山东省德州市2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份山东省德州市2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知向量，，，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
2．已知直线与直线平行，则a的值为（ ）
A．2B．1C．D．2或
3．已知直线l经过点，，则正确的是（ ）
A．直线l的斜率为1B．直线l的倾斜角为
C．直线l的方向向量为D．直线l的法向量为
4．经过椭圆的左焦点作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则（ ）
A．B．C．D．
5．在三棱锥O-ABC中，M，N分别是边OA，CB的中点，点G在线段MN上，且，用向量，，表示向量是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知圆：与圆：有公共点，则实数a的可能取值为（ ）
A．B．C．2D．3
7．已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在正方体中，点P在线段上，若直线DP与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）

A．B．C．D．
二、多选题
9．已知直线l：，圆C：，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若直线l与圆C相离，则点A在圆C内
B．若直线l经过点A，则点A在圆C上
C．若点A在圆C内，则直线l与圆C相交
D．若点A在圆C上，则过点A的圆的切线方程为
10．在平行六面体中，各棱长均为2，.则下列命题中正确的是（ ）
A．
B．
C．不是空间的一组基底
D．直线与底面所成角的正弦值为
11．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：，点为曲线C上一点，则（ ）
A．曲线C关于x轴对称
B．曲线C为中心对称图形
C．直线与曲线C有且仅有两个公共点
D．点P的横坐标的取值范围为
三、填空题
12．已知点，，，使得与垂直的x值为 .
13．已知圆C：，直线l过点，若直线l与圆C相切，则直线l的方程为 .
14．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，其中A，，B三点共线，且，，则双曲线E的离心率为 .
四、解答题
15．已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上.
(1)求圆C的标准方程；
(2)设点在圆C内，过点P的最长弦和最短弦分别为GH和EF，求四边形EHFG的面积.
16．如图，已知在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，点Q在棱PA上，且，底面为直角梯形，，，，，M，N分别是PD，PB的中点.
(1)求证：平面PCB；
(2)直线AD与直线CN所成角的余弦值.
17．已知点在双曲线C：（，），且C的实轴长为2，，分别为C的左、右焦点.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若P为双曲线上一点.
①当时，求的面积；
②求的取值范围.
18．如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点.

(1)求证：；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值；
(3)判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19．已知，分别是椭圆：（）的左、右焦点，轴上方的两动点在上，且，当时，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若，求的坐标；
(3)椭圆上的任意一点及（2）中的点，点在圆上，求的最小值.
1．C
由数量积的坐标运算即可求解.
【详解】，
所以，
故选：C
2．A
根据平行得到方程，解出值后再检验即可.
【详解】由题意得，解得或，
当时，直线与直线平行，满足题意；
当时，直线与直线重合，不合题意，舍去.
则a的值为.
故选：A.
3．B
由两点求得斜率，进而逐项判断即可.
【详解】由斜率公式得，
所以倾斜角为，方向向量为，
法向量为，其中，所以A，C，D错误，B正确.
故选：B
4．B
先求得直线的方程，再与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用弦长公式求解.
【详解】在中，，，
所以，即，
故左焦点为，而，
故直线的方程为，
联立得，
，设，，
由韦达定理得，，
则由弦长公式得．
故选：B．
5．C
根据给定的几何体，利用空间向量线性运算求得答案.
【详解】依题意，
.
故选：C.
6．B
由圆心距和半径和差的关系构造不等式求解即可.
【详解】，圆心，半径为1，
，圆心为，半径为，
因为两圆有公共点，
所以，
解得，
结合选项只有B符合，
故选：B
7．A
根据已知条件求得，进而求得双曲线的渐近线方程.
【详解】因为双曲线的两个焦点分别为，，
故双曲线的方程为，且，
又点在该双曲线上，所以，解得，
所以，故该双曲线的渐近线方程是.
故选：A
8．D
设正方体的棱长为1，且，以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求得和平面的法向量，结合向量的夹角公式，求得，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】设正方体的棱长为1，且，
以点为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
则，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
则，
设，即
当时，；当或时，，
所以.
故选：D.

