山东省日照市2025-2026学年高二上学期期中校际联合考试数学试题（Word版附解析）

这是一份山东省日照市2025-2026学年高二上学期期中校际联合考试数学试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知直线l的一个方向向量是，平面的一个法向量是，若，则m=（ ）
A．B．C．-8D．8
3．如图所示，空间四边形OABC中，，点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．
4．双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
5．已知圆，若点P在圆上，并且点P到直线的距离为，则满足条件的点P的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．聚光式太阳灶（如图1）广泛应用于我国西部农村地区.其轴截面图（如图2）中，点为抛物线的焦点，此处放置烧水壶，按照一般制作工艺，抛物线的顶点与焦点关于其外沿所在的平面对称.已知、两点间的距离为0.5米，则该太阳灶的最大口径（外沿所在圆的直径）大约为（ ）

A．1.2米B．1.4米C．1.6米D．1.8米
7．如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆外轴上一点，线段与交于点，，内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知复数，，则（ ）
A．
B．在复平面上，对应的向量与对应的向量的夹角为
C．
D．若，则的最大值为3
10．若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（ ）
A．若为椭圆，则B．若为双曲线，则或
C．曲线可能是圆D．若为椭圆，且长轴在轴上，则
11．如图，正方体中，为棱的中点，为平面上的动点，设直线与底面所成的角为，直线与底面所成的角为，平面与底面的夹角为，平面与底面的夹角为，则（ ）

A．若，则点在圆上B．若，则点在双曲线上
C．若，则点在抛物线上D．若，则点在椭圆上
三、填空题
12．抛物线的焦点到准线的距离是 .
13．过圆外一点作圆的切线，切点分别为，，则 .
14．光线沿直线以的入射角（指入射光线与入射表面法线的夹角）照射到镜面上的点，反射光线为射线，在平面上的射影为，现将镜面以为轴旋转，反射光线变为射线，则直线与所成角的余弦值为 .
四、解答题
15．已知直线与圆交于，两点
(1)若，求的值；
(2)在（1）的条件下，求过点的圆的切线方程.
16．如图，在四棱锥中，平面，，，，，.
(1)求点到平面的距离；
(2)求平面与平面所成角的余弦值.
17．已知椭圆的两个焦点，，过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点，的周长等于8.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，设直线，的斜率为别为，，求证：为定值.
18．在空间直角坐标系中，向量，点，若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程为，一般式方程可表示为.
(1)若直线的方向向量为，平面的一般式方程为，求直线与平面所成角的正弦值；
(2)若平面经过点，，，平面的一般式方程为，直线为平面和平面的交线，求平面的一般式方程，并求出直线的单位方向向量（写出一个即可）；
(3)已知集合，，记集合中所有点构成的几何体为，中所有点构成的几何体为，求几何体的体积和的表面积.
19．已知动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)已知直线的方程为，直线上有一动点，求的最大值；
(3)若，为轨迹上不同的两点，线段的中点为，当面积取最大值时，是否存在两定点，，使为定值?若存在，求出这个定值，若不存在，请说明理由.
1．D
根据条件，利用复数的运算法则及模长的计算公式，即可求解.
【详解】因为，所以，所以.
故选：D.
2．B
根据直线与平面的平行的向量法表示求解.
【详解】由，得，即，解得.
故选：B
3．B
利用空间向量的线性运算求解即可．
【详解】，
故选：.
4．D
利用离心率公式与渐近线方程公式定义计算即可得.
【详解】由的焦点在轴上，
故，
故的渐近线方程为.
故选：D.
5．C
由题可得圆心直线的距离为，进而即得.
【详解】由可知圆心，半径为，
又圆心直线的距离为，
所以与直线平行且距离为的直线一条过圆的圆心，另一条与圆相切，
所以满足条件的点P的个数为3.
故选：C.
6．B
将抛物线置于一个坐标系中，使得抛物线顶点在原点，焦点在轴上，根据所给数据求得抛物线方程，带入中点横坐标即可得解.
【详解】
建立坐标系，使得抛物线顶点在原点，焦点在轴上，
由、两点间的距离为0.5米，
设抛物线方程为，
则，所以，所以，
由中点横坐标为，即，
，所以，
所以弦长，
最大口径就是的长，
故选：B
7．A
先设棱长为2，建立如图坐标系，根据计算点P坐标和向量，求平面法向量，利用空间向量求线面夹角，结合二次函数求其值域即可．
【详解】设正方体棱长为2，
以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．
则，，
可得，，
设，
则，
设平面的法向量为，则，
令，则，可得，
则，
当时，取得最大值；当或1时，取得最小值；
所以的取值范围是．
故选：A．
8．A
利用切线长定理可得出，再由椭圆定义可求出，结合勾股定理可得出关于的齐次等式，即可求出该椭圆的离心率的值.
【详解】
设的内切圆分别切该三角形三边于点，如图所示.
由切线长定理可得，，.
则，
由可知，四边形为正方形，且其边长为.
由对称性可知，由椭圆定义可得①，
又因为，所以②，
联立①②可得，.
由勾股定理可得，即，
整理可得，即，即，整理可得，因此，.
故选：A
9．BCD
根据复数的几何意义，共轭复数及复数的模的定义可得.
【详解】对于A：由，得，所以A错误；
对于B：对应的向量为，对应的向量为，
，所以，故B正确；
对于C：由，，，
，得，所以C正确；
对于D：由，即，所以复数z在复平面内对应的点表示以点为圆心，以2为半径的圆上.
所以的最大值就是圆上的点到原点的距离的最大值为3，如图：故D正确.

