北师大版（2024）八年级上册（2024）第一章 勾股定理2 一定是直角三角形吗同步练习题

这是一份北师大版（2024）八年级上册（2024）第一章 勾股定理2 一定是直角三角形吗同步练习题，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知△ABC的三边长分别是3cm、4cm、5cm，则△ABC的面积是（ ）
A．6cm2B．15cm2C．24cm2D．10cm2
2．如图，图中小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，则是（ ）

A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法判断
3．如图4，在单位正方形组成的网格图中标有、、、四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）．
A．、、B．、、
C．、、D．、、
4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC于点E．AB=，AO=1，BD=4，则AE的长为（）
A．B．C．D．
5．如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．则这块草坪的面积是（ ）
A．B．C．D．
6．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成，其中 ，现把图2中的直角三角形继续作下去如图3所示，若 的值是整数，且1≤n≤30，则符合条件的n有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．已知的一边，另两边长分别是3，4，若是边上异于，的一点，过点作直线截，截得的三角形与原相似，满足这样条件的直线有（ ）条
A．4B．3C．2D．1
8．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，求的最小值为（ ）
A．5B．4.8C．2.4D．4
二、填空题
9．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这个三角形是直角三角形．（直角三角形的判定）
10．已知三角形三边长分别是8，15和17，则三角形的面积是 ．
11．如图，在四边形中，点分别是边的中点，，，则 °．
12．如图，矩形中，，，以点为中心，将矩形旋转得到矩形，使得点落在边上，则的度数为 ．
三、解答题
13．如图，哪些三角形是直角三角形，哪些不是？说说你的理由．
14．已知a，b，c是的三边长，，且，试判断的形状．
15．如图，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5，动点P从点B出发沿射线BC以每秒1个单位的速度移动，设运动的时间为t．
(1)求△ABC为直角三角形；
(2)若△ABP为直角三角形，求出t的值（写出证明过程）；
(3)若△ABP为等腰三角形，直接写出t的值（不必写出证明过程）．
《一定是直角三角形吗》参考答案
1．A
【分析】根据勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，然后根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵△ABC的三边分别是3cm，4cm，5cm，
又∵，
∴△ABC是直角三角形，且边长为3cm和4cm的边为两条直角边，
∴．
故选A．
【点睛】此题考查的是直角三角形的判定和求三角形的面积．掌握利用勾股定理的逆定理判定直角三角形是解决此题的关键．
2．A
【分析】先根据勾股定理求出各边的长，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状即可．
【详解】解：由图形可知：；；，
∴，
∴是直角三角形．
故选：A．
【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
3．B
【分析】设出正方形的边长，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形．
【详解】解：设小正方形的边长为1，
则AB2=22+22=8，CD2=22+42=20，
EF2=12+22=5，GH2=22+32=13．
因为AB2+EF2=GH2，
所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH．
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知每条边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
4．D
【分析】根据边之间的关系和勾股定理的逆定理得是直角三角形，，在中，根据勾股定理得，利用三角形的面积即可得．
【详解】解：∵BD=4，
∴，
∵，
，
∴是直角三角形，，
∵AO=1，
∴AC=2，
在中，根据勾股定理得，
，
∵，
∴
，
故选D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握这些知识点．
5．A
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．解题的关键是在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．体会数形结合的思想的应用．连接，根据勾股定理，求得，再根据勾股定理的逆定理，判断是直角三角形．这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和．
【详解】解：连接，如图，
，
，
米，米，
米，
米，米，
，
为直角三角形，
这块草坪的面积，
故选：A．
6．C
【分析】利用勾股定理可求出OA2，OA3，OA4，即可得到OA3·OAn=，再根据OA3·OAn是整数及1≤n≤30，由此可求出n的值的个数．
【详解】由题意得
；
；
；
∵ 1≤n≤30，
∴OA3·OAn的值是整数，
∴·OAn的值可以是，，
是整数的有3个．
故答案为：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用；探索图形规律，找到规律是解题的关键．
7．B
