山东师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（Word版含解析）

这是一份山东师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（Word版含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
2．如图，为四面体的棱的中点，为的中点，点在线段上，且，设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．已知椭圆，其左右焦点分别为，点P是椭圆E上任意一点，则的周长为（ ）
A．2B．4C．6D．7
4．已知点在圆外，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知圆，直线过点，则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，一束光线从出发，经直线反射后又经过点，则光线从A到B走过的路程为（ ）
A．B．C．D．
7．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个高为4的正八面体，G为的中点，则异面直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知正方体的棱长为，空间中的点满足：，其中，且，则点的轨迹的长度为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，是空间任意四点，则有
C．已知，能判定空间中四点，，，共面
D．若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底
10．已知圆与圆，则（ ）
A．过点作圆的切线只有条，则
B．若圆与圆有且只有条公切线，则
C．当时，两圆的一条公切线方程为
D．当时，两圆的公共弦长为
11．如图，在直棱柱中，底面ABCD是边长为2的菱形，，点为的中点，点为侧面内（包含边界）一动点，则下列结论正确的是（ ）

A．平面截四棱柱所得的截面是五边形
B．
C．平面与平面ABCD所成角的余弦值为
D．若∥平面，则点轨迹的长度为
三、填空题
12．设，若点在线段上，则的取值范围是 ．
13．已知椭圆的焦点为，为椭圆上一点，是的中点，若，则 ．
14．已知以为圆心的圆及其上一点，设满足：存在圆上的两点和，使得，则实数的取值范围为 ．
四、解答题
15．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上．
(1)求圆的标准方程；
(2)过点作圆的切线，求切线方程．
16．如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点，分别是棱，的中点.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
17．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点.
(1)若焦距为，点的坐标为，求椭圆的标准方程；
(2)若，且的面积为，求的值.
18．如图，在三棱锥中，分别为的中点，为正三角形，平面平面.
(1)连接，求证：平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)在线段上是否存在异于端点的点，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.
19．在平面直角坐标系中，已知圆：，，是圆上的动点，且，的中点为.
(1)求点的轨迹方程；
(2)设点是直线：上的动点，，是的轨迹的两条切线，，为切点，求四边形面积的最小值；
(3)若垂直于轴的直线过点且与的轨迹交于点，，点为直线上的动点，直线，与的轨迹的另一个交点分别为，，（与不重合），求证：直线过定点.
1．A
由两直线垂直求得的值，根据充分条件，必要条件的定义作出判断.
【详解】当时，两条直线分别为与，两条直线互相垂直，反之，由与直线垂直，，解得或，则不能推出，所以”是“直线与直线垂直的充分不必要条件.
故选：A
2．A
根据空间向量基本定理得到，故.
【详解】为四面体的棱的中点，为的中点，
故，，
，
因为，所以，
.
故选：A
3．C
根据椭圆的定义进行求解即可.
【详解】由题意，根据椭圆的定义可知
，.
所以的周长为.
因为椭圆方程为，所以.
所以的周长为.
故选：C.

4．D
由圆的标准方程及点与圆的位置关系判断.
【详解】由圆的方程可化为， ，又点在圆外，则，，综上.
故选：D.
5．A
先判断出与圆的位置关系，然后根据圆心到直线的距离的最大值求解出弦长的最小值.
【详解】直线恒过定点，圆的圆心为，半径为，
又，即在圆内，
当时，圆心到直线的距离最大为，
此时，直线被圆截得的弦长最小，最小值为．
故选：A.
6．C
根据点关于线对称求出C点标,结合反射光线的性质应用两点间距离公式求出距离的最小值即可.
【详解】
一束光线从出发，经直线反射,与交于点P,
由题意可得，点关于直线的对称点在反射光线上，
设,则,,
故光线从A到B所经过的最短路程是.
故选：C.
7．A
连接交于点，连接，建系标点，求直线的方向向量和平面的法向量，利用空间向量求线面夹角.
【详解】连接交于点，连接，
因为该几何体是一个高为4的正八面体，
所以，，，
设棱长为，则，，
所以在中，，即，解得，
以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以，平面的法向量为，
设直线与平面所成的角为，
所以.
故选：A.
8．C
易得平面，设为的交点，利用正方体的性质及线面垂直的判定定理得平面，进而可得，在平面中建立平面直角坐标系，设，求出点的轨迹方程，即可求解.
【详解】因为，所以平面，
如图1所示，设为的交点，所以，
又平面平面，
所以，
又，平面，所以平面，
因为点平面，故平面，
所以，则，
因为正方体的棱长为，所以，即，
在平面内建立平面直角坐标系，如图2所示，
则，
设，
则，，
所以，
又，故，即，
整理得，即，
故点的轨迹是半径为的圆，所以点的轨迹长度为．
故选：C．
9．BC
根据向量共线判断A，根据空间向量线性运算法则判断B，根据空间向量共面定理判断C、D.
【详解】对于A：因为，，
所以，则，则或与在同一条直线上，故A错误；
对于B：若，，，是空间任意四点，则有，故B正确；
对于C：，三个向量共面，
四点共面，故C正确；
对于D：，三个向量共面，
不能作为空间的一组基底，故D错误.
故选：BC
10．ABC
根据切线判断圆与圆的位置关系判断A，B，根据切线条件计算得出公切线判断C，先求出两圆的相交弦所在直线方程再应用几何法计算求出弦长判断D.
【详解】圆的标准方程为，圆心，半径为，
圆的圆心为，半径为，
对于A选项，若点作圆的切线只有条，则在圆上，
则有，因为，解得，A对；
对于B选项，若圆与圆有且只有条公切线，则两圆相交，
且，
由题意可得，即，
因为，解得，B对；
对于C选项，当时，圆的方程为，圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
圆心到直线的距离为，
故当时，两圆的一条公切线方程为，C对；
对于D选项，当时，由B选项可知，两圆相交，
将两圆方程作差可得，此时，两圆的相交弦所在直线的方程为，
圆心到直线的距离为，
所以，两圆的公共弦长为，D错.
故选：ABC.
11．BCD
作出截面判断A，由线面垂直的判定与性质定理判断B，用空间向量法求二面角判断C，确定出动点轨迹后判断D.
【详解】对A，取中点，连接PM，如图，则（都与平行），所以四点共面，
则平面截四棱柱所得的截面是四边形，A错误．
对B，连接，由题意可得，底面，
底面ABCD，所以，而平面，
所以平面，又平面，所以，B正确．

