山东省潍坊市2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附答案）

这是一份山东省潍坊市2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附答案），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
1. 已知直线 l 过点 0,0 和 3,3 ,则直线 l 的倾斜角为
A. 30∘ B. 45∘ C. 60∘ D. 150∘
2. 已知直线 l 过点 3,1 且与直线 3x−y−1=0 垂直，则直线 l 的方程为
A. x−3y=0 B. x+3y−6=0 C. 3x−y−8=0 D. 3x+y−10=0
3. 已知直线 m,n 与平面 α,β,γ ,下列命题中错误的是
A. 若 m⊥α,n//α ,则 m⊥n B. 若 α//β,β//γ,m⊥α, 则 m⊥γ
C. 若 α∩β=m,n//m ,则 n//α D. 若 m⊥α,n⊥β,m//n ,则 α//β
4. 已知 y 轴上一点 P 到直线 4x+3y−12=0 的距离等于 3,则点 P 的坐标为
A. 0,−1 B. 0,−9 C. 0,1 或 0,−9 D. 0,−1 或 0,9
5. 已知正四面体 ABCD 的棱长都为 1,点 M,N 分别是 AD,BC 的中点,则 AB⋅MN=
A. 0B. 14 C. 12 D. 32
6. 已知圆 C:x2+y2−4y+1=0 ,直线 l:x−y+1=0 ,则圆上到直线的距离等于 22 的点的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 已知 A∈α,B,C 在平面 α 的同侧,直线 AB 与平面 α 所成的角为 30∘ ,直线 AC 与平面 α 所成的角为 60∘,AB=43 cm,AC=8 cm ,且斜线段 AB,AC 在平面 α 内的射影互相垂直,则 BC 的长为
A. 6cm B. 43cm C. 213 cm D. 8cm
8. 已知四棱锥 S−ABCD ，底面 ABCD 是边长为 43 的正方形，侧面 SAD⊥ 底面 ABCD ， 且 SAD 为正三角形，则该四棱锥外接球的表面积为
A. 105π B. 110π C. 112π D. 132π
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 已知 a=2,−1,−2,b=−1,−1,0,c=2,1,3 ,则
A. a−b⊥c B. a+b//c
C. 与 a 同向的单位向量为 23,−13,−23 D. a 在 b 方向上的投影的数量为 −22
10. 已知圆锥的底面半径为 8 , 母线长为 10 , 则
A. 圆锥的表面积为 80π
B. 圆锥的侧面展开图是圆心角为 8π5 的扇形
C. 圆锥的体积为 128π D. 过该圆锥顶点的截面的面积最大值为 50
11. 数学之美,古来共谈. 如图甲,在平面直角坐标系 xOy 中有 ⊙O:x2+y2=1 与 x 轴分别交于 A,B 两点, P 为 ⊙O 上的动点,以 AP 为直径的 ⊙E 的位置随 P 点位置的变化而变化,当 P 点逆时针转过一周时, ⊙E 扫过的区域是图乙所示美丽的“心形” (记作 M ),则
图甲 图乙
A. 若 ∠PAB=π4 ，则 ⊙E 与 x 轴公共点坐标为 −1,0 和 0,0
B. 点 E 运动轨迹为圆心为 −12,0 ,半径为 12 的圆
C. 当 ⊙E 与 y 轴相切时, PA=3
D. 图乙中,心形区域 M 与 y 轴交点纵坐标的最大值为 2+252
三、填空题: 本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知四面体 ABCD 中，点 M 在面 ABC 内，若 DM=12DA−13DB+aDC ，则实数 a 的值为_____.
13. 已知正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 2,E 为 BB1 的中点， F 为 DD1 的中点，则 F 到平面 A1D1E 的距离为_____.
14. 甜品店推出一款巧克力酸奶杯, 如图所示, 在装满酸奶的圆台形杯具内有半径分别为 1 cm 和 2 cm 的两个巧克力球,巧克力小球与杯底和杯壁均相切, 大球与小球、杯壁、杯盖均相切,则杯具中酸奶的体积为_____ cm3
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
已知空间直角坐标系中，平行六面体 ABCD−A1B1C1D1 满足: A−2,1,3,B2,2,1 ， C3,4,2,D−1,3,4 ,且平行六面体的体对角线的交点为 M1,1,1 .
(1)求侧棱 AA1 的长；
(2)求 cs⟨BD1,DC1⟩ .
16. (15 分)
已知直线 l1:a−1x+2y−a=0 与 l2:x+ay+a−4=0 .