【分析】由，另两边长分别是3，4，可知△ABC是直角三角形，过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．
【详解】解：如图，
∵，另两边长分别是3，4，
又∵，
∴，即△ABC是直角三角形，
∵过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，
∴只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似，
∴过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线．
故选：B．
【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理、三角形相似判定定理及其运用，解题时运用了两角法（有两组角对应相等的两个三角形相似）来判定两个三角形相似．
8．B
【分析】本题考查勾股定理逆定理，垂线段最短，矩形的判定和性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．连接，利用勾股定理逆定理推出，证明四边形为矩形，进而得到，结合垂线段最短得到当于点时，最小，即最小，再结合等面积法求解，即可解题．
【详解】解：连接，
在中，，，，
又，即，
，
于E，于F，
，
四边形为矩形，
，
当于点时，最小，即最小，
有，
故选：B．
9．a2+b2=c2
【解析】略
10．60
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，先根据勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，再利用直角三角形面积公式求解．
【详解】解：∵三角形的三边长分别是8、15、17， ，
∴这个三角形为直角三角形，
∴这个三角形的面积是．
故答案为：60．
11．142
【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、勾股定理逆定理、角的和差等知识点，掌握三角形中位线定理及勾股定理逆定理成为解题的关键．
如图，连接，由三角形的中位线定理可得，再根据勾股定理逆定理可得，最后根据角的和差即可解答．
【详解】解：如图，连接，
∵点分别是边的中点，
，
，
，
，
，
．
12．90
【分析】根据旋转的性质和矩形的性质可得CD=C'D=AB=AB'=3，A'D=AD=BC=B'C'=4，由勾股定理可求AC=AC'的长，延长C'B'交BC于点E，连接CC'，由勾股定理求出CC'的长，最后由勾股定理逆定理判断是直角三角形即可．
【详解】解：∵将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转90°，得到矩形AB′C′D′，
∴CD=C'D=AB=AB'=3，A'D=AD=BC=B'C'=4，
∴
延长C'B'交BC于点E，连接CC'，如图，
则四边形是矩形
∴
∴
∴
而
∴
∴是直角三角形
∴
故答案为：90
【点睛】本题考查勾肥定理、旋转的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，
13．④⑤是直角三角形，①②③⑥不是直角三角形．理由见解析
【分析】先根据勾股定理求出各三角形的三边长的平方，再由勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】解：①由勾股定理可知，三角形的三边长的平方分别为22+22=8，12+22=5，9，
∵8+5≠9，故不是直角三角形；
②由勾股定理可知，三角形的三边长的平方分别为12+32=10，32+42=25，9，
∵10+9≠25，故不是直角三角形；
③由勾股定理可知，三角形的三边长的平方分别为12+22=5，12+32=10，12+42=17，
∵5+10≠17，故不是直角三角形；
④由勾股定理可知，三角形的三边长的平方分别为12+32=10，12+32=10，22+42=20，
∵10+10=20，故是直角三角形；
⑤由勾股定理可知，三角形的三边长的平方分别为32+22=13，12+52=26，22+32=13，
∵13+13=26，故是直角三角形；
⑥由勾股定理可知，三角形的三边长的平方分别为32+22=13，12+32=10，12+42=17，
∵13+10≠17，故不是直角三角形．
故④⑤是直角三角形，①②③⑥不是直角三角形．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
14．直角三角形
【分析】本题主要考查的就是比例的性质以及直角三角形的判定．设，可以根据求得k的值，进而求得a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理，即可判断的形状，
【详解】解：设，
则，，．
因为，
所以．解得．
所以，，．
因为，，
所以．
所以为直角三角形．
15．(1)见解析
(2)当为直角三角形时， 或；
(3)当为等腰三角形时，或或．
【分析】（1）根据勾股定理逆定理进行计算，即可解答；
（2）若为直角三角形，由题意知BP=t，①当为直角时，点P与点C重合，即可得t的值，②当为直角时，CP=t-3，在中，根据勾股定理得出，在，根据勾股定理即可得t的值；
（3）若为等腰三角形时，由题意知BP=t，①当时，即可得，②当时，根据可得t的值，③当BP=AP时，，，在中，根据勾股定理即可得．
【详解】（1）在△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5，
∵，
∴△ABC为直角三角形；
（2）若为直角三角形，由题意知BP=t，
①如图1所示，当为直角时，点P与点C重合，
BP=BC=3，t=3，
②如图2所示，当为直角时，CP=t-3，
在中，根据勾股定理，
，
在，根据勾股定理，
，
即
，
综上，当为直角三角形时， 或；
（3）若为等腰三角形时，由题意知BP=t，
①如图3所示，当时，，
②如图4所示，当时，
∵，
∴，
∴，
③如图5所示，当BP=AP时，，，
在中，根据勾股定理，
，
即
，
综上，当为等腰三角形时，或或．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握勾股定理和等腰三角形的性质．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
A
A
B
D
A
C
B
B