2025年上海市华二附中高一上学期期中数学试卷及答案解析

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这是一份2025年上海市华二附中高一上学期期中数学试卷及答案解析，共16页。试卷主要包含了11，若，则_______等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1. 集合可用列举法表示为_______．
2. 不等式的解集为_______．
3. 若是偶函数，则_______．
4. 若，则_______（填“>”或“”或“
【解析】
【分析】根据不等式的性质即可得到答案.
【详解】因为且，利用不等式性质得，
故答案为：>.
5. 已知全集，集合，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据补集的概念求解.
【详解】根据题意得.
故答案为：.
6. 已知函数和的部分取值如表所示．则_______．
【答案】10
【解析】
【分析】根据表格求出对应函数值即可.
【详解】当时，，则.
故答案为：10
7. 已知方程的两个根为、，则_______．
【答案】4
【解析】
【分析】应用根与系数关系及，即可求值.
【详解】由题设，，则.
故答案为：4
8. 满足的集合M的个数为_____个.
【答案】3
【解析】
【分析】通过列举法即可求解.
【详解】由题意可知：可以是：
，，共3个，
故答案为：3.
9. 函数的定义域为_______．
【答案】
【解析】
【分析】应用根式、分式的性质求函数定义域.
【详解】由解析式知，可得且，故定义域为.
故答案：
10. 已知或，或．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】将问题转化为两个集合之间的包含关系，然后再利用集合的包含关系列出不等式组，解不等式组即可求解.
【详解】设集合，集合，
由题意可知集合是集合的真子集，
所以，解得，得，
当时，，不满足题意，故，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
11. 设，．已知定义在上的两个函数和具有相同的最大值，则的最大值为_______．
【答案】3
【解析】
【分析】由对勾函数的性质求得上最大值为5，再由二次函数的性质及分类讨论研究的最值得到参数关系，进而求的最大值.
【详解】由在上单调递减，在上单调递增，且或4时，
根据二次函数的性质知，的图象开口向上且对称轴为，
而，且，
当时，，则，此时，
所以，当且仅当时取等号；
当时，，则，此时，
所以；
综上，当时最大
故答案为：3
12. 已知，，则的最小值是___
【答案】##
【解析】
【分析】应用换元法，结合基本不等式求目标式的最小值，注意取值条件.
【详解】由题设，原式，
当且仅当，即，时取等号，故目标式的最小值为.
故答案为：
二、选择题
13. 若集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知集合判断元素与集合、集合与集合间的关系，即可得.
【详解】由，则，，.
故选：C
14. 若函数的定义域为，则实数a不可能等于（）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】问题化为在上恒成立，结合二次函数的性质求参数范围，即可得.
【详解】由题意，在上恒成立，显然时不等式恒成立，
当时，情况如下：
若，此时不等式为在上不恒成立，
若，则，可得.，
综上，.
故选：D
15. 已知，则“”是“”的（）条件
A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要
【答案】B
【解析】
【分析】通过举例子得到充分性不成立，对进行化简得到从而证明必要性成立，再利用必要非充分条件的判定方法即可得到答案.
【详解】充分性：当时，此时，，等式不成立，
故不能保证成立，充分性不成立.
必要性：当时，两边同时平方得：，
即，即，故能推出，故必要性成立.
综上，是的必要非充分条件.
故选：B.
16. 设，已知A、B是两个数集．若对任意，都存在，使得，则称A是B的一个“邻集”．有下列两个命题：①是Q的一个邻集；②若A是B的一个邻集，则B也是A的一个邻集．则（）
A. ①真②假B. ①假②真C. ①真②真D. ①假②假
【答案】A
【解析】
【分析】根据邻集的定义，并应用反例判断各命题的正误，即可得.
【详解】由于任意实数均可被有理数逼近，故①真；
注意到邻集的定义关于A，B不对称，如，时，A是B的一个邻集，而B不是A的一个邻集，故②假.
故选：A
三．解答题
17. 已知，集合．
（1）若，求k的值；
（2）若，求k的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用交集的结果求解.
（2）利用并集的结果，结合集合的包含关系列式求解.
【小问1详解】
集合，，则，解得，
所以k的值为4.
【小问2详解】
由，得，
当时，，解得；
当时，，解得，
所以k的取值范围是.
18. 已知，关于x的不等式的解集为开区间A．
（1）若，求a、b的值；
（2）若，求A．
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据已知有是的两个根，利用根与系数关系求参数值；
（2）问题化为不等式与不等式解集相同，进而求出参数值，代入集合中的不等式求集合.
【小问1详解】
由已知是两个根，则；
【小问2详解】
由，可得，
所以不等式与不等式解集相同，
所以，所以.
19. 已知函数，的图像如图所示．
（1）写出函数的解析式；
（2）若对一切恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据图象，分类讨论依次求出不同区间上的解析式，进而写出函数解析式的分段形式；
（2）由题图有，即，进而有，再列不等式求参数范围.
【小问1详解】
由图象，时，
时，函数图象对应为直线的一部分，
且该直线过点，所以，可得，则，
时，函数图象对应为直线的一部分，
且该直线过点，所以，可得，则，
综上，；
【小问2详解】
如图及（1）中解析式，得时有，故．
因此，解得.
20. 设，记．
（1）若是上的奇函数，求a的值；
（2）若，解关于x的不等式；
（3）若满足不等式的x的最大值为0，求a的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的性质求参数值即可；
（2）根据已知，不等式等价于且，求解集；
（3）由题设有，从而有，再应用分类讨论，结合不等式性质及反证思想求参数值.
【小问1详解】
因是R上的奇函数，故，得，
所以的定义域R，
对任意，，
即是R上的奇函数，故；
【小问2详解】
当时，，
所以等价于且，
所以且，则或或，
所以；
【小问3详解】
由题意，必有，故，
若，则，且，矛盾，
若，设，，则，
从而，矛盾，
当时，对任意，．
综上，.
21. 已知．设，．
（1）当时，用定义证明：在上是严格减函数；
（2）若在区间上是严格减函数，求的取值范围；
（3）若集合恰有个元素，求的所有可能取值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用函数单调性定义进行证明即可；
（2）由题意得函数在区间上是严格减函数，从而得到或求出的取值范围，在验证在此条件下在区间上是严格减函数；
（3）令，，
则从而，再按，和三种情况分类求解得到答案.
【小问1详解】
当时，．
对任意，．
由三角不等式得，故．
即函数在R上严格减．
【小问2详解】
在区间上是严格减函数，
所以在区间上是严格减函数，
因此函数也在区间上是严格减函数．
从而，或
对前者，解得；对后者，解得．综上，为所求．
（另一方面，当时，同（1）可证函数在R上严格减，进而满足条件．
而当时，由于二次函数的对称轴为，
而，故在区间上严格减，
从而在区间上也严格减）
【小问3详解】
令，，
则，
从而．
由且知，关于的方程，无公共根．
①当时，方程，均有两异号实根，
得到的元素个数为4，不合要求．
②当时，同（1）可证在上严格减，
得到的元素个数为2，不合要求．
③当时，注意的判别式，
故方程总有两相异实根．
从而的判别式只能为0．解得.
1
2
3
6
9
10
2
3
4
1
2
3
6
9
10
2
3
4