2023-2024学年湖南省衡阳市衡山县九年级（上）学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省衡阳市衡山县九年级（上）学期期末数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）
1．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．通过大量的掷图钉试验，发现钉尖朝上的频率稳定在附近，则可估计钉尖朝上的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．三角板是我们数学学习中必不可少的工具，利用三角板可以拼出很多角，现将一副含45°角和30°角的三角板按如图所示的方式放置，则的值为（ ）

A．B．C．D．无法确定
4．关于的方程无实数根， 那么m满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
5．如图所示，点是一根均匀的木棍的中点，如果以点为支点，在处需用的力竖直向上拉才能保持木棍不动，根据杠杆原理可求木棍所受的重力的大小是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，直线截直线e和f，，，则下列结论中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．设点 ，且，则点P的坐标是（ ）
A．B．C．D．
8．如图所示是利用图形的位似绘制的一幅“小鱼”图案，其中O为位似中心，且OA=2OD，若图案中鱼身（△ABC）的面积为S，则鱼尾（△DEF）的面积为（ ）
A．B．
C．D．
9．在中，，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
10．设，是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2022B．2023C．2024D．1
11．方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．如图，中，，，，点G是AB上的一个动点，过点G作GF垂直于AC于点F，点P是BC上的点．若是以GF为斜边的等腰直角三角形．则此时PC长为（ ）．
A．B．C．D．
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）
13．计算： ．
14．已知实数，是方程的两根，则 ；
15．已知，则 ．
16．点向左平移3个单位，再向上平移2个单位后的坐标是 ．
17．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ．
18．如图，将先向左平移 4 个单位，得到，再以原点 O 为位似中心，作的位似三角形，使它与的相似比为且在同一象限内，则点 A 的对应点的坐标是 ．

三、解答题（本题共 7 小题，第 19 题 12 分，20 题 6 分，21 题 8 分，22 题 8 分，23 题 10 分，24 题 10 分，25 题 12 分，满分 66 分.解答写出文字说明、推理 过程或演算步骤）
19．解下列方程：
(1)（配方法）
(2)
20．计算：．
21．如图所示，某农业大学科技园建立了一个矩形饲养室，饲养室的一面靠墙，墙长为，另外三边用长为的栅栏围成．若要使饲养室的面积达到．请问，的长应是多少m？

22．2023年10月26日，搭载三名航天员汤洪波、唐胜杰、江新林的神舟十七号载人飞船发射成功，三名航天员顺利进驻我国空间站．根据安排此次航天员乘组将进行出舱开展科学实验，每名航天员出舱的机会均等．
(1)首次将安排1名航天员出舱，则航天员汤洪波被选中出舱的概率是___________；
(2)若第2次安排两名航天员出舱，用列表或画树状图的方法求航天员汤洪波和唐胜杰同时出舱的概率．
23．为了方便市民出行，建委决定对某街道一条斜坡进行改造，计划将原斜坡坡角为的改造为坡角为的，已知米，点，，，，，在同一平面内．
(1)求的距离；(结果保留根号)
(2)一辆货车沿斜坡从处行驶到处，货车的高为米，，若米，求此时货车顶端到水平线的距离．(精确到米，参考数据：，)
24．已知：如图，点是的重心，过作的平行线，分别交于点作，交于点，若的面积为，求四边形的面积．
25．综合应用：
如图，已知四边形是矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中，，点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，作交x轴于点E，连接交于点F，设运动时间为t秒．
(1)当时，___________°，_____________；
(2)当时，求t的值；
(3)在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与相似．若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．C
【分析】根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，即可解答．
【详解】解：A、没有意义，故A不符合题意；
B、不是二次根式，故B不符合题意；
C、是二次根式，故C符合题意；
