初中数学3. 反证法第1课时综合训练题

这是一份初中数学3. 反证法第1课时综合训练题，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．用反证法证明“如果，那么”时，应先假设（ ）
A．B．C．D．
2．用反证法证明：已知a，b，c是同一平面内的三条不同直线，如果，a与c相交，那么b与c相交．应先假设（ ）
A．a与b相交B．a与c平行C．b与c垂直D．b与c平行
3．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（ ）
A．两锐角都大于B．有一个锐角小于
C．有一个锐角大于D．两锐角都小于
4．用反证法证明“在四边形中，至少有一个内角不大于90°”时，应假设（ ）
A．四边形中有一个内角小于90°B．四边形中每一个内角都小于90°
C．四边形中有一个内角大于90°D．四边形中每一个内角都大于90°
5．用反证法证明命题“等腰三角形的一个底角小于”时，第一步应假设（ ）
A．等腰三角形的底角大于
B．等腰三角形的底角等于
C．等腰三角形的底角小于
D．等腰三角形的底角大于或等于
6．用反证法证明“一个三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，应假设（ ）
A．一个三角形中至少有一个角是直角或钝角
B．一个三角形中至少有两个角是直角或钝角
C．一个三角形中至多有一个角是直角或钝角
D．一个三角形中没有一个直角或钝角
7．牛顿高度评价反证法在数学证明中的关键作用，认为“反证法是数学家最精当的武器之一”，用反证法证明“在中，若，则”时，应先假设（ ）
A．B．C．D．
8．用反证法证明命题：“如果，那么”．如图，若假设b与c相交于点P，则需要推出的矛盾为（ ）
A．两点确定一条直线
B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．同位角相等，两直线平行
9．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①因此假设不成立．
②，这与三角形内角和为矛盾
③假设在中，
④由，得，即．
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①②B．①②③④C．③④②①D．③④①②
10．如图，在等边三角形中，、分别在、上，连接、交于，连接交于点．有下列两个命题：
①如果，那么为中点；
②如果，那么．
对于这两个命题判断正确的是（ ）
A．①②都是真命题；B．①是真命题，②是假命题；
C．①是假命题，②是真命题；D．①②都是假命题．
二、填空题
11．用反证法证明“已知，求证：”时，第一步应假设．
12．阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成问题．
证明：假设是有理数，
那么存在两个互质的正整数、，使得，于是，
∴______
∵是偶数，可得是偶数．
∵只有偶数的平方才是偶数，∴也是偶数．
∴可设，代入，得______．可得______
∴______．这样，和都是偶数，不互质，这与假设，互质矛盾．
这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数．
将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是．（填上序号）
①； ②； ③是偶数； ④．
13．阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成问题．
证明：假设是有理数，
那么存在两个互质的正整数，，使得，则___________．
是2的倍数，
____________________，
可设（为正整数），则，
_____________，即，
__________________，
，都是2的倍数，不互质，与假设矛盾．
因此假设不成立，即不是有理数．
将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是．（填上序号）
①； ②； ③是2的倍数； ④是2的倍数．
14．下列说法：①真命题的逆命题一定是真命题；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③如果是一组勾股数，那么也是一组勾股数；④用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于”其中，正确的说法有个．
三、解答题
15．用反证法证明：如果，那么，中至少有一个大于零．
16．用反证法证明：已知，，是平面内3条不同的直线，如果，，那么．
证明：假设______，那么它们相交于一点．
因为，，过点的两条直线、都与直线垂直．这与基本事实“_______”矛盾，故假设不成立．所以．
17．用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．将下面的过程补充完整．
已知：如图，是的一个外角．
求证：
证明：假设______．
在中，，
∴______．
∵______，
∴______．
∴______．
∴与假设相矛盾．
∴假设不成立．
∴原命题成立，即．
18．数学课上，同学提出如下问题：如何证明“两直线平行，同位角相等”
老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下：
小贴士
反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．在某些情形下，反证法是很有效的证明方法．
如图1，我们想要证明“如果直线被直线所截，，那么”
如图2
假设，过点O作直线，使，
依据基本事实______．
可得．
这样过点O就有两条直线，都平行于直线，这与基本事实______矛盾，
