2025年上海市奉贤中学高一上学期期中数学试卷及答案解析

这是一份2025年上海市奉贤中学高一上学期期中数学试卷及答案解析，共22页。试卷主要包含了 设集合，，则______．， 用反证法证明等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟满分150分）
一．填空题（本大题共12题，满分54分.其中第1-6题每题满分4分，第7-12题满分5分）
1. 设，将改写成指数形式为__________
2. 设集合，，则______．
3. 不等式的解集为__________
4. 已知全集，且，则实数的值为__________
5. 用反证法证明：“如果，可被5整除，则a，b至少有一个能被5整除”时应假设：___________
6. 若，，则=___________（用的代数式子表示）
7. 函数（且）的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则______.
8. 若，则不等式的解集为________．
9. 已知，，且，则的最小值为______.
10. 已知使为整数的数称为“企盼数”，则在区间内“企盼数”共有______个.
11. 某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库. 因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米.现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元；乙队给出的整体报价为元. 不考虑其他因素，若乙队要确保竞标成功，则实数的取值范围是__________
12. 已知定义在上且图像关于轴对称的函数，
满足对任意的实数都成立，且值域为.
设函数，若对任意的，存在，使得 成立，则实数的取值范围为__________
二．选择题（本大题共4题，满分18分，其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题
13. 设,则“”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件
14. 下列命题中正确的是（ ）
A. 当时函数的图像是一条直线.
B. 幂函数的图像都经过和点
C. 若幂函数 图像关于原点对称，则它在定义域上满足随的增大而增大
D. 幂函数图象不可能出现在第四象限
15. 航天之父､俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（）于1903年给出火箭最大速度的计算公式.其中，是燃料相对于火箭的喷射速度，是燃料的质量，是火箭（除去燃料）的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度.已知，则当火箭的最大速度可达到时，火箭的总质量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的质量的（ ）倍.
A. B. C. D.
16. 对于集合，给出如下三个结论：①如果，那么；②如果，那么；③如果，，那么.其中正确结论的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
三．解答题（本大题共5题，满分78分，其中第17-19题每题满分14分，第20-21题每题满分18分）
17. 已知函数是指数函数.
（1）该指数函数的图象经过点，求函数的表达式；
（2）解关于的不等式：.
18. 已知集合，
（1）当时，求
（2）若，求实数的取值范围．
19. 已知命题：“对任意，不等式”假命题.
（1）求实数的取值集合；
（2）设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
20. 已知函数
（1）若关于的不等式的解集是.求实数的值；
（2）若是关于方程的两个根，求的最小值；
（3）若，解关于的不等式
21. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”.
（1）判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由.
（2）若为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围；
（3）函数表示不超过的最大整数，如.若为的“2025重覆盖函数”，求正实数的取值范围.
参考答案及解析：
奉贤中学2025学年第一学期第一学程考试试卷
高一数学
（考试时间：120分钟满分150分）
一．填空题（本大题共12题，满分54分.其中第1-6题每题满分4分，第7-12题满分5分）
1. 设，将改写成指数形式为__________
【答案】
【解析】
【分析】根据分数指数幂与根式的关系结合指数幂运算法则计算即可.
【详解】.
故答案为：
2. 设集合，，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据交集的定义计算可得.
【详解】因为，，
所以.
故答案：
3. 不等式的解集为__________
【答案】或
【解析】
【分析】先移项，化简，两式相除大于0，等价于两式相乘大于0，解不等式即可.
【详解】不等式可化为.，
等价于，解得或，
所以原不等式解集为或.
故答案为：或
4. 已知全集，且，则实数的值为__________
【答案】或
【解析】
【分析】根据补集的定义求解.
【详解】因为全集，且，
所以，得或.
故答案为：或
5. 用反证法证明：“如果，可被5整除，则a，b至少有一个能被5整除”时应假设：___________
【答案】a，b都不能被5整除
【解析】
【分析】根据反证法的步骤填写即可.
【详解】“如果，可被5整除，则a，b至少有一个能被5整除”反证法应假设a，b都不能被5整除.
故答案为：a，b都不能被5整除.
6. 若，，则=___________（用的代数式子表示）
【答案】
【解析】
【分析】运用换底公式以及对数的运算性质即可求解.
【详解】，
故答案为：.
7. 函数（且）的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据对数的性质结合题意求出点的坐标，再点的坐标代入中求出，从而可求出的解析式.
