山东省潍坊市2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份山东省潍坊市2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则中元素的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．命题“”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，则（ ）
A．在区间上单调递增
B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递减
D．在区间上单调递增
5．“”是“函数为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知非零实数满足，则以下不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数若，则（ ）
A．-1B．0C．D．1
8．已知函数，方程的所有实数根之和为（ ）
A．-2B．-1C．0D．2
二、多选题
9．下列函数中，值域为的是（ ）
A．B．
C．D．
10．上个世纪五十年代，美国数学家D．H．Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中是有理数．若，且，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知函数，定义：
，则（ ）
A．
B．当且仅当
C．的值域为
D．集合中至少含有9个元素
三、填空题
12．已知全集，集合，则 ．
13．若函数的定义域为，则的定义域为 ．
14．定义在上的函数的图象关于点对称，且有，则 ．
四、解答题
15．已知集合．
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
16．已知函数的图象关于轴对称，且当时，．
(1)求的解析式，并画出的图象，根据图象写出它的单调区间；
(2)若，求实数的取值范围．
17．某科技公司研发并试生产一款高科技产品，由于精密零部件组装工艺复杂以及芯片性能调试难度较高，生产过程中会有一等品和二等品．根据试生产数据统计，该公司生产这款产品的二等品率与日产量（百台）之间的关系大致满足：，二等品率．已知预计每生产一台一等品可盈利120元，但每生产一台二等品亏损60元．
(1)将该公司生产这款产品每天的盈利额（元）表示为日产量（百台）的函数；
(2)当日产量为多少百台时，该公司可获得最大日盈利？
18．已知函数．
(1)若关于的不等式的解集为，求实数的值；
(2)若，不等式对恒成立．
（i）证明：；
（ii）求的最小值．
19．若函数定义域均为，对，都有成立时，则称与互为“逆嵌函数”．
(1)判断与是否互为“逆嵌函数”，并说明理由；
(2)若函数满足：①，当时，；②．与互为“逆嵌函数”．证明：当时，；
(3)已知与互为“逆嵌函数”，为增函数，若函数存在有限个零点，零点个数为，证明：函数的零点个数不大于．
1．C
根据题意求，即可得元素的个数.
【详解】因为集合，
则，共3个元素.
故选：C.
2．B
修改量词否定结论，可得结果.
【详解】“”的否定是“”，
故选：B.
3．B
利用零点存在性定理，通过端点值的正负加以判断.
【详解】由，
根据零点存在性定理，由函数在区间上是连续的,且，
所以函数在区间上一定存在零点，故B正确；
而，则在上不一定有零点，故A错误；
又，则在，上也不一定有零点，故CD错误；
故选：B
4．D
根据对勾函数单调性判断AB；根据函数单调性性质判断CD.
【详解】对于选项AB：在内单调递减，在内单调递增，故AB错误；
对于选项CD：因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以在区间上单调递增，故D正确；
故选：D.
5．B
根据奇函数定义得到为奇函数的充要条件，再根据充分、必要条件定义判断.
【详解】由为奇函数，则，
即，整理得对任意的成立，
，
即为奇函数等价于，
所以是为奇函数的必要不充分条件.
故选：B.
6．A
利用函数单调性、特殊值法进行逐一判断即可.
【详解】对于A：易知在上单调递增，，故A正确；
对于B：若，则，故不成立，故B错误；
对于C：若，则，故不成立，故C错误；
对于D：，则，故不成立，故D错误.
故选：A.
7．B
分类讨论求分段函数值解方程即可求解.
【详解】第一种情况：当时,
单调递减,,,方程无解.
第二种情况：当时,
单调递减,,,方程无解.
第三种情况：时,,,
,,
故选：B.
8．C
通过和都是奇函数，交点横坐标和为0，即可求解.
【详解】，定义域为，
，
所以为奇函数，
令，由题意定义域为，
，
所以为奇函数，
又也是奇函数，
所以方程的所有实数根，即为函数和图象交点的横坐标，
因为为奇函数，也是奇函数，
所以函数和图象交点的横坐标的和为0，
即方程的所有实数根之和为0，
故选：C
9．ACD
根据函数解析式分别计算值域判断各个选项即可.
【详解】，函数值域为，A选项正确；
，函数值域为，B选项错误；
，函数值域为，C选项正确；
，函数值域为，D选项正确；
故选：ACD
10．ABD
由“Lehmer均值”的定义可判断A和B，由“Lehmer均值”的定义及基本不等式可判断C和D.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，由于，所以，故C错误；
对于D，，
当且仅当时，“”中的等号成立，由于，所以，故D正确.