对C，设AC与BD交于点，以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以，
设平面的法向量为，则
不妨取，则，易知平面ABCD的一个法向量为，
则，C正确．
对D，连接，由A项知四点共面，平面，
又平面平面，所以，
所以的轨迹为线段（不含点），，D正确．
故选：BCD.
12．
将问题转化为过点的直线与线段有交点时，直线的斜率的取值范围，即可由两点斜率公式求解.
【详解】直线的倾斜角与斜率 如图，，则原问题可转化为过点的直线与线段有交点时，直线的斜率的取值范围．
连接，则，
当的倾斜角是锐角时，，随着倾斜角的增大，斜率由增大至正无穷；
当的倾斜角是钝角时，，随着倾斜角的增大，斜率由负无穷增大至．所以3或．
故答案为：
13．
借助椭圆定义计算即可得结论.
【详解】由是的中点，则，
由椭圆定义可得，
则.
故答案为：.
14．
先得到圆的圆心和半径，设，，根据得到方程，利用点坐标表达出点坐标，代入圆中，得到点在圆上，从而两圆有公共点，根据圆心距与半径的关系得到不等式，求出答案.
【详解】根据题意，圆，即，
其圆心为，半径，
设，，
又由，则，，，
若，则有，变形可得，
若在圆上，则，
则有，变形可得：，
即点也在圆上，
从而圆与圆有公共点，
则有，
变形可得：，
解得：，即的取值范围为；
故答案为：．

15．(1)；
(2)或
（1）设圆心，通过半径求得，进而可求解：
（2）通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可.
【详解】（1）由题意设圆心，
因为，即，
解得，即，半径，
所以圆的标准方程为；
（2）当切线的斜率不存在时，则切线方程为，
此时圆心到直线的距离为，符合条件；
当切线的斜率存在时，设过的切线方程为，
即，
则圆心到切线的距离，解得，
此时切线的方程为：，即，
综上所述：过的切线方程为或．
16．(1)证明见解析
(2)
（1）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再根据向量平行关系判断直线与平面的垂直关系.
（2）已知两个平面的法向量，利用向量点积公式求两个法向量夹角的余弦值，此余弦值的绝对值即为两个平面夹角的余弦值.
【详解】（1）因为四棱锥的底面是正方形，平面，
所以以点D为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，
所以，．
设平面EFD的法向量为，
则，令，则．
又因为，所以，即，
由平面，得平面．
（2）设平面与平面的夹角为，
平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，
所以，
则平面与平面的夹角的余弦值为．
17．(1)
(2)
【详解】（1）已知，所以得：，即，
由于点在椭圆上，将其代入椭圆方程，
可得：，即，
又因为，即.
联立，整理得：，解得：或（舍）
所以，故椭圆的标准方程为.
（2）因为，所以的面积，
则，根据椭圆定义可得：.
根据余弦定理可得：，
整理得：，
代入得：，即，即得：.
18．(1)证明见解析
(2)
(3)存在，为中点
【详解】（1）连接，如图所示：
为正三角形，又为中点，
，
平面平面，平面平面平面，
平面.
（2）由（1）知平面，又平面，
，
分别为的中点，
，
，
如图：
，
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令，则
则点到平面的距离为.
（3）设存在，
由（1）可知是平面的一个法向量，
由题可设，且，
，
则，
设平面的法向量为，由于，
则，
令，则，
，
整理得，解得或（舍），
故存在点，使得平面和平面夹角的余弦值为，
此时为中点.
19．(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）已知圆的方程为 ，将其转化为圆的标准方程： .
所以圆心，半径.
因为是的中点，可知 .
已知，则 .
在中，根据勾股定理.
设点，根据两点间的距离公式 ，
两边平方可得 .
所以点的轨迹方程为 .
（2）因为，是圆的切线，所以，.
又因为 ，
所以四边形的面积，
根据勾股定理 ，
所以.
点是直线上的动点，
根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离 ，
即.当取最小值时， .
所以四边形面积的最小值为 .
（3）

由题意可知：直线，由，解得或，
不妨令，
先证明如下问题：若点为直线上的动点，直线（其中）与圆的另一个交点分别为，（与不重合），求证：直线过定点．

因为，
可知，即，可得，
又因为，
可得，
则，即，
整理可得，
若直线的斜率存在，设为，
联立方程，消去y可得，
则，且，
则，整理可得，解得或，
若，则直线：过定点；
若，则直线：过定点，又与不重合，不合题意；
所以直线过定点；
若直线的斜率不存在，则，可得，
即，解得或（舍去），
此时直线过点，符合题意；
且在圆内部，直线与圆必相交，
综上所述：直线过定点.
将上述问题图象，整体向右平移1个单位，再向上平移个单位，即可得到本题的问题，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
C
D
A
C
A
C
BC
ABC
题号
11









答案
BCD