【详解】因为函数（且）的图象恒过定点A，
所以点的坐标为，
设，则，得，
所以，
故答案为：
8. 若，则不等式的解集为________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出分段函数的解析式，再求不等式的解集.
【详解】时，，
时，， ，
∴
由得，，①或②
不等式组①无解；
不等式组②的解集为
综上，不等式的解集为.
故答案为：.
9. 已知，，且，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数运算得，然后利用基本不等式中“1”的代换技巧求解最值即可.
【详解】因为，所以，又，，
则，
当且仅当，即当且仅当时等号成立，
所以的最小值是.
故答案为：.
10. 已知使为整数的数称为“企盼数”，则在区间内“企盼数”共有______个.
【答案】
【解析】
【分析】利用对数的换底公式得出，然后令，得出，再由，可得出，可得出满足条件的整数的个数，从而得出满足条件的“企盼数”的个数.
【详解】，
令，则．
又，故、、、， ，
所以在区间内共有个“企盼数”.
故答案为.
【点睛】本题考查对数的运算，考查换底公式的应用，解题的关键就是对题中定义理解，考查运算求解能力，属于中等题.
11. 某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库. 因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米.现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元；乙队给出的整体报价为元. 不考虑其他因素，若乙队要确保竞标成功，则实数的取值范围是__________
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得甲工程队整体报价，由题意可得，分离参数根据对勾函数的性质确定函数单调性从而得最小值即可得实数的取值范围.
【详解】若仓库前面墙体的长为米，则左右两面墙宽度为，
则甲工程队整体报价为，
若乙队要确保竞标成功则，
所以，
则，
因为，所以函数，
当且仅当时，即时，函数有最小值，
故，
故，则，所以实数的取值范围是.
故答案为：.
12. 已知定义在上且图像关于轴对称的函数，满足对任意的实数都成立，且值域为.设函数，若对任意的，存在，使得 成立，则实数的取值范围为__________
【答案】
【解析】
【分析】先根据函数满足的关系式及奇偶性，值域，得到，再写出，在同一坐标系中画出两函数图象，结合当时，及时，的图象要位于的下方，得到，求出实数的取值范围.
【详解】变形为，
所以或，即或，
因为为偶函数，且值域为，
所以，
因为，所以，
在同一坐标系中画出两者的函数图象，如下图：
要想满足若对任意的，存在，使得成立，
则当时，，所以，
且时，的图象要位于的下方，
故只需，即，解得：，
综上：实数的取值范围是.
故答案为：
二．选择题（本大题共4题，满分18分，其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题
13. 设,则“”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由可推出同号,则根据分类讨论可得出,根据,两边同乘可得,即可选出选项.
【详解】解:由题知,则同号,
当时,有,
当时,有,
故能推出,
当成立时,又,
对不等式两边同时乘以可得,
故“”是“”的充分必要条件.
故选:C
14. 下列命题中正确的是（ ）
A. 当时函数的图像是一条直线.
B. 幂函数的图像都经过和点
C. 若幂函数 图像关于原点对称，则它在定义域上满足随的增大而增大
D. 幂函数的图象不可能出现在第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】求得函数的定义域，并化简该函数的解析式，可判断A选项的正误；取特殊值可判断B、C选项的正误；利用函数的定义与奇偶性可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，当时，函数的定义域为，
所以，函数图象是直线除去点，A选项错误；
对于B选项，幂函数不经过原点，B选项错误；
对于C选项，幂函数的图象关于原点对称，但函数在定义域内不单调，C选项错误；
对于D选项，由于正实数的任意次幂都为正数，所以，幂函数的图象不可能在第四象限，D选项正确.
故选：D.
15. 航天之父､俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（）于1903年给出火箭最大速度的计算公式.其中，是燃料相对于火箭的喷射速度，是燃料的质量，是火箭（除去燃料）的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度.已知，则当火箭的最大速度可达到时，火箭的总质量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的质量的（ ）倍.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将已知条件，代入中，转化为指数形式，计算的值即可求解.
【详解】由题意可知：，，
代入可得，
所以，可得，
可得，即，
所以，
所以火箭的总质量（含燃料）的质量是火箭（除去燃料）的质量的倍，
故选：A.
16. 对于集合，给出如下三个结论：①如果，那么；②如果，那么；③如果，，那么.其中正确结论的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】对于①，由集合M中元素性质结合即可判断；对于②，先得为偶数且不能被4整除，接着假设得，再根据和同奇或同偶分类讨论是否符合即可得解；对于③，依据，得存在使得，再计算得解.