D、当时，是二次根式，当时，没有意义，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的识别，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．
2．C
【分析】根据随机事件通过大量重复试验发生的频率与概率的关系求解即可．
【详解】掷图钉钉尖朝上为随机事件，通过大量的试验，该事件发生的频率稳定在，于是可以把频率估计成该事件发生的概率．
故选：C．
【点睛】本题主要考查用频率估计概率，牢记随机事件的频率与概率的关系（可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率）是解题的关键．
3．C
【分析】根据特殊角的三角函数和三角板的特殊角的度数解答即可．
【详解】解：如图：

，
，
，
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数以及三角板的特殊角的度数，解题时注意：熟记特殊角的三角函数值．
4．C
【分析】本题考查了根据一元二次方程的根的情况判断未知数的范围，方程左边是一个式的平方，根据负数没有平方根，可得关于m的不等式，求解不等式即可．
【详解】∵，
∴当时，方程无解．
即．
故选：C．
5．C
【分析】依据，B是的中点，即可得到D是的中点，再根据杠杆平衡原理，可得，进而得出重力的大小．
【详解】解：∵，，
∴，
∴,
又∵B是的中点，
∴D是的中点，即，
根据杠杆平衡原理，可得，
∴，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，以及杠杆平衡原理，熟练掌握平行线分线段成比例定理并准确识图是解题的关键．
6．A
【分析】根据平行线分线段成比例定理进行逐一判断即可．
【详解】解：∵a∥b∥c，
∴，，，故B选项不符合题意；
∵，
∴，
∴，故A选项符合题意，D选项不符合题意；
对于C选项，根据现有条件无法推出，故C选项不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理是解题的关键．
7．C
【分析】由，可得，进而可求；
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查绝对值的非负性、二次根式的非负性，一元一次方程，掌握相关知识是解题的关键．
8．C
【分析】根据三角形的位似比等于相似比，再根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似三角形，OA=2OD，
∴△ABC与△DEF的相似比为2：1，
∵△ABC的面积为S，
∴△DEF的面积为，
故选C．
【点睛】本题主要考查位似三角形，熟练掌握三角形的位似比等于相似比以及相似三角形的面积比等于相似比的平方，是解题的关键．
9．C
【分析】在直角三角形中，根据角的余弦值与三角形边的关系，即可得出结果．本题考查了解直角三角形，熟练掌握好边角之间的关系是解题关键．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
10．A
【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系．先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数关系得到，再利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴
，
故选：A．
11．A
【分析】本题主要考查一元二次方程的概念，满足二次项系数不为，并且二次项的次数是，直接计算即可求解的值．
【详解】解：∵是一元二次方程；
∴；
∴；
∵；
∴；
故选：A．
12．A
【分析】依题意补全图形，判定△FPC是等腰直角三角形及△AFG∽△ABC，从而得比例式，设CP=CF=x，将相关线段的值或含x的代数式代入比例式，求解即可．
【详解】解：依题意补全图形，如图：
由题可知，GF⊥AC，△GFP是以GF为斜边的等腰直角三角形，
在Rt△ABC中，BC⊥AC，
∴GF∥BC，
∴∠GFP=∠FPC=45°，
∵∠C=90°，
∴∠PFC=∠FPC=45°，
∴△FPC是等腰直角三角形，
设CP=CF=x，则，
∵AC=3，
∴AF=3-x，
∵GF∥BC，
∴△AFG∽△ABC，
∴，即，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及等腰直角三角形的判定与性质，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
13．3
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式性质，是解题的关键．
【详解】解：．
故答案为：3．
14．0
【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握“”是解本题的关键．
【详解】解：∵实数，是方程的两根，
∴，
故答案为：0．
15．##
【分析】此题主要考查了比例的性质，利用已知设，则，进而代入化简即可．
【详解】解：，
设，则，
则．
故答案为：．
16．
【分析】本题考查平面直角坐标系内点的平移，根据“右加左减、上加下减”的规律即可得到结论．
【详解】解：点向左平移3个单位，再向上平移2个单位后的坐标是，