说明的假设是不对的，于是有．
19．当直接证明一个命题为真命题有困难时，我们可以先假设求证的结论不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的结论正确，这种证明方法称为反证法．反证法是数学中一种常用的证明方法，它的一般证明思路是：第一步：假设求证的结论不成立；
第二步：基于假设进行逻辑推理，
第三步：推导出与条件、公理、定理等相矛盾的结果，
第四步：从而假设不成立，求证的结论正确．
(1)阅读正文并解答下列问题：
如图1，已知在中，，求证：．
证明：假设，
①若，
如图2，在内部作，交于点D．
∵，
∴；
∴，
∵
即：，
这与已知相矛盾，
∴假设不成立：
②若，
···
综上，．
请你补充②中所缺失的部分
(2)用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于．”第一步应先假设______．
(3)如图，在中，均不相等，点D、E、F分别是的中点．求证：用反证法证明：线段与不垂直．
20．如图，在中，，是的中线，于点E，用反证法证明：点D与点E不重合．
参考答案
1．A
【分析】本题考查命题，解题关键在于根据反证法定义即可求得答案．了解反证法证明的方法和步骤，反证法的步骤中，首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设成立．
【详解】解：原命题为“若，则”，
根据反证法，需假设结论不成立，“”，
则用反证法证明“如果，那么”时，应先假设“”．
故选：A．
2．D
【分析】此题考查反证法，使用反证法时，需假设结论不成立，据此求解即可．
【详解】∵用反证法证明：已知a，b，c是同一平面内的三条不同直线，如果，a与c相交，那么b与c相交．
∴应先假设b与c平行．
故选：D．
3．A
【分析】本题考查的是反证法的应用，反证法的关键是假设原命题结论不成立，即结论的反面成立，原命题结论为“至少有一个锐角不大于”，其反面应为“两个锐角都大于” ．
【详解】解：原命题“至少有一个锐角不大于”的否定是 “两个锐角都大于”，故应假设直角三角形中两锐角都大于．
故选：A．
4．D
【分析】在四边形中，至少有一个内角不大于90°的反面是每一个内角都大于90°，据此即可假设．
【详解】解：用反证法证明“在四边形中，至少有一个内角不大于”时，等于应先假设：四边形中每一个内角都大于90°．
故选：D．
【点睛】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时,要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
5．D
【分析】本题考查了反证法，解此题，关键要懂得反证法的意义和步骤，在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
【详解】解：用反证法证明“等腰三角形的一个底角小于”时，第一步应假设等腰三角形的底角大于或等于，
故选： D．
6．B
【分析】利用反证法证明一个命题，首先要假设所证的结论不正确，结论的反面正确．
【详解】解：假设正确的是：假设三角形中至少有两个角是直角或钝角，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了反证法，正确理解反证法的思想方法，理解求设的方法是解决本题的关键．
7．D
【分析】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【详解】解：与的大小关系有，，三种情况，
∴的反面是“不小于”，即“”．
∴用反证法证明“”时，应先假设，
故选：D．
8．C
【分析】本题考查的是反证法，平行线的性质与判定，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．利用反证法若假设b与c相交于点P，可得过直线外一点，有两条直线和与直线平行，与“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾，即可得到答案．
【详解】解：命题：“如果，那么”．
若假设b与c相交于点P，
，即过直线外一点，有两条直线和与直线平行，
则与“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾，
故选：C．
9．C
【分析】本题考查的是反证法．根据反证法的一般步骤判断即可．
【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤，
③假设在中，，
④由，得，即，
②，这与三角形内角和为矛盾，
①因此假设不成立．，
综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④②①．
故选：C．
10．A
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定，证明，得到，再证明，得到，进而得到垂直平分，判断①，反证法判断②．
【详解】解析：①三角形为等边三角形，
∴，
，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
，
∵，，
，
，
为中垂线上的点，
∵，
∴为中垂线上的点，
∴垂直平分，
为中点；
所以①为真命题；
假设与不平行，作，与交于点，作，则：，，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，即：，与矛盾，
∴假设不成立，
∴；故②为真命题．
故选A．
11．
【分析】本题考查的是反证法的证明．用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与条件相反的假设即可．
【详解】解： “已知．求证：”．第一步应先假设．
故答案为：．
12．②①④③