故选：BCD.
10．BC
分别根据选项曲线的类型列出对应的不等式，解不等式判断即可
【详解】若为椭圆，则 ，且 ，故A错误
若为双曲线，则 ， ，故B正确
若为圆，则 ， ，故C正确
若为椭圆，且长轴在轴上，则 ， ，故D错误
故选：BC
11．ACD
根据线面角的定义和可推导得到，建立平面直角坐标系后，可整理得到点轨迹为圆，知A正确；由面面角定义和可推导得到，知B错误；由可推导得到，结合抛物线定义知C正确；由可推导得到，在平面直角坐标系中求得动点轨迹后可知D正确.
【详解】对于A，平面，平面，，，
，，又，，，
在平面中，以为坐标原点，正方向为轴正方向可建立如图平面直角坐标系，

设，，则，，
由得：，整理可得：，
点在圆上，A正确；
对于B，作，垂足为，作交于点；作，垂足为，作交于点；
平面平面，平面，平面与平面所成角即为平面，平面与平面所成角，
即，，
，，又，
，点在的平分线上，B错误；
对于C，由AB知：，，又，
，即在平面中，点到定点的距离等于到定直线的距离，
点在抛物线上，C正确；
对于D，由AB知：，，又，
，
在选项A的平面直角坐标系中，设，则，，
，，
整理可得：，点在椭圆上，D正确.
故选：ACD.
12．4
【详解】由y2＝2px＝8x知p＝4，又焦点到准线的距离就是p，所以焦点到准线的距离为4.
13．/
求出以为直径的圆方程，得出直线的方程，在圆中求弦长即可.
【详解】线段的中点为，，
则以为直径的圆方程为，即，
由题意知，是圆与的公共点，
则直线的方程为，
则点到直线的距离为，故.

