2025年上海市实验中学高一上学期期中数学试卷及答案解析

这是一份2025年上海市实验中学高一上学期期中数学试卷及答案解析，共23页。试卷主要包含了11等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共10小题，每小题4分，答案正确得4分，否则不得分）
1. 已知集合，若，则实数的值是__________
2. 用反证法证明“若，则或”这个命题时，可以先假设该命题的结论不成立，即________．
3. 不等式的解集是_________.
4. 如图是四个幂函数的部分图像，已知取、2、、这四个值，则与对应的曲线为________．（从、、、中选择一个填写）
5. 已知实数满足，则________．
6. 已知，，则用、表示________．
7. 已知集合，记，若集合有且仅有8个子集，那么的取值范围是________．
8. 设集合，并定义集合，集合，那么满足但的元素的个数为________．
9. 已知，，若对任意和任意，都有恒成立，则实数的取值范围是________．
10. 、为正实数，若，，则的最小值为________．
二、选择题（本大题共4小题，每小题4分）
11. 若，则“”是“”的（ ）条件
A. 充分非必要B. 必要非充分
C. 充要D. 既非充分也非必要
12. 维恩（Venn）图是辅助研究复杂集合关系的重要工具．已知全集，集合、为的子集，满足，，，则下列判断正确的是（ ）
A. ，B. ，C. ， D. ，
13. 中国的5G技术领先世界，在5G技术中，最大数据传输速率取决于信道带宽，与满足，其中称为信噪比（单位：）．若不改变带宽，初始信噪比为1000，那么为了使增加，需要将信噪比从1000提升至大约（ ）
A. 5000B. 6000C. 7000D. 8000
12. 维恩（Venn）图是辅助研究复杂集合关系的重要工具．已知全集，集合、为的子集，满足，，，则下列判断正确的是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
13. 中国的5G技术领先世界，在5G技术中，最大数据传输速率取决于信道带宽，与满足，其中称为信噪比（单位：）．若不改变带宽，初始信噪比为1000，那么为了使增加，需要将信噪比从1000提升至大约（ ）
A. 5000B. 6000C. 7000D. 8000
14. 设a、b、c、p为实数，若同时满足不等式、与全体实数x所组成的集合等于.则关于结论：①a、b、c至少有一个为0；②.下列判断中正确的是（ ）
A. ①和②都正确B. ①和②都错误
C. ①正确，②错误D. ①错误，②正确
三、解答题（本大题共4小题，要求写出必要的解答或证明步骤）
15. 设集合，集合．
（1）试用区间表示集合；
（2）若，求的取值范围．
16. 设
（1）当，时，解不等式；
（2）若不等式的解集为，求、的值．
17. 如图，，是两条长度足够长的互相垂直的笔直小路，矩形的顶点，分别在，上，且该矩形区域内种满了荷花．为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点修一条小路，其中点在小路上，点在小路上，并在区域内种满荷花．已知，且小路要完全位于一个以为顶点的，边长为的正方形内部（包括边界）．记的面积为．

（1）设，试用表示，并写出的取值范围．
（2）当的长度为多少时，取得最小值？最小值是多少？
18. 设．
（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；
（2）当时，设有两个实根，，若，求的取值范围；
（3）当时，给出命题：存在使，以及命题：任意使0．若为真命题且为假命题，求的取值范围．
四、附加题（本大题共2小题，要求写出必要的解答或证明步骤）
19. 已知两个函数，，．
（1）若对任意恒成立，求实数的取值范围；
（2）设，，求和的值域．
20. 已知为自然数集的子集，将从小到大排序后依次记为，定义是由，，，为元素组成的集合，给定正整数m，若，则称A为连续生成数集．
（1）判断是否为连续生成数集？说明理由；
（2）数集是否为连续生成数集？说明理由；
（3）若数集为连续生成数集，求正整数最大值．
参考答案及解析：
上实验2025-2026学年第一学期高一年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共10小题，每小题4分，答案正确得4分，否则不得分）
1. 已知集合，若，则实数的值是__________
【答案】
【解析】
【分析】由，分，两种情况讨论，结合集合中元素的互异性分析，即得解
【详解】由题意，
（1）若，则，和集合中元素的互异性矛盾，不成立；
（2）若，则，由（1）
若，则，，成立
故实数的值是
故答案为：
2. 用反证法证明“若，则或”这个命题时，可以先假设该命题的结论不成立，即________．
【答案】且
【解析】
【分析】根据反证法步骤，否定结论即可.
【详解】先假设该命题的结论不成立，即假设“且”.
故答案为：且.
3. 不等式的解集是_________.
【答案】
【解析】
【分析】由不等式得，所以，等价于，解之得所求不等式的解集.
【详解】由不等式得，即，所以，此不等式等价于 ，解得或，
所以不等式的解集是：，
故填：.
【点睛】本题考查分式不等式的解法，一般的步骤是：移项、通分、分解因式、把每个因式未知数的系数化成正、转化为一元二次不等式或作简图数轴标根、得解集，属于基础题.
