13.1.3 反证法（教学课件）数学华东师大版2024八年级上册

13.1.3 反证法华师大版2024·八年级上册章节导读学 习 目 标理解核心概念掌握反证法的逻辑本质：通过否定结论推导矛盾，证明原命题为真区分反证法与直接证明的适用场景掌握实施步骤能准确完成以下流程：①假设：明确否定命题结论；②推理：基于假设进行逻辑推导③矛盾：找到与公理、定理或已知条件的冲突，④结论：推翻假设，确认原命题成立熟练应用场景能判断何时使用反证法，例如：证明唯一性（如“方程解唯一”）；否定性命题；存在性命题旧知复习如果三角形的边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角如图所示，AB=c，AC=b，BC=a若满足a2+b2=c2则△ABC是直角三角形勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理是判断是否为直角三角形的重要方法课堂导入从前有个聪明的孩子叫王戎，他7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李子树上结满了果子，小伙伴纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动，有人问王戎为什么，王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李。思考：王戎是怎么知道李子是苦的呢？他运用了怎样的推理方法？新知探究我们已经知道，当一个三角形的三边长a、b、c（a≤b≤c）满足关系a2+b2=c2时，这个三角形一定是直角三角形，如果此时a2+b2≠c2，那么这个三角形是否一定不是直角三角呢？解题思路：（1）假设它是直角三角形；（2）根据勾股定理，一定有a2+b2=c2，与已知条件a2+b2≠c2矛盾；（3）因此假设不成立，即它不是直角三角形从已知条件a2+b2≠c2（a≤b≤c）出发进行证明有一定的难度，那么我们可以用以上方法进行证明，这种方法叫做”反证法“新知探究①反设：先假设结论的反面是正确的②归谬：通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件等想矛盾；③结论：从而说明假设不成立，进而得出原结论正确。反证法步骤回想一下，以前用过类似的方法吗？新知探究思考“在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C=90°，那么a2+b2=c2”是一个真命题，对于一般的非直角三角形，情况又会如何呢？即“在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C≠90°，那么a2+b2≠c2”是真命题吗？提示：先思考做什么假设，再用反证法推理过程典例分析例1 .用反证法证明：已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°．证明：假设∠B≥90°∵AB=AC，∴∠B=∠C∵∠B≥90°，∴∠C≥90°，∴∠B+∠C≥180°又因为：在一个三角形中，三角形内角和为180°∴不可能有两个内角和大于或等于180°∴假设矛盾，∴假设不成立 ∴∠B＞90° 变式训练 用反证法证明：如果a+b＞0，那么a，b中至少有一个大于零．证明：假设a、b都不大于零即a≤0，b≤0因为两个非正数相加还是非正数∴a+b≤0.这个与已知条件a+b＞0矛盾所以假设不成立所以a、b中至少有一个大于零典例分析例2 .已知：m是正整数，且m2是偶数．求证：m是偶数．（注：利用反证法证明）证明：假设m不是偶数，则m为奇数设m=2n+1(n为整数)则m2=（2n+1）2=4n2+4n+1=4(n2+n)+1因为4（n2+n)为偶数所以4(n2+n)+1为奇数，与m2为偶数矛盾，所以假设不成立，故为偶数变式训练 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的高，请你利用反证法证明∠DAB是一个锐角．证明：假设∠DAB是钝角或直角∵AB=AC，AD是底边BC上的高∴∠BAC=2∠DAB∵∠DAB是钝角或直角∴2∠DAB≥180°，不符合三角形内角和定理∴假设不成立∴∠DAB是一个锐角新知探究课堂练习1. 用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，假设正确的是（ ）A．假设三个外角都是钝角 B．假设三个外角中至少有一个钝角C．假设三个外角中至多有两个钝角D．假设三个外角中至多有一个钝角2. 用反证法证明命题：在一个三角形中，最大的内角不小于．证明的第一步是（ ）A．假设最大的内角小于60°B．假设最大的内角大于60°C．假设最大的内角大于或等于60°D．假设最大的内角小于或等于60°课堂练习3．下列说法正确的是（ ）A．直角三角形的两个锐角互补B．不等式x≤2的正整数解只有1C．命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是真命题D．用反证法证明命题“在△ABC中，若∠A≠∠B，则AC≠BC”时，应先假设AC＞BC课堂练习4．用反证法证明命题：“如果a∥b，a∥c，那么c∥b”．如图，若假设b与c相交于点P，则需要推出的矛盾为（ ）课堂练习5. 用反证法证明：已知a，b，c是平面内3条不同的直线，如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c．证明：假设 ，那么它们相交于一点．因为a⊥b，b⊥c，过点P的两条直线a、c都与直线b垂直．这与基本事实“ ”矛盾，故假设不成立．所以a∥c．a与c不平行同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直课堂练习6. 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．已知：△ABC．求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角．证明：假设三角形的三个内角∠A、∠B、∠C中有两个直角，不妨设∠A=∠B=90°则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾∴∠A=∠B=90°∴一个三角形中不能有两个直角课堂小结基本概念通过假设命题结论不成立，推导出矛盾从而证明原命题必然成立实施步骤(1) 假设结论不成立 (2) 进行合理推理 (3) 得出与已知条件/公理/定理矛盾的结论 (4) 推翻假设，确认原命题成立感谢!