
解得，即
依题意，.
【小问2详解】
由（1）
当时，，则当为时，取得最大值60万元；
当时，
，当且仅当时，即时取得等号，
此时取得最大值，且最大值为115万元，
所以当年产量为42千件时，该厂所获年利润最大，最大年利润115万元.
20. 已知幂函数在严格增，．
（1）求函数的解析式；
（2）求关于的不等式的解集（其中）；
（3）若在上恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由幂函数定义可知，再由在严格增，即可确定的值及的解析式；
（2）将不等式转化为，再根据和的大小关系分情况讨论即可得解；
（3）将条件转化为在上恒成立，当时，进一步转化为在上恒成立，再通过求二次函数在上的取值范围即可得解.
小问1详解】
因为是幂函数，所以，
即，解得或,
又因为在严格增，所以，所以；
【小问2详解】
由（1）可知，所以，
由，可得，
即，即.
因为方程的两根为和，
当时，不等式解得或；
当时，原不等式可化为，不等式解得；
当时，不等式解得或；
综上，当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或.
【小问3详解】
由（1）可知， 由可得，
即，即
若在上恒成立，
即①在上恒成立.
当时，①式可化为恒成立，此时；
当时，，
①式可化为，即在上恒成立.
设，，
因为在上单调递增，
所以，，
所以在上恒成立，需要.
综上可知，实数a的取值范围为.
21. 定义，且，例如.回答以下问题：
（1）若，求的最小值；
（2）若且，求的取值范围；
（3）函数定义域为，且满足，若恰有99个零点分别记作，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）把变形成，再利用基本不等式即可求解；
（2）利用和基本不等式消去中的和，再解关于的一元二次不等式即可；
（3）分析可知1是函数的零点，若是的零点，则也是的零点，则可令，再根据基本不等式即可求取值范围．
【小问1详解】
若，即，
则，
当且仅当取等号，
所以的最小值为.
【小问2详解】
若，即，所以，
因，
所以，解得，
所以的取值范围为.
【小问3详解】
因为函数定义域为，且满足，
令，则，
即，可知是函数的零点，
不妨设，
若是的零点，则，
则，即，可知也是的零点，
不妨令，
则，
由于，（由，即等号取不到），
可得，
所以的取值范围是．