2022-2023学年湖南省衡阳重点学校九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖南省衡阳重点学校九年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列计算正确的是( )
A. 2+ 2=2B. 5− 3= 2
C. 7× 2= 14D. 6÷ 2= 4=2
2.下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. 13B. 2m3C. 10D. 8
3.用配方法解方程x2−4x=−2，下列配方正确的是( )
A. (x−2)2=2B. (x+2)2=2C. (x−2)2=−2D. (x−2)2=0
4.若ab=23，则a+bb的值为( )
A. 35B. 23C. 53D. 1
5.某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率，设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是( )
A. 560(1+x)2=315B. 560(1−x2)=315
C. 560(1−2x)=315D. 560(1−x)2=315
6.若点P(a,−1)关于y轴的对称点为Q(−2,b)，则a+b的值是( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
7.在△ABC中，∠C=90°,AB= 2,BC=1，则∠A的度数为( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°
8.下列事件是必然事件的为( )
A. 购买一张体育彩票，中奖
B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C. 2023年元旦是晴天
D. 在地面上向空中拋掷一石块，石块终将落下
9.如图，a/​/b/​/c，若AC=5，AE=15，DF=12，则BD的长为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
10.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为CD的中点，连接AE交BD于点F，连接CF，∠AFD=90°，则下列结论：①∠AED=∠OBC；②AF=CF③S△ADF=S△AFC；④CD2=4AE⋅EF，其中正确结论有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.式子 3+x在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______．
12.两个相似三角形的面积比是25：9，则它们的对应边上的中线的比是______．
13.已知x=1是方程x2+ax−b=0的一个根，则a−b+2023=______．
14.在一个不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的若干个黑球和白球，小红摸出一个小球记录颜色后放回口袋，经过大量的摸球试验后发现摸到白球的频率稳定在0.2左右，那么摸出黑球的概率约为______ ．
15.如图所示，某河提的横断面是梯形ABCD，BC/​/AD，迎水坡AB长13米，且AB边的坡度为BEAE=125，则河堤的高BE为______米．
16.如图所示，在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分种植草坪.要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为______ 米.
三、解答题：本题共10小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
计算：2cs60°+(π−3.14)0−(12)−1．
18.(本小题5分)
解方程：x2−4=−2x．
19.(本小题6分)
如图，已知在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5，BC=3.求AC的长和sinA的值．
20.(本小题6分)
如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得∠ACB=15°，他沿CB方向走到D处，线段CD=20米，测得∠ADB=30°，求树AB的高度．
21.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(−2,1)、B(−1,4)、C(−3,3)．
(1)以原点O为位似中心，位似比为2，在y轴的左侧，画出将△ABC放大后的△A2B2C2；
(2)直接写出放大后的△A2B2C2的面积：______．
22.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2−(2k−1)x+k2+k−1=0有实数根．
(1)求k的取值范围．
(2)若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22+x1x2=2，求k的值．
23.(本小题8分)
如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD=∠ABE．
(1)求证：△ABC∽△AEB；
(2)当AB=6，AC=4时，求AE的长．
24.(本小题8分)
某校为了解学生参加“第二课堂”社团活动的情况，对报名参加A：足球，B：象棋，C：羽毛球，D：舞蹈这四项社团活动的学生(每人必选且只能选修一项)中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中A所占扇形的圆心角为36°．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次被调查的学生共有______人；
(2)请你将条形统计图补充完整；
(3)若该校共有1000学生加入“第二课堂”社团活动，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛球社团；