(1)当 a=3 时,求直线 l1 、 l2 与 x 轴围成的三角形的面积;
(2)讨论直线 l1 与 l2 的位置关系.
17. (15 分)
如图，在四棱锥 P−ABCD 中， PD⊥ 底面 ABCD,AB//CD,AD⊥AB,CD=2AB ， 又 PD=AD=AB=1,E,F,G 分别为 PD,PC,BC 的中点.
(1)求证:平面 EFG// 平面 PAB ；
(2)求直线 AF 与面 EFG 所成角的正弦值.
18. (17 分)
设 ⊙C 的圆心 C 在直线 x+y−3=0 上,且点 2,2 和 4,2 均在 ⊙C 上.
(1)求圆 C 的标准方程；
(2)若直线 l:y=ax 与圆 C 相交于 A,B 两点，且 △ABC 为等边三角形，求直线 l 的方程;
(3)已知点 M−1,0 ， P 为圆 C 上任意一点，试问在 x 轴上是否存在定点 N (异于点 M) ,使得 PNPM 为定值? 若存在,求点 N 的坐标; 若不存在,请说明理由.
19.(17分)
空间中, 两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系. 如果坐标系中有两条坐标轴不垂直, 那么这样的坐标系称为 “斜坐标系”.
(1)现有一种空间斜坐标系,它任意两条数轴的夹角均为 60∘ ,我们将这种坐标系称为 “斜 60∘ 坐标系”,类比空间直角坐标系,定义 “空间斜 60∘ 坐标系” 下向量的斜 60∘ 坐标 i,j,k 分别为 “斜 60∘ 坐标系” 下三条数轴 ( x 轴, y 轴, z 轴) 正方向上的单位向量,若向量 n=xi+yj+zk ,则 n 与有序实数组 x,y,z 一一对应,称向量 n 的斜 60∘ 坐标为 x,y,z ,记作 n=x,y,z . 在平行六面体 ABCD−A1B1C1D1 中, ∠BAD=∠BAA1=∠DAA1 , AA1=3,AB=AD=2 ,建立 “空间斜 60∘ 坐标系” 如图所示.
①若 BE=EB1 ，求向量 ED1 的斜 60∘ 坐标；
②若 AM=3,t,0 ，且 AM⊥AC1 ，求 AM .
(2)如图三棱锥 A−BCD,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60∘,E 为 BC 的中点,点 F 满足 EF=DA ,利用本题介绍的斜坐标系,求二面角 D−AB−F 的正弦值.

一、单选题: ABCD CDDC
二、多选题: 9. ACD 10. BCD 11. AD
三、填空题:12. 56 13. 255 14. 9π
四、解答题:
15. 解(1)由题意知,平行六面体 ABCD−A1B1C1D1 的一条体对角线为 CA1 ，且中点为 M ， 已知 C3,4,2,M1,1,1 ,所以 A1−1,−2,0 , ..2 分
所以 AA1=−1+22+−2−12+0−32=19 . .5 分
(2)由题意知， M 为体对角线 BD1,AC1 的中点，由空间直角坐标系中的中点坐标公式可得 D10,0,1,C14,1,−1, .7 分
所以 BD1=−2,−2,0,DC1=5,−2,−5 ， .9 分
所以 csBD1,DC1=−2×5+−2×−2+−5×052+−22+−52×−22+−22+02=−636×22=−36 . .13 分
16. 解: (1) 当 a=3 时,两直线的方程分别为 l1:2x+2y−3=0,l2:x+3y−1=0 .