4. 如图是四个幂函数的部分图像，已知取、2、、这四个值，则与对应的曲线为________．（从、、、中选择一个填写）
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的图象特征即可求解.
【详解】当时，幂函数在上单调递增；
当时，幂函数在上单调递减；
且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大.
因为，所以与对应的曲线为.
故答案为：.
5. 已知实数满足，则________．
【答案】
【解析】
分析】由可得.
【详解】因为，所以.
故答案为：.
6. 已知，，则用、表示________．
【答案】
【解析】
【分析】根据换底公式及对数的运算性质求解即可.
【详解】.
故答案为：.
7. 已知集合，记，若集合有且仅有8个子集，那么的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】由集合有且仅有8个子集，可知集合中有且仅有个元素，即不等式有且仅有3个整数解，由此分类讨论可得的取值范围.
【详解】由题可知集合中有且仅有个元素.
所以A不能为空集，则，且有且仅有3个整数解.
当时，；
当时，；
当时，集合中至少有五个元素，不合题意.
综上所述，的取值范围是.
故答案为：.
8. 设集合，并定义集合，集合，那么满足但的元素的个数为________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可求出，
【详解】由题可得，解得，则，
由，设，则，所以，又因为，，所以，
因为共个相同元素，
所以满足但的元素的个数为个.
故答案为：.
9. 已知，，若对任意和任意，都有恒成立，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】求出的最小值为3，的最大值为.由题可知，的最小值大于的最大值，由此求得实数的取值范围.
【详解】因为，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以的最小值为3.
因为，所以的最大值为.
若对任意和任意，都有恒成立，则，即.
解得.
所以，实数的取值范围是.
故答案为：.
10. 、为正实数，若，，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】由条件得到，再令，得到，，结合基本不等式求得即可求解.
【详解】由，得，
所以，
令，则，
所以，
且，且，
解得：，即，当且仅当，即时取等号，
所以，
即的最小值为2，
故答案为：2
二、选择题（本大题共4小题，每小题4分）
11. 若，则“”是“”的（ ）条件
A. 充分非必要B. 必要非充分
C. 充要D. 既非充分也非必要
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的性质，结合充分性和必要性的定义进行判断即可.
【详解】由，
因此由可以推出，
但是当时，显然成立，但是不成立，
因此由不一定能推出，
因此“”是“”的充分非必要条件，
故选：A
12. 维恩（Venn）图是辅助研究复杂集合关系的重要工具．已知全集，集合、为的子集，满足，，，则下列判断正确的是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】结合Venn图，逐项判断即可.
【详解】由题意画出Venn图，如下：

对于A：若，，则不符合题意；
对于C：若，，则，不符合题意；
对于D：若，，则，不符合题意；
对于B：经验证符合题意，
故选：B
13. 中国的5G技术领先世界，在5G技术中，最大数据传输速率取决于信道带宽，与满足，其中称为信噪比（单位：）．若不改变带宽，初始信噪比为1000，那么为了使增加，需要将信噪比从1000提升至大约（ ）
A. 5000B. 6000C. 7000D. 8000
【答案】D
【解析】
【分析】结合题意，借助对数运算法则计算即可得.
【详解】由题意可得，
即有，
即.
故选：D.
14. 设a、b、c、p为实数，若同时满足不等式、与的全体实数x所组成的集合等于.则关于结论：①a、b、c至少有一个为0；②.下列判断中正确的是（ ）
A. ①和②都正确B. ①和②都错误
C. ①正确，②错误D. ①错误，②正确
【答案】A
【解析】
【分析】分类讨论研究一元二次不等式的解集即可.
【详解】由题意知，、、三个都不小于0，
对于①，若、、，则由二次函数的图象与性质可得，
必定存在，使得三个不等式均成立，
不符合题意，所以“、、至少有一个为0”是正确的.
对于②，由题意知，、、三个都不小于0，
当，，时，解集为R，解集为，解集为，所以三个集合交集为；
当，，时，解集为，解集为，解集为R，所以三个集合交集为；
当，，时，解集为，解集为，解集为R，所以三个集合交集为；
同理可得：当，，时，当，，时，当，，时，三个集合交集也是；
当，，时，
若有两个不同的根，设的两根为、，则，，所以且，所以解集为或，
只有一个根时，解集为，
无根时，解集为R，
所以集合的交集为，与题意不符，
综述： 、、中有一个为0且另外两个大于0或、、中有两个为0且另外一个大于0，.
故选：A.
三、解答题（本大题共4小题，要求写出必要的解答或证明步骤）
15. 设集合，集合．
（1）试用区间表示集合；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求解不等式，得，根据区间的定义知；
（2）由，知.分和两种情况进行分析，可求得的取值范围.
【小问1详解】
由，得，所以.
所以.
【小问2详解】
若，则.
当，即时，，满足题意；
当，即时，要使，须使，解得.
综上所述，的取值范围是.