(4)在象棋社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加市级象棋大赛．用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
25.(本小题8分)
“疫情”期间，李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是50元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出2件，设该商品的售价为x元/件(20≤x≤50)．
(1)用含售价x(元/件)的代数式表示每天能售出该工艺品的件数为______件；
(2)已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为1000元．求该商品的售价．
26.(本小题12分)
如图1，在矩形ABCD中，BC>AB，∠BAD的平分线AF与BD、BC分别交于点E、F，点O是BD的中点，直线OK//AF，交AD于点K，交BC于点G．
(1)求证：①△DOK≌△BOG；②AB+AK=BG；
(2)若KD=KG，BC=4− 2．
①求KD的长度；
②如图2，点P是线段KD上的动点(不与点D、K重合)，PM//DG交KG于点M，PN//KG交DG于点N，设PD=m，当S△PMN= 24时，求m的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、原式=2 2，故A不符合题意．
B、 5与 3不是同类二次根式，故B不符合题意．
C、原式= 14，故C符合题意．
D、原式= 3，故D不符合题意．
故选：C．
根据二次根式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
本题考查二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
2.【答案】C
【解析】解：A、被开方数含分母，故A不符合题意；
B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意；
C、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故C符合题意；
D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意；
故选：C．
检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
本题考查最简二次根式的定义，正确记忆最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题关键．
3.【答案】A
【解析】解：x2−4x+4=−2+4，
(x−2)2=2，
故选：A．
根据配方法即可求出答案．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
4.【答案】C
【解析】解：∵ab=23，
∴a+bb=2+33=53．
故选：C．
根据合比性质直接进行解答即可．
此题考查了比例的性质，熟练掌握合比性质是解题的关键，较简单．
5.【答案】D
【解析】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：
560(1−x)2=315，
故选：D．
设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格(1−降价的百分率)，则第一次降价后的价格是560(1−x)，第二次后的价格是560(1−x)2，据此即可列方程求解．
本题考查一元二次方程的应用，关键是根据题意列出方程．
6.【答案】C
【解析】解：∵点P(a,−1)关于y轴的对称点为Q(−2,b)，
∴a=2，b=−1，
则a+b=2−1=1，
故选：C．
直接利用关于y轴对称点的性质得出a，b的值进而得出答案．
此题主要考查了关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P(x,y)关于y轴的对称点P′的坐标是(−x,y)．
7.【答案】B
【解析】解：∵∠C=90°，AB= 2，BC=1，
∴sinA=BCAB= 22，
∴∠A=45°．
故选：B．
直接利用已知画出直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
8.【答案】D
【解析】解：A、购买一张体育彩票，中奖，是随机事件，不符合题意；
B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
C、2023年元旦是晴天，是随机事件，不符合题意；
D、在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下，必然事件，符合题意；
故选：D．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
9.【答案】D
【解析】解：∵a/​/b/​/c，
∴ACCE=BDDF，
∵AC=5，AE=15，
∴CE=10，
∵DF=12，
∴510=BD12
解得，BD=6，
故选：D．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：①∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC=90°，AD//BC，
∴∠DAE+∠AED=90°，∠ADB=∠OBC，
∵∠AFD=90°
∴∠DAE+∠ADB=90°，
∴∠DAE+∠OBC=90°，
∴∠AED=∠OBC，即①正确；
②∵∠ADF+∠EDF=90°，∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠EDF=∠DAF，
∵∠ADE=∠AFD=90°，
∴△DAE∽△FDE，
∴DE：FE=AE：DE，
又∵DE=EC，
∴EC：FE=AE：EC，
∵∠AEC=∠FEC，
∴△AEC∽△CEF，
∴∠FAC=∠ECF，
∵∠ACF=∠ECF不一定成立，
∴∠ACF=∠FAC不一定成立，
∴AF不一定等于FC，即②错误；
③如图，过C作CH⊥AE交AE的延长线于H，
∴∠DFE=∠CHE=90°，∠DEF=∠CEH，
∵DE=CE，
∴△DEF≌△CEH(AAS)，