故答案为：
14．
构造长方体，建立空间直角坐标系，利用点面的对称，及空间向量计算线线夹角即可.
【详解】如图：
在长方体中，表示入射线，平面为平面，在平面的射影为，
因为直线照射到平面的入射角为，所以.
不妨令，，将平面绕轴旋转得平面.
建立空间直角坐标系，则，可取，
易知反射光线的方向向量为：.
设D关于平面的对称点为N，作，
易得，所以，
则，所以反射线的方向向量为：.
所以.
故答案为：
15．(1)
(2)或
（1）首先明确圆心与半径，利用点到直线距离求得弦心距，根据弦长公式，建立方程，可得答案；
（2）过点的直线分斜率存在与不存在两种情况，利用圆心到切线的距离等于半径，建立方程，可得答案.
【详解】（1）圆即，
圆心，半径，
圆心到直线的距离，
故，则，解得.
（2）由（1）可得圆，则圆心，半径，
当过点的直线斜率不存在，则直线方程为，圆心到直线的距离为，故直线为圆的切线；
当过点的直线斜率存在，可设直线方程，则，
圆心到该直线的距离，
由直线与圆相切，则，即，整理可得，解得，
直线方程为，
综上，切线的方程为：或.
16．(1)
(2)
（1）建立空间直角坐标系，根据点到平面距离向量法计算即可求解；
（2）根据面面角向量法计算即可求解.
【详解】（1）以为坐标原点，直线分别为,,轴建立空间直角坐标系，
则，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
所以平面的一个法向量可以为，
即点到平面的距离为；
（2）．
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
所以平面的一个法向量可以为，
显然是平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17．(1)；
(2).
（1）根据椭圆的定义及焦点三角形的周长可得标准方程；
（2）设的直线方程代入椭圆方程，再由根与系数关系及斜率公式可得定值.
【详解】（1）因椭圆的两个焦点，，所以，
由的周长等于8，得，
即，得.
所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）可知，设直线的方程为，.
将方程代入椭圆方程，得，
化简整理得，，
.
所以，同理.
所以，
若，则，代入根与系数关系得，
即，再消去得，得无解，
故.
所以.
故为定值.
18．(1)
(2)或.
(3)几何体的体积为，的表面积为
（1）由题可得平面的一个法向量，再利用空间向量法即可求线面角的正弦值；
（2）根据题意可求平面的一个法向量，再根据平面的点法式方程化简即可求平面的一般式方程，根据交线与两平面的法向量垂直即可求交线的一个方向向量，再根据单位向量的概念求解；
（3）由题知集合是边长为2的正方体，利用平面的一般式方程分析集合由8个相同的三棱锥组成，根据相关长度即可求的体积，再分析两个几何图形截面相交的图形即可求的表面积．
【详解】（1）直线的方向向量为，
平面的一般式方程为，则平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值为．
（2）平面经过点，，，
，
设平面的一个法向量，
，令，则，此时，
所以平面的点法式方程为，
即平面的一般式方程为，
又平面的一般式方程为，则平面的一个法向量，
设直线的一个方向向量，又直线为平面和平面的交线，
则，不妨取，则，
此时，，
所以直线的单位方向向量为，
其坐标为或．
（3）集合，
所以集合是以原点为中心，边长为2的正方体，
，当时，得，
根据题意知是平面的一般方程，且过，
则形成的是一个三棱锥，如图，

由对称性，所以中所有点构成的几何体为是由8个相同的三棱锥组成，
所以几何体的体积，
当时，的一部分如图所示，
，
由对称性，中所有点构成的几何体的表面由8个边长为的正六边形与6个边长为的正方形组成，
所以的表面积．
19．(1)
(2)2
(3)存在两定点S，T，使为定值.
【详解】（1）由题意得，
两边平方得，
整理得，点的轨迹的方程为；
（2）中，，则，为的右焦点，
设为的左焦点，
连接，则，，
则，
其中当三点共线时，取得最小值，
为到直线：的距离，所以，
所以最大值，
故的最大值为.
（3）存在两定点S，T，使为定值,理由如下：
当直线的斜率存在时，设直线方程为，，
联立直线与椭圆方程得，
，即，
设，则，
故
，
故当时，取得最大值，最大值为，
此时，满足，
因为，所以，
故，
故，
令，两式相除得，故，
将其代入得，结合得，
化简得，
因为，所以，故，即，
当直线的斜率不存在时，设，则，
则，
不妨设点在第一象限，则当时，取得最大值，
此时的中点坐标为，满足，
故当取得最大值时，点的轨迹方程为椭圆，
两焦点坐标为，
由椭圆定义可知，存在两定点S，T，分别为或，
使为定值.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
B
D
C
B
A
A
BCD
BC
题号
11









答案
ACD