16. 设
（1）当，时，解不等式；
（2）若不等式的解集为，求、的值．
【答案】（1）
（2）或，
【解析】
【分析】（1）代入，分和讨论解不等式即可；
（2）由不等式解集和方程关系可知则的两根为或，则或，再解方程组检验即可．
【小问1详解】
，，，即，
当时，不等式恒成立，
当时，或，
解得或，
综上，不等式的解集为或；
【小问2详解】
不等式的解集为，
则的两根为或，
或，
解得或，
当时，不等式的解集为，符合题意，
又时，，也符合题意，
所以或．
17. 如图，，是两条长度足够长的互相垂直的笔直小路，矩形的顶点，分别在，上，且该矩形区域内种满了荷花．为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点修一条小路，其中点在小路上，点在小路上，并在区域内种满荷花．已知，且小路要完全位于一个以为顶点的，边长为的正方形内部（包括边界）．记的面积为．

（1）设，试用表示，并写出的取值范围．
（2）当的长度为多少时，取得最小值？最小值是多少？
【答案】（1）；
（2）当时，S取得最小值，为2000.
【解析】
【分析】（1）利用三角形相似，根据相似比得，再由及其范围列不等式求范围；
（2）根据已知有，应用基本不等式求最小值，并确定取值条件，即可得.
【小问1详解】
依题意，
得，所以，即，得，
所以，
所以，解得；
综上
【小问2详解】
由，
所以，
由基本不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立，
故时，取得最小值，为2000.
18. 设．
（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；
（2）当时，设有两个实根，，若，求的取值范围；
（3）当时，给出命题：存在使，以及命题：任意使0．若为真命题且为假命题，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意可得恒成立，分类讨论可求得的取值范围；
（2）由题意得有两个根为，且，进而利用根与系数的关系，计算可求得的取值范围；
（3）根据题意，可求得不恒成立的的取值范围即可.
【小问1详解】
当时，函数为：，
不等式恒成立，即：恒成立，
当时，不等式变为，恒成立，符合题意；
当时，由恒成立，
可得，解得；
综上，的取值范围为.
【小问2详解】
当时，函数为：，
方程为：，即；
设方程的两个根为，且，
解得：或，由根与系数的关系得，
由，所以，，
所以，，解得
由，可得，
所以，
所以，两边平方得，
整理得，所以，
所以或，
综上所述：的取值范围.
【小问3详解】
当时，，
是一个开口向上的抛物线，其最小值为：，
所以 的取值范围为 .
由存使，则存在 使得 ，
令，则，因为也是开口向上的抛物线，
若，即时，，
若，即，解得（舍去）或，
即时，恒成立，
当时，存在，
当，即时，最小值为，
若为真命题且为假命题，则存在使，所以．
所以的取值范围为．
四、附加题（本大题共2小题，要求写出必要的解答或证明步骤）
19. 已知两个函数，，．
（1）若对任意恒成立，求实数的取值范围；
（2）设，，求和的值域．
【答案】（1）
（2）的值域为
若，的值域为；若，的值域为；若，的值域为.
【解析】
【分析】（1）由题可知，对任意恒成立，构造函数，讨论其单调性，分析其最小值，即可求得实数的取值范围；
（2）由题可得，所以的值域为.，借助（1）的分析，分类讨论的值域.
小问1详解】
若对任意恒成立，则对任意恒成立，
令，则恒成立.
当，即时，，
所以恒成立，所以；
当，即时，，
所以恒成立，所以；
当，即时，恒成立，满足题意.
综上所述，实数的取值范围是.
【小问2详解】
因为，
所以，
因为，故，
所以的值域为.
因为，
由，得.
由（1）知：
若，当，即时，，，此时的值域为；
若，对任意恒成立，此时的值域为；
若，当，即时，，，此时的值域为.
所以，或时，的最小值为时的值.
综上所述，若，的值域为；
若，的值域为；
若，的值域为.
20. 已知为自然数集的子集，将从小到大排序后依次记为，定义是由，，，为元素组成的集合，给定正整数m，若，则称A为连续生成数集．
（1）判断是否为连续生成数集？说明理由；
（2）数集是否为连续生成数集？说明理由；
（3）若数集为连续生成数集，求正整数的最大值．
【答案】（1）不是，理由见解析
（2）不是，理由见解析
（3）7
【解析】
【分析】（1）根据连续生成数集的定义判断即可；
（2）根据连续生成数集的定义判断即可；
（3）先证是连续生成数集，进而，再证不是连续生成数集，即可求解正整数最大值.
【小问1详解】
，，
∵，∴不是连续生成数集.
【小问2详解】
若为连续生成数集，则，
又中最多有10个元素，
则，从而，
∴，
即，
∵，∴为偶数，
而55为奇数，不能成立，
∴数组不是连续生成数集.
【小问3详解】
当时，，，，，，，，是连续生成数集，所以，
∵中至多有10个元素，∴，
假设是连续生成数集，不妨设 ，
当时，中至多有7个元素，不成立，
若，因为是中最小的元素，此时，不成立，
因此必有，为使，必有，
此时，，所以，，
∵中至多有10个元素，，
∴，
，
即不成立.
∴假设不成立，不是连续生成数集.
假设是连续生成数集，则是连续生成数集，矛盾，
所以假设不成立.结合（2）结论，可知的最大值为7.