2025-2026学年湖南省衡阳市衡阳县九年级（上）期中数学试卷（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年湖南省衡阳市衡阳县九年级（上）期中数学试卷（含答案+解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.使二次根式 x−2有意义的x的取值范围是( )
A. x≠2B. x>2C. x≤2D. x≥2
2.下列运算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 2 2×3 2=6 2
C. 8÷ 2=2D. 3 2− 2=3
3.用配方法解方程x2−6x−1=0，方程应变形为( )
A. (x+3)2=10B. (x+2)2=1C. (x−3)2=10D. (x−2)2=5
4.一元二次方程x2+2x−3=0的根的情况是( )
A. 没有实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根D. 不能确定
5.已知方程x2−4x+2=0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2−x1x2的值为( )
A. 2B. 6C. −2D. 12
6.如图，直线l1//l2//l3，若AB=2，BC=4，DE=3，则DF=( )
A. 5
B. 6
C. 8
D. 9
7.下列图形一定相似的是( )
A. 两个矩形B. 两个正方形
C. 两个菱形D. 对应边成比例的两个四边形
8.在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，根据下列条件，不能判定△ABC和△DEF相似的是( )
A. ABDE=ACDFB. ABDE=BCEFC. ∠B=∠ED. ∠C=∠F
9.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如一元二次方程x2+x=0的两个根是x1=0，x2=−1，则方程x2+x=0是“邻根方程”.下列方程是邻根方程的是( )
A. x2−2x+1=0B. 2x2+3x+4=0
C. x2−1=0D. 2x2−2 3x+1=0
10.如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EFEC=13，下列结论：①CDAG=12；②EFGF=18；③S△CDES△BCE=13；④S△GAFS四边形ABCF=49；⑤S△GBES△BCD=49，其中错误的有( )个.
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
11.计算： 2× 3= .
12.已知(m−1)xm2+1+3x−1=0是关于x的一元二次方程，则m=______.
13.已知ab=23，则aa+b的值是______.
14.方程x2=x的解是 .
15.如图，点D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，且DE//BC，若DEBC=23，则AEEC的值是 .
16.如果两个相似三角形面积之比为9：4，那么这两个三角形的周长之比为 .
17.若关于x的方程|x2−2x−8|=m有三个解，则实数m的值是 .
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
计算：
(1)( 2+1)( 2−1)− 8；
(2) 32÷ 2− 12× 12+ 24.
19.(本小题6分)
用适当的方法解下列方程：
(1)x2−6x+5=0；
(2)2x(x+1)=3(x+1).
20.(本小题6分)
如图，∠B=∠C.
(1)求证：△ABE∽△ACD；
(2)若AB=5，AD=2，AE=3，求AC的长度.
21.(本小题8分)
已知关于x的方程x2−2x+m−1=0.
(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(2)若方程有一个实数根是5，求此方程的另一个根．
22.(本小题8分)
沛县某村民合作社2022年种植生姜100亩，2024年该合作社扩大了生姜的种植面积，共种植144亩.
(1)求该合作社这两年种植生姜亩数的平均增长率.
(2)假定该合作社种植生姜亩数的平均增长率保持不变，预计2025年底，该合作社种植生姜的亩数可否突破175亩？
23.(本小题10分)
汽车盲区是指司机正常驾驶时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域.某型号小汽车的车头盲区(见图1)可以近似看作矩形.如图2，驾驶该型号汽车时司机视线高度AB=1.5米，车前盖最高处与地面距离CD=1米，驾驶员与车头水平距离BE=2米，车前盖最高处与车头水平距离DE=0.5米，点M在EF上，ME=0.8米.
(1)求车头盲区EF的长度；
(2)在M处有一个高度为0.4米的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由.
24.(本小题10分)
【阅读材料】各类方程的解法.
解一元一次方程：根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式.
解二元一次方程组；把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为二元一次方程组来解.
解一元二次方程：把它转化为两个一元一次方程来解.
解分式方程：把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验.
各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，即把未知转化为已知.用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.例如，一元三次方程x3+2x2−3x=0可以通过因式分解把它转化为x(x2+2x−3)=0解方程x=0和x2+2x−3=0，可得方程x3+2x2−3x=0的根.
(1)【问题】方程x3+2x2−3x=0的根是x1=0，x2=______，x3=______；
(2)【拓展】用“转化”思想解方程；
① 3x+10=x；
②x4−8x2+12=0.
25.(本小题12分)
(1)在数学活动课上，老师出示了这样一个问题；如图1，已知正方形ABCD，正方形CEFG.将正方形CEFG绕点C旋转，连接BE，DG，则BE与DG的数量关系为______；
(2)创新小组受到启发，将背景图形由正方形改为矩形继续进行探究，如图2，在矩形ABCD和矩形DEFG中，AD=2DE，AB=2DG，AD=DG，将矩形DEFG绕点D旋转，直线AE，CG交于点P，AE与CG有怎样的数量关系？请你给出证明.
(3)善思小组受此启发，举一反三，提出新问题：如图3，四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE=1：2，连接BG，DG，BE，则BG+12BE的最小值是______.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵二次根式 x−2有意义，
∴x−2≥0，
解得：x≥2，
故选：D.
利用当二次根式有意义时，被开方式为非负数，得到有关x的一元一次不等式，解之即可得到本题答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，此类考题相对比较简单，但从近几年的中考看，几乎是一个必考点．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查二次根式加减与二次根式乘除的运算法则.
根据相关法则一一计算，即可解答.
【解答】
解：A. 2+ 3= 5 ，不能合并，故错误；
B.2 2×3 2=6 2×2=12 ；故错误；
C. 8÷ 2= 4=2 ；故正确；
D.3 2− 2=2 2；故错误；
故选C.
3.【答案】C
【解析】解：x2−6x−1=0，
x2−6x=1，
x2−6x+9=1+9，
故(x−3)2=10.
故选：C.
首先把常数项移到等号的右边，可得：x2−6x=1，把方程的两边同时加上9，把等号左边凑成完全平方式，可得：x2−6x+9=1+9，再把等号左边的用完全平方公式分解因式，可得：(x−3)2=10.
本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的配方法是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：Δ=22−4×1×(−3)=17>0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：B.
先计算出判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．
本题考查了根的判别式：用一元二次方程根的判别式(Δ=b2−4ac)判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