令 y=0 ,代入 l1 方程得 2x−3=0 ,解得 x=32 ,即 l1 与 x 轴交点为 A32,0 ,
同理可得 l2 与 x 轴交点为 B1,0 , .2 分
联立方程组 2x+2y−3=0x+3y−1=0 解得两直线 l1 与 l2 的交点坐标为 C74,−14 ， .4 分则线段 AB 的长度为 32−1=12 ,三角形的高为交点 C 到 x 轴的距离,即 −14=14 ,
则 S△ABC=12×12×14=116 . .7 分
( 2 )当 aa−1−2≠0 ，即 a≠2 且 a≠−1 时，两直线相交； .10 分
当 a=2 时,两直线方程分别为 x+2y−2=0 和 x+2y−2=0 ,两直线重合; .12 分
当 a=−1 时,两直线方程分别为 −2x+2y+1=0 和 x−y−5=0 ,两直线平行. .14 分
综上,当 a≠2 且 a≠−1 时,两直线相交;
当 a=2 时,两直线重合;
当 a=−1 时,两直线平行. .15 分
17. 解: (1) 证明: 因为 E,F,G 分别为 PD,PC,BC 的中点,
所以 FG//PB,EF//CD , .2 分
又因为 AB//CD ，所以 EF//AB ， .4 分
因为 EF∩FG=F ,
所以平面 EFG// 平面 PAB . .6 分
(2)因为 PD⊥ 底面 ABCD ， AD⊥AB ，则 DP ， DA ， DC 两两垂直，以 D 为原点，分别以 DA,DC,DP 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴建立如图所示空间直角坐标系, .7 分
则 A1,0,0,B1,1,0,C0,2,0,P0,0,1 ,
所以 E0,0,12,F0,1,12,G12,32,0 ,
所以 AF=−1,1,12,EG=12,32,−12,EF=0,1,0
设面 EFG 的一个法向量为 n=x,y,z
n⋅E−F=0n⋅E−G=0,y=0x+3y−z=0
令 x=1 ,则 y=0,z=1 ,所以 n=1,0,1 , .12 分
设直线 AF 与面 EFG 所成的角为 θ ,
所以sinθ=cs=AF⋅nAFn=−1×1+0+12×12×1+1+14=26,
即直线 AF 与面 EFG 所成角的正弦值为 26 . .15 分
18. 解: (1) 设圆 C 的圆心坐标为 a,b ,半径为 r ,则 a+b=32−a2+2−b2=r2,4−a2+2−b2=r2
解得 a=3b=0r=3 ,所以圆 C 的标准方程为 x−32+y2=3 . .5 分
(2)由(1)可知该圆的半径为 3 ，因为 △ABC 为等边三角形，且边长为 3 ，
所以该等边三角形的高为 32−1232=32 , .7 分
所以圆心 C 到直线 l:y=ax 的距离为 32 ,即 3aa2+−12=32 ,解得 a=±33 , .9 分
所以直线 l 的方程为 y=33x 或 y=−33x . .10 分
(3)假设存在定点 N ，设 Nn,0n≠−1 ，
设 Px,y ,则 y2=3−x−32=−x2+6x−6 , .12 分
则 PNPM=x−n2+y2x+12+y2=x2−2nx+n2+−x2+6x−6x2+2x+1+−x2+6x−6=6−2nx+n2−68x−5 , .14 分
当 6−2n8=n2−6−5>0 ,即 n=94n=−1 舍去 时, PNPM 为定值,且定值为 34 , .16 分
故存在定点 N ，使得 PNPM 为定值， N 的坐标为 94,0 . .17 分
19. 解:(1)① 设 i,j,k 分别为与 AB,AD,AA1 同方向的单位向量，则
AB=2i,AD=2j,AA1=3k,
ED1=AD1−AE=AD−AA1−AB+12AA1=−AB+AD+12AA1=−2i+2j+32k ,
所以向量 ED1 的斜 60∘ 坐标为 −2,2,32 ..3 分
②由题意知 AC1=AB+AD+AA1=2i+2j+3k
AM=3,t,0 ,所以 AM=3i+tj ,
AM⊥AC1 ，所以 AM⋅AC1=3i+tj⋅2i+2j+3k=0 ，
所以 6i2+2tj2+6+2ti⋅j+9k⋅i+3tk⋅j=0 ,
整理得 t=−3 , ..6 分
所以 AM=3i−3j=3i−3j2=3 . ..8 分
(2)设 DA=1 ，如图，建立斜坐标系 e1,e2,e3 ，且满足
① e1=e2=e3=1 ② e1⋅e2=0,e2⋅e3=12,e3⋅e1=12 . .9 分
DA=0,0,1,DB=1,0,0,AB=1,0,−1,AF=DE=12,12,0 , .10 分
设平面 DAB 的一个法向量为 n1=x1,y1,z1 ,
所以 n1⋅AB=0n1⋅DB=0 即 x1−z1+12z1−x1+12−y1=0x1+12z1=0 ,
取 x1=1 ,得 n1=1,3,−2 12 分
设平面 ABF 的一个法向量为 n2=x2,y2,z2 ,
所以 n2⋅AB=0n2⋅AF=0 即 x2−z2+12z2−x2+12−y2=012x2+y2+14z2+14z2=0 ,
取 y2=1 ,得 n2=0,1,−1 14 分
设二面角 D−AB−F 的平面角为 θ ,
所以 csθ=n1⋅n2n1⋅n2=63 , .16 分
从而 sinθ=1−69=33 .