∴DF=CH，
∴12AF⋅AD=12AF⋅DH，
∴S△ADF=S△AFC；
④由②得出DE：FE=AE：DE，即DE2=AE⋅EF，
∵DE=12CD，
∴(CD2)2=AE⋅EF，即CD2=4AE⋅EF，故④正确；
综上，正确的有3个．
故选：C．
①根据矩形的性质、平行线的性质、同角的余角相等即可解答；②先说明△DAE∽△FDE，可得EC：FE=AE：EC，然后再说明△AEC∽△CEF，可得∠FAC=∠ECF，而∠ACF=∠ECF不一定成立，则∠ACF=∠FAC不一定成立，即可说明AF=CF不一定成立；如图，过C作CH⊥AE交AE的延长线于H，再证明△DEF≌△CEH，可得DF=CH，然后根据等底等高的三角形面积相等即可判定；④由②得：DE：FE=AE：DE，再结合E为CD的中点即可判断．
本题主要考查矩形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等相关知识，得出△DAE∽△FDE是解题关键．
11.【答案】x≥−3
【解析】解：式子 3+x在实数范围内有意义，则3+x≥0，
解得：x≥−3．
故答案为：x≥−3．
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
12.【答案】5：3
【解析】解：∵两个相似三角形的面积比是25：9，
∴两个相似三角形的相似比是5：3，
∴它们的对应边上的中线的比是5：3，
故答案为：5：3．
根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形的性质求出答案．
此题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键．
13.【答案】2022
【解析】解：把x=1代入方程x2+ax−b=0，得
方程1+a−b=0．
所以a−b=−1．
则a−b+2023=−1+2023=2022．
故答案为：2022．
分析：
根据一元二次方程的解，把x=1代入方程x2+ax−b=0得到a−b=−1，然后整体代入求值即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
14.【答案】0.8
【解析】解：∵经过大量的摸球试验后发现摸到白球的频率稳定在0.2左右，
∴P黑=1−0.2=0.8，
故答案为：0.8．
根据大量重复试验频率等于概率及概率之和等于1直接求解即可得到答案．
本题主要考查大量重复试验频率等于概率及概率之和等于1．
15.【答案】12
【解析】解：由已知斜坡AB的坡度为BEAE=125，
设AE=5x米，则BE=12x米，
在直角三角形AEB中，根据勾股定理得：
132=(5x)2+(12x)2，
即169x2=169，
解得：x=1或x=−1(舍去)，
5x=5，12x=12
即河堤高BE等于12米．
故答案为：12．
由已知斜坡AB的坡度125，可得到BE、AE的比例关系，进而由勾股定理求得BE、AE的长，由此得解．
本题主要考查的是勾股定理的应用，解题的关键是从图中抽象出直角三角形，难度不大．
16.【答案】2
【解析】解：∵道路的宽为x米，
∴种植草坪的部分可合成长为(32−x)米，宽为(20−x)米的矩形．
依题意得：(32−x)(20−x)=540，
解得：x1=2，x2=50(舍去)．
故答案为：2．
由道路的宽为x米，可得出种植草坪的部分可合成长为(32−x)米，宽为(20−x)米的矩形，根据草坪的面积为540平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17.【答案】解：原式=2×12+1−2
=1+1−2
=0．
【解析】根据特殊角三角函数值、零指数幂以及负整数指数幂等进行计算即可．
本题考查了特殊角三角函数值、零指数幂以及负整数指数幂等知识点，灵活运用所学知识点解题是关键．
18.【答案】解：方程整理得：x2+2x−4=0，
这里a=1，b=2，c=−4，
∵Δ=22−4×1×(−4)
=4+16
=20>0，
∴x=−2±2 52=−1± 5，
解得：x1=−1+ 5，x2=−1− 5．
【解析】方程整理后，利用公式法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程−公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
19.【答案】解：∵∠C=Rt∠，AB=5，BC=3，
∴AC= AB2−BC2= 52−32=4，
sinA=BCAB=35．
答：AC的长为4，sinA的值为35．
【解析】根据勾股定理求AC的长，根据正弦的定义求sinA的值．
本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数中正弦函数定义是解题的关键．
20.【答案】解：∵∠ADB=30°，∠ACB=15°，
∴∠CAD=∠ADB−∠ACB=15°，
∴∠ACB=∠CAD，
∴AD=CD=20(米)，
又∵∠ABD=90°，
∴AB=12AD=10(米)，
∴树的高度为10米．
【解析】根据三角形外角的性质得到∠CAD=∠ADB−∠ACB=15°，根据等腰三角形的性质得到AD=CD=20米，由直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了含30°角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
21.【答案】4
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)△A2B2C2的面积为=(2+4)×62−2×42×2−2×62=4．
故答案为：4．
(1)根据位似的性质，找出△ABC三个顶点的位似点，然后连接即可；
(2)利用分割法求三角形的面积即可．
本题考查了作图−位似变换，根据位似性质正确找出三角形三个顶点的位似点是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2−(2k−1)x+k2+k−1=0有实数根，
∴△≥0，即[−(2k−1)]2−4×1×(k2+k−1)=−8k+5≥0，
解得k≤58．
故k的取值范围是k≤58．
(2)由根与系数的关系可得x1+x2=2k−1，x1x2=k2+k−1，