【分析】根据有理数都可以写出分数的形式，那么存在两个互质的正整数、，使得，于是，等式两边平方得到，由此可得可得是偶数，则p为偶数，可设，则，即可证明q也是偶数，这与假设矛盾，由此即可证明结论．
【详解】证明：假设是有理数，
那么存在两个互质的正整数、，使得，于是，
∴，
∵是偶数，可得是偶数．
∵只有偶数的平方才是偶数，
∴也是偶数．
∴可设，代入，得．可得
∴是偶数．这样，和都是偶数，不互质，这与假设，互质矛盾．
这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数．
故答案为：②①④③．
【点睛】本题主要考查了用假设法证明，熟知假设法是解题的关键．
13．②④①③
【分析】根据反证法的证明步骤以及立方根的定义补全证明过程即可求解．
【详解】证明：假设是有理数，
那么存在两个互质的正整数，，使得，则．
是2的倍数，
是2的倍数，
可设（为正整数），则，
，即，
是2的倍数，
，都是2的倍数，不互质，与假设矛盾．
因此假设不成立，即不是有理数．
故答案为：．②④①③
【点睛】本题考查了立方根的定义，反证法，熟练掌握反证法证明方法是解题的关键．
14．2
【分析】根据逆命题的概念、等腰三角形的三线合一、勾股数、反证法的一般步骤逐个判断即可．
【详解】解：①真命题的逆命题不一定是真命题，例如：对顶角相等是真命题，其逆命题相等角是对顶角是假命题，故①说法错误；
②等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合，故②说法错误；
③如果a，b，c是一组勾股数，那么，，也是一组勾股数，故③说法正确；
④用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于”，故④说法正确．
故正确的有③④共2个．
故答案为2．
【点睛】本题主要考查的是命题的真假判断、反证法的应用，掌握逆命题的概念、等腰三角形的三线合一、勾股数等知识点，灵活运用反证法是解题的关键．
15．详见解析
【分析】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
根据反证法的步骤，直接从结论的反面出发得出即可．
【详解】证明：假设，都不大于零，
即，，
因为两个非正数相加还是非正数，
所以，
这与已知条件矛盾，
所以假设不成立．
所以，中至少有一个大于零．
16．与不平行；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【分析】本题主要考查了反证法，同一平面内，过一点有且只有只有一条直线与已知直线平行，先假设结论不成立，即假设与不平行，那么它们相交于一点，则可推出过点的两条直线、都与直线垂直，这与“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾，故假设不成立，据此求解即可．
【详解】证明：假设与不平行，那么它们相交于一点．
∵，，过点的两条直线、都与直线垂直．这与基本事实“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾，故假设不成立．所以．
17．；；；；
【分析】本题考查了反证法的应用、三角形内角和定理及平角的定义，解题的关键是正确作出反设（假设结论不成立），并利用内角和与平角性质推出矛盾．
假设结论不成立；利用三角形内角和表示，利用平角表示；推导得出，与假设矛盾，从而证明原命题．
【详解】反证法的第一步是假设结论不成立，因此假设．
根据三角形内角和定理，，变形得．
由于是的外角，与组成平角，故，因此．
由上述两步可知，这与假设矛盾．
因此假设不成立，原命题成立．
18．同位角相等，两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】直接利用反证法的基本步骤以及结合平行线的性质分析得出答案．
【详解】解：假设，过点O作直线，使，依据基本事实同位角相等，两直线平行，
可得．
这样过点O就有两条直线，都平行于直线，
这与基本事实过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，
说明的假设是不对的，于是有．
故答案为：同位角相等，两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
【点睛】此题主要考查了反证法，正确掌握反证法的基本步骤是解题关键．
19．(1)见解析
(2)三角形的三个内角中，三个内角都大于
(3)见解析
【分析】本题主要考查了反证法，菱形的性质与判定，三角形中位线定理等等，熟知反证法是解题的关键．
（1）若，则，这与已知相矛盾，据此证明即可；
（2）反证法第一步应假设结论不成立，即应假设三角形的三个内角中，三个内角都大于；
（3）假设线段与垂直，根据三角形中位线定理得到，则四边形是平行四边形，线段与垂直，则四边形是菱形，可得，进而得到，这与均不相等矛盾，据此可证明结论．
【详解】（1）解：若，则，这与已知相矛盾，
∴假设不成立：
综上，．
（2）解：用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于．”第一步应先假设三角形的三个内角中，三个内角都大于；
（3）证明：假设线段与垂直，
∵点D、E、F分别是的中点，
∴都是的中位线，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵线段与垂直，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，这与均不相等矛盾，
∴假设不成立，
∴线段与不垂直．
20．见解析
【分析】本题考查等腰三角形“三线合一”的性质．
假设点D与点E重合．根据是的中线，，则，与相矛盾，即可得出结论．
【详解】证明：假设点D与点E重合．
∵是的中线，，
∴垂直平分，
∴，与相矛盾，
∴点D与点E不重合．