即，
故答案为：．
17．且
【分析】本题考查一元二次方程的定义与根的判别式．结合一元二次方程的定义与根的判别式综合分析即可．
【详解】解：由一元二次方程的定义可知：，即：，
∵该方程有实数根，
∴，解得：，
故答案为：且．
18．
【分析】本题主要考查图形与坐标及位似，熟练掌握位似的性质是解题的关键；由题意易得，然后根据相似比为且在同一象限内可进行求解．
【详解】解：由将先向左平移 4 个单位，得到，可知：，
∵作的位似三角形，使它与的相似比为且在同一象限内，
∴，即；
故答案为．
19．(1)，
(2)，
【分析】本题考查解一元二次方程．
（1）配方法解方程即可；
（2）因式分解法解方程即可．
掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．
【详解】（1）解：
∴
解得：，；
（2）解：，
，
则或，
解得，．
20．0
【分析】本题考查了二次根式的加减，熟记二次根式的运算法则并根据法则计算是解题关键．根据二次根式的乘除，可化简二次根式，根据二次根式的加减，可得答案．
【详解】解：原式
．
21．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设的长应是，则的长为，根据饲养室的面积达到．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】解：设的长应是，则的长为，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意；
答：的长应是为．
22．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率，根据题意，列出图表或树状图，利用概率公式计算概率即可．
（1）直接根据概率计算即可．
（2）根据列表法得出所有等可能情况，找出符合条件的情况数，利用概率公式即可求解．
【详解】（1）解：从三名航天员中安排1名航天员出舱，则航天员汤洪波被选中出舱的概率是
（2）根据题意，列表如下：
由上表得共有6种可能结果，航天员汤洪波和唐胜杰同时出舱的情况有2种，故
航天员汤洪波和唐胜杰同时出舱的概率为．
23．(1)
(2)米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题；
（1）过点作，交的延长线于点，在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（2）延长交于点，根据题意可得：，，从而可得，，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，再根据垂直定义可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，进而求出的长，最后在中，利用含度角的直角三角形的性质求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点，
在中，米，，
米，
米，
在中，，
米，
米，
的距离为米；
（2）延长交于点，
由题意得：，，
，
，
，
，
，
，
在中，米，
米，
米，
米，
米，
在中，，
米，
米，
此时货车顶端到水平线的距离约为米．
24．
【分析】连接并延长交于．由重心的性质得，．由，根据平行线分线段成比例定理可得，于是．再由，得出，根据相似三角形的性质得出，进而求出四边形的面积．
【详解】解：连接并延长交于．由重心的性质得，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形ECFD的面积=．
【点睛】本题考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，作出辅助线是解题的关键．
25．(1)，
(2)；
(3)P的坐标为或．
【分析】（1）本题需先求出，，据此求解即可；
（2）本题需先证出，求出，分两种情况讨论，当点P在原点上方时和当点P在原点下方时，利用相似三角形的判定和性质即可解决问题；
（3）分两种情形，利用相似三角形的性质分别求解即可解决问题．
【详解】（1）解：当时，，
∵，
∴，
∴，
为矩形，
，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）解：当点P在原点上方时，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
解得；
当点P在原点下方时，
同理，求得，，
∵，
∴，即，
∴，
解得（不合题意，舍去）；
（3）解：存在，
当点P在y轴的正半轴上时，
由（2）得，
∵若，
∴，
∴，
∴，（舍去），
∴P的坐标为；
∵若，
∴，
∴，
整理得，不存在，舍去；
当点P在y轴的负半轴上时，
若，
则有，无解，
若，则有：，
解得或（舍弃）
∴P的坐标为；
∴P的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形面积，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，一元二次方程的解法，相似三角形的性质与判定，清晰的分类讨论是解本题的关键．
汤洪波
唐胜杰
江新林
汤洪波
—
汤洪波，唐胜杰
汤洪波，江新林
唐胜杰
唐胜杰，汤洪波
—
唐胜杰，江新林
江新林
江新林，汤洪波
江新林，唐胜杰
—