【详解】对于①：因为，所以，故，故①正确；
对于②：因为，所以为偶数，且不能被4整除，
若，则存在，得，
因为和同奇或同偶，
若和同奇，则为奇数，矛盾，不符合，
若和同偶，则能被4整除，矛盾，不符合，
所以，故②正确；
对于③：因，，
所以存在使得，
所以，
因，所以，故③正确.
故选：D.
三．解答题（本大题共5题，满分78分，其中第17-19题每题满分14分，第20-21题每题满分18分）
17. 已知函数是指数函数.
（1）该指数函数的图象经过点，求函数的表达式；
（2）解关于的不等式：.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）把代入见解析，结合指数函数的定义可得答案；
（2）利用指数函数的单调性解不等式可得答案.
【小问1详解】
因为指数函数的图象经过点，所以，
解得，所以；
【小问2详解】
因为是单调递减函数，由得，
解得，
所以不等式的解集为.
18. 已知集合，
（1）当时，求
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）确定集合，再根据交集的定义求解；
（2）根据，得，求解即可.
【小问1详解】
，
当时，，
所以
【小问2详解】
，根据，
则，即，
所以实数的取值范围为.
19. 已知命题：“对任意，不等式”是假命题.
（1）求实数的取值集合；
（2）设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据假命题的否定是真命题，转换成不等式有解可得答案；
（2）求解一元二次不等式，再根据题意可得是的真子集，求解实数的取值范围.
【小问1详解】
命题：“对任意，不等式”是假命题，
则命题：“，不等式”是真命题，
所以，
令，作出图象，

可得，所以，即实数的取值集合；
【小问2详解】
不等式，
因为，所以解集，
因为是的充分不必要条件，得是的真子集，
所以，则实数的取值范围.
20. 已知函数
（1）若关于的不等式的解集是.求实数的值；
（2）若是关于的方程的两个根，求的最小值；
（3）若，解关于的不等式
【答案】（1）
（2）4 （3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用韦达定理即可求解，
（2）由韦达定理以及基本不等式即可求解，
（3）因式分解，对分类讨论，即可结合一元二次不等式的解的形式求解.
【小问1详解】
由题意：方程的两根为，且
所以.
所以.
【小问2详解】
由韦达定理可得：，
所以.
因为，所以，（当且仅当时取“=”）.
又当时，方程为，因为，所以方程有两个根.
所以的最小值为4.
【小问3详解】
当时，由可化为：.
因为，若，则原不等式可化为：；
若，
当时，的两根为
①当时，原不等式的解集为；
②当时，原不等式的解集为；
③当时，原不等式的解集为；
综上可知：
①当时，原不等式的解集为；
②当时，原不等式解集为；
③当时，原不等式的解集为；
④当时，原不等式的解集为；
21. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”.
（1）判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由.
（2）若为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围；
（3）函数表示不超过的最大整数，如.若为的“2025重覆盖函数”，求正实数的取值范围.
【答案】（1）是，1 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据定义，结合单调性即可求解；
（2）先求出的值域，然后将问题转化为的图象与直线有两个交点的问题，然后对a进行分类讨论可得；
（3）作出的图象，结合图象可解.
【小问1详解】
由定义可得，对任意，恰好存在个不同的实数
，使得（其中），
即，
，且为增函数，
对于任意，都有唯一一个，使得，
是的“重覆盖函数”，；
【小问2详解】
可得的定义域为，
即，存在2个不同的实数，使得，其中，
，
，即，
即对任意有2个实根，
当时，已有一个根，故只需时仅有1个根.
当时，，符合题意，
当时，若对称轴，
，且，
在上单调递减，上单调递增，
则一定存在使得有两个根，舍去；
若对称轴，则无解，舍去；
若对称轴，则在上必须单调递减，且，
，解得；
当时，对称轴，
且，
时，，无解；
当时，单调递减且，
因此仅有1个根，符合题意.
综上，实数的取值范围是；
【小问3详解】
当时，；
当时，，其中为双勾函数，
该函数在上为减函数，在上为增函数，
故，故，故
对于任意要有2025个根，
，
作出函数的图像，如下图：
的第2025段为，
令，得，
要使有2025个根，需，
又，解得，
所以正实数的取值范围.