9．ABD
根据直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，逐项计算判断即可得结论．
【详解】对于A，若直线l与圆C相离，则，所以，
所以点A在圆C内，故A正确；
对于B，若直线l经过点A，则，则，
所以点A在圆C上，故B正确；
对于C，若点A在圆C内，则，
则圆心C到直线的距离，
所以直线l与圆C相离，故C错误；
对于D，若点A在圆C上，则，当且时，则，
则过点A的圆的切线斜率为，方程为，化简得，
当时，，则过点A的圆的切线斜率为，切线方程为，满足，
当时，，则过点A的圆的切线斜率不存在，切线方程为，满足，
综上所述：若点A在圆C上，则过点A的圆的切线方程为，故D正确.
故选：ABD.
10．BCD
对于A，由向量的线性运算及模长公式求解即可；对于B，可证明即可判断；对于C，由题可得即可判断；对于D，连接交于点，过作交于，可证平面，则就是直线与底面所成角，再求边长确定余弦值即可．
【详解】对于A，，
，故A错误；
对于B，，，
，
，故B正确；
对于C，，即共面，
即不是空间的一组基底，故C正确；
对于D，连接交于点，
易知，又，平面，
平面，又平面，所以，
过作交于，
平面，，
又平面，
所以平面，
则就是直线与底面所成角，
，
，
，则，
，
即直线与底面所成角的正弦值为，故D正确；
故选：BCD．
11．BC
将、代入方程可判断A、B；联立直线与曲线C：，解方程组可判断C；由，解不等式判断D.
【详解】将方程中的用替换可得，即，
因为所得方程与方原程不恒等，所以曲线C不关于x轴对称，故A错误；
将方程中的用替换，用替换，
可得，即，新方程与原方程相同，
所以曲线关于原点对称，故B正确；
联立，则，整理得，
因为，所以方程有两不等的解，
所以直线与曲线C有且仅有两个公共点，故C正确；
由C：，则C：，
可得，解得，所以点P的横坐标的取值范围为，故D错误.
故选：BC.
12．
根据向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】，，
则，
则，即，解得.
故答案为：.
13．或
根据题意，分过点的直线的斜率存在与不存在两种情况讨论求解即可.
【详解】当过点的直线的斜率存在时，设切线方程为，即，
因为圆心到切线的距离等于半径1，所以，解得，
所以切线方程为，即，
当过点的直线的斜率不存在时，其方程为，
圆心到此直线的距离等于半径1，故直线也符合题意，
综上所述，所求的直线的方程是或.
故答案为：或.
14．
设，由三角函数表达出其他边长，由双曲线定义求出，从而利用勾股定理求出，从而得到离心率.
【详解】如图，由⊥，可得，
所以，可得，
在Rt中，由，不妨设，则，
由勾股定理得，
又由双曲线的定义可得，，
根据可得，解得，
所以，，
故在中，，即，
故，
故双曲线E的离心率为．
故答案为：.
15．(1)
(2)
（1）设圆心，根据解得，即可得圆心和半径，进而可得方程；
（2）根据圆的性质分析可知最长弦和最短弦，且最短弦EF垂直于GH，进而可求面积.
【详解】（1）由题意设圆心，
因为，即，
解得，即，
则半径，
所以圆C的标准方程为.
（2）因为，
由圆的性质可知过点P的最长弦过圆心，即为直径，即，
且最短弦EF垂直于GH，可得，
所以四边形EHFG的面积.
16．(1)证明见解析
(2)
（1）根据线面平行判定定理求解；
（2）根据异面直线夹角的公式求值.
【详解】（1）（1）法一：取的中点，连接,则，.
依题意得，，，
则四边形为平行四边形，，
为的中点，所以，所以，
又平面，平面，故平面.
法二：以为原点，以分别为建立空间直角坐标系，
由，，，，，分别是的中点，
可得：，，，，
，，，，
可得，，
设平面的法向量，
则有即，令，则，，
则，又平面
平面.
（2）（2）法一：由（1）知，，
则直线与直线的所成角为直线与直线的所成角
因为，，所以
在中，
则直线与直线所成角的余弦值为
法二：由（1）知，,
,
所以直线与直线所成角余弦值为.
17．(1)
(2)①；②
（1）由点在双曲线上，和实轴长得到，求解即可；
（2）①由余弦定理得到，再由面积公式即可求解；②，得到，，结合数量积的坐标运算即可求解.
【详解】（1）由题设条件，可得，
解得，，
故双曲线C的标准方程为；
（2）
①因为P为双曲线C：上的一点，
所以，平方得 ①，
在中，由余弦定理，得
，
即 ②，
由①－②，得，即，
所以的面积；
②设，则，所以，，
因为，，，，
，
所以的取值范围是.
18．(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
（1）在图1中，证得，取AC的中点O，证得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可证得；
（2）以为原点，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解；
（3）设点到平面的距离为d，根据题意，求得，得到点到平面的距离为，令得到，结合向量的距离公式，列出方程，即可求解.
【详解】（1）证明：在图1中，由，可得，
所以，则，
因为，可得，所以，
在图2中知，取AC的中点O，连接QO，BO，
又因为Q为PC的中点，可得，所以，
因为，可得，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：由题意知，平面平面，平面平面，且，所以平面ABC，所以直线两两垂直，
以为坐标原点，直线分别为坐标轴建立空间直角坐标系，
如图所示，可得，，，，
则，，，，
设平面的法向量为，则，
令，可得，，所以，
设平面的法向量为，因此，
令，可得，，所以，
因此，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
（3）解：假设线段AP上是否存在点M，使得三棱锥的体积为，
在中，，可得，
因为三棱锥的体积为，
设点到平面的距离为d，可得，因此，
因此点到平面的距离为，
令（），由（2）得，，
又因为平面的法向量为，
则点到平面的距离为，解得，
所以线段上存在点，使得三棱锥的体积为，且.
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题可知，即，
若，且，则此时轴，即
所以，即，解得，，
所以椭圆C的标准方程.

（2）设，，，，
由题可知，则，解得
因为两点M，N在椭圆C上，所以，所以，
即，
解得，，所以M的坐标为.

（3）由题意，设，，使，
即，则，
整理得，
又点Q在圆上，所以，解得，
由椭圆定义得，
所以
当三点共线时，，
所以有最小值.