∴x12+x22+x1x2=(x1+x2)2−2x1x2+k2+k−1=(2k−1)2−2(k2+k−1)+k2+k−1=3k2−5k+2，
∵x12+x22+x1x2=2，
∴3k2−5k+2=2，
解得k1=0，k2=53，
∵k≤58，
∴k的值为0．
【解析】(1)根据方程有实数根得出Δ=(2k−1)2−4×1×(k2+k−1)=−8k+5≥0，解之可得．
(2)利用根与系数的关系可用k表示出x1+x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ACD=∠BCA，
∵∠ACD=∠ABE，
∴∠BCA=∠ABE，
∵∠BAC=∠EAB，
∴△ABC∽△AEB；
(2)解：∵△ABC∽△AEB，
∴ABAE=ACAB，
∵AB=6，AC=4，
∴6AE=46，
∴AE=364=9．
【解析】(1)根据两角相等可得两三角形相似；
(2)根据(1)中的相似列比例式可得结论．
本题考查了菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质和判定是解本题的关键．
24.【答案】200
【解析】解：(1)∵A类有20人，所占扇形的圆心角为36°，
∴这次被调查的学生共有：20÷36360=200(人)；
故答案为：200；
(2)C项目对应人数为：200−20−80−40=60(人)；
补充如图．
(3)1000×60200=300(人)，
答：估计这1000名学生中有300人参加了羽毛球社团；
(4)画树状图得：
∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，
∴P(选中甲、乙)=212=16．
(1)由A类有20人，所占扇形的圆心角为36°，即可求得这次被调查的学生数；
(2)首先求得C项目对应人数，即可补全统计图；
(3)该校1000学生数×参加了羽毛球社团的人数所占的百分比即可得到结论；
(4)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
本题主要考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图．掌握概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
25.【答案】(160−2x)
【解析】解：(1)∵该商品的售价为x元/件(20≤x≤50)，且当售价是50元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出2件，
∴每天能售出该工艺品的件数为60+2(50−x)=(160−2x)件．
故答案为：(160−2x)．
(2)解：由题意得：(x−20)(160−2x)=1000，
整理得：x2−100x+2100=0，
解得x1=30，x2=70(不合题意，舍去)，
答：该商品的售价为30元．
(1)由该商品的售价结合售价每降低1元就会多售出2件，即可得出每天售出该工艺品的件数；
(2)根据总利润=每件工艺品的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
本题考查了一元二次方程组的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
26.【答案】解：(1)①∵在矩形ABCD中，AD//BC
∴∠KDO=∠GBO，∠DKO=∠BGO
∵点O是BD的中点
∴DO=BO
∴△DOK≌△BOG(AAS)
②∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAD=∠ABC=90°，AD//BC
又∵AF平分∠BAD
∴∠BAF=∠BFA=45°
∴AB=BF
∵OK//AF，AK//FG
∴四边形AFGK是平行四边形
∴AK=FG
∵BG=BF+FG
∴BG=AB+AK
(2)①由(1)得，四边形AFGK是平行四边形
∴AK=FG，AF=KG
又∵△DOK≌△BOG，且KD=KG
∴AF=KG=KD=BG
设AB=a，则AF=KG=KD=BG= 2a
∴AK=4− 2− 2a，FG=BG−BF= 2a−a
∴4− 2− 2a= 2a−a
解得a= 2
∴KD= 2a=2
②解法一：过点G作GI⊥KD于点I
由(2)①可知KD=AF=2
∴GI=AB= 2
∴S△DKG=12×2× 2= 2
∵PD=m
∴PK=2−m
∵PM//DG，PN//KG
∴四边形PMGN是平行四边形，△DKG∽△PKM∽△DPN
∴S△DPNS△DKG=(m2)2，即S△DPN=(m2)2⋅ 2
同理S△PKM=(2−m2)2⋅ 2
∵S△PMN= 24
∴S平行四边形PMGN=2S△PMN=2× 24
又∵S平行四边形PMGN=S△DKG−S△DPN−S△PKM
∴2× 24= 2−(m2)2⋅ 2−(2−m2)2⋅ 2，即m2−2m+1=0
解得m1=m2=1
∴当S△PMN= 24时，m的值为1
解法二：如图，过P作PH⊥KG于H，则△PKH为等腰直角三角形
∵KP=DK−DP=2−m
∴PH=sin45°×KP= 22×(2−m)
∵PN//KG
∴∠PND=∠KGD
又∵KD=KG
∴∠KGD=∠PDN
∴∠PND=∠PDN
∴PN=PD=m
∴当S△PMN= 24时，12PN×PH= 24
即12m× 22×(2−m)= 24
解得m=1
即当S△PMN= 24时，m的值为1
【解析】(1)①先根据AAS判定△DOK≌△BOG，②再根据等腰三角形ABF和平行四边形AFKG的性质，得出结论BG=AB+AK；
(2)①先根据等量代换得出AF=KG=KD=BG，再设AB=a，根据AK=FG列出关于a的方程，求得a的值，进而计算KD的长；②先过点G作GI⊥KD，求得S△DKG的值，再根据四边形PMGN是平行四边形，以及△DKG∽△PKM∽△DPN，求得S△DPN和S△PKM的表达式，最后根据等量关系S平行四边形PMGN=S△DKG−S△DPN−S△PKM，列出关于m的方程，求得m的值即可．解法2：过P作PH⊥KG于H，直接运用三角形面积计算公式，得到关于m的方程进行求解，即可得到m的值．
本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的性质，解题时需要运用全等三角形的判定与性质．解答此题的关键是运用相似三角形的面积之比等于相似比的平方这一性质，并根据图形面积的等量关系列出方程进行求解．