故选：ABD.
11．ABD
对于A，代入函数解析式即可；对于B，结合分段函数解不等式即可；对于C，由题可知在定义域上的值域为，迭代后发现的值域也为；对于D，结合函数的不动点，特殊值法尝试，迭代周期性等进行研究即可.
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：当时，，解得，此时；
当时，，解得，此时.
综上所述，当且仅当，故B正确；
对于C：当时，；当时，，
因此在定义域上的值域为.
令，则，
.
令，同理可得.
以此类推，可得，故C错误；
对于D：设集合，
①令，当时，无解，当时，，解得.即，
因此，以此类推，，故；
②当时，，
，
可知都是以3为迭代周期变化的，故.
同理易证，故；
③由选项A可知，进一步计算可知，
，
，
易知都是以5为迭代周期变化的，故，
同理易证当，有，故.
综上所述，，即中至少含有9个元素，故D正确.
故选：ABD.
12．
根据补集的运算即可得出答案.
【详解】全集，集合，则，
故答案为：.
13．
应用抽象函数的定义域求法求定义域.
【详解】由题设可令，可得，故定义域为.
故答案为：
14．
利用对称性可求得，利用恒等式可求得，从而可求出答案.
【详解】因为函数的图象关于点对称，所以，
即，又因为，所以，
由可得：，
所以
，
故答案为：
15．(1)
(2)
（1）根据题意求集合，进而可求并集；
（2）分析可知，根据包含关系列式求解即可.
【详解】（1）因为集合，
当时集合，所以.
（2）若“”是“”的充分条件，则非空，
且集合，，
可得，解得，
所以实数的取值范围为.
16．(1)，图象见解析，单调递增区间是，单调递减区间是；
(2)
（1）由函数的奇偶性即可求解解析式，进而借助二次函数画出图象求解；
（2）由函数单调性、奇偶性将不等式转换成，求解即可.
【详解】（1）当时，，
因为函数的图象关于轴对称，即为偶函数，
所以，
所以，
由图象可知：单调递增区间是，单调递减区间是
（2）由函数的单调性和奇偶性可得：
，
平方可得：，
解得或，
所以实数的取值范围是.
17．(1)，；
(2)日产量为84百台时，该公司可获得最大日盈利.
（1）根据已知可得，结合已知关系式写出函数解析式；
（2）利用基本不等式求时的最大日盈利对应的日产量，进而可得答案.
【详解】（1）由题设，
所以，；
（2）当时，
元，
当且仅当，即百台时取等号，
此时，最大日盈利为元，而时，
所以日产量为84百台时，该公司可获得最大日盈利.
18．(1)，；
(2)（i）证明见解析；（ii）最小值为.
【详解】（1）因为，所以，即
因为不等式的解集为，
所以（二次函数开口向上），且和是方程的两个根.
则， 解得：
（2）（i）因为，所以，
即，
因为该不等式对恒成立，且，所以二次函数开口向下:；
所以，所以
整理得，即
因为，两边除以，整理得；
（ii）方法一：由①知，因为，
令，则.
将代入，得，
因为，两边除以，整理得，
则，
令，则上式变为.
根据均值不等式，对于正实数m，n，有，
则，当且仅当，即时等号成立.
所以，再验证等号是否成立：
当时，即，所以，
由，可得，所以：
所以的最小值为.
方法二：（ii）由（i）可知，
所以.
因为，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
19．(1)是，理由见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【详解】（1）与互为＂逆嵌函数＂．
因为，
，
所以，
所以与互为＂逆嵌函数＂.
（2）（2）因为与互为＂逆嵌函数＂，
所以，
因为，所以，
当时，，因为，
当时，，因为，
因为当时，；所以时，，
即时，，
当时，假设，
因为，又因为当时，，所以，
所以，
因为时，，所以，所以
因为，所以，即，
所以时，不成立，
所以假设错误，即时，，
综上，当时，．
（3）设有N个零点分别为且满足，
即对每个都有，
因为与互为＂逆嵌函数＂，所以，
即，所以也是的零点，
所以，
又因为为增函数，且，
所以，
又因为是中N个不同元素，
所以，
所以，
即每个都是的零点，所以，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
B
D
B
A
B
C
ACD
ABD
题号
11









答案
ABD