2024-2025学年苏科版数学七年级下册期末复习专题12——证明求角度大小 （巩固练习）　

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（巩固练习）
【典型例题】
【例1】如图，在中，，过点的直线，若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【例2】如图，直线，若，于点，则为（ ）

A. B. C. D.
【例3】如图，点在边的延长线上，．若，，则的度数是________．
【例4】如图，已知：，平分，如果，那么________．
【例5】如图，已知，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若平分，于点，，求的度数．
【例6】如图，点D在的边延长线上，点E在边上，连接交于点F，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【举一反三】
【变式1】如图，直线，，AC平分，，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【变式2】如图，在中，，，平分，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【变式3】如图，，交于点F，则________．

【变式4】如图，将长方形沿对折，使得点D落在边上的点G处，点C落在点H处，若，则______．

【变式5】如图，已知∠DEB＝100°，∠BAC＝80°．
（1）判断DF与AC的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ADF＝∠C，∠DAC＝120°，求∠B的度数．
【变式6】 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．
（1）若∠B＝30°，∠ACB＝80°，求∠E的度数；
（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．

【巩固练习】
1.如图，已知，平分交于D点，，则为（ ）
A. B. C. D.
2.如图，在四边形中，，，平分．若，则的大小为（ ）

A. B. C. D.
3.一幅三角板和如图所示放置．，点在边上．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
4.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，则（ ）
A. B. C. D.
5.如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为_____．
6.如图，在中，的平分线相交于点O，，则_______．
7.如图是某种可调节躺椅的示意图， 与的交点为C，，，．为了舒适，需调整大小，使，且、、保持不变，则图中应调整为 ________________度．
8.如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使得点A落的位置，折痕为．若，，若点E是边上的固定点，D是AC上一动点，将纸片沿折叠，使得点A落在处，使与三角形的其中一边平行，则___________．
9.如图，在四边形中，，分别平分和，若，求的度数．

10.已知：如图，，，．
（1）若，求的度数；
（2）与有怎样的数量关系，请说明理由．
11.已知：如图1，三条线段、、两两相交于点、、．

（1）求、、、、、的度数之和；
（2）如图2，四条线段两两相交于点、、、，求：、、、、、、、的度数之和；
（3）猜想：类比图1、图2的画法，条线段两两相交于点、、、……，那么________．
12.我们知道两直线的位置关系与角的数量关系存在联系．由角的数量关系可以判定直线的位置关系，反过来，直线的位置关系也决定着角的数量关系．根据你的学习经验解决下列问题．


（1）如图1，，，，则______°；
（2）如图2，，，，求证：；
（3）用无刻度真尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
①如图3，点为直线外一点，直线交于点，过点作直线，使．
②如图4，已知，点为直线外一点，过点作直线，使与所夹锐角为（作出一条符合条件的直线即可）．
答案解析
【典型例题】
【例1】如图，在中，，过点的直线，若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【例2】如图，直线，若，于点，则为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【例3】如图，点在边的延长线上，．若，，则的度数是________．
【答案】
【例4】如图，已知：，平分，如果，那么________．
【答案】
【例5】如图，已知，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若平分，于点，，求的度数．
【答案】（1）结论：．
理由：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【例6】如图，点D在的边延长线上，点E在边上，连接交于点F，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：在中．
，
在中．
，
又∵
∴．
（2）∵，．
∴，．
中．
．
中．而，
．
即：．
∴．
在中，．
【举一反三】
【变式1】如图，直线，，AC平分，，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【变式2】如图，在中，，，平分，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【变式3】如图，，交于点F，则________．

【答案】
【变式4】如图，将长方形沿对折，使得点D落在边上的点G处，点C落在点H处，若，则______．

【答案】103
【变式5】如图，已知∠DEB＝100°，∠BAC＝80°．
（1）判断DF与AC的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ADF＝∠C，∠DAC＝120°，求∠B的度数．
【答案】（1）DF∥AC．
理由：∵∠DEB＝100°，
∴∠AEF＝∠DEB＝100°，
∵∠BAC＝80°，
∴∠AEF＋∠BAC＝180°，
∴DF∥AC；
（2）∵DF∥AC，
∴∠BFD＝∠C，
∵∠ADF＝∠C，
∴∠BFD＝∠ADF，
∴AD∥BC，
∴∠B＝∠BAD，
∵∠DAC＝120°，∠BAC＝80°，
∴∠BAD＝∠DAC−∠BAC＝120°−80°＝40°，
∴∠B＝40°．
【变式6】 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．
（1）若∠B＝30°，∠ACB＝80°，求∠E的度数；
（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．

【答案】（1）∵∠B＝30°，∠ACB＝80°，
∴∠BAC＝70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝35°，
∴∠ADC＝65°，
∴∠E＝25°；
（2）∠E＝（∠ACB﹣∠B）．

设∠B=n°，∠ACB=m°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2=∠BAC，
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，
∵∠B=n°，∠ACB=m°，
∴∠CAB=（180-n-m）°，
∴∠BAD=（180-n-m）°，
∴∠3=∠B+∠1=n°+（180-n-m）°=90°+n°-m°，
∵PE⊥AD，
∴∠DPE=90°，
∴∠E=90°-（90°+n°-m°）=（m-n）°=（∠ACB-∠B）．
【巩固练习】
1.如图，已知，平分交于D点，，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
2.如图，在四边形中，，，平分．若，则的大小为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
3.一幅三角板和如图所示放置．，点在边上．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
4.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
5.如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为_____．
【答案】48°
6.如图，在中，的平分线相交于点O，，则_______．
【答案】115°
7.如图是某种可调节躺椅的示意图， 与的交点为C，，，．为了舒适，需调整大小，使，且、、保持不变，则图中应调整为 ________________度．
【答案】
8.如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使得点A落的位置，折痕为．若，，若点E是边上的固定点，D是AC上一动点，将纸片沿折叠，使得点A落在处，使与三角形的其中一边平行，则___________．
【答案】或或
9.如图，在四边形中，，分别平分和，若，求的度数．

【答案】∵，
∴，
∵，分别平分和，
∴，，
∴，
∴．
10.已知：如图，，，．
（1）若，求的度数；
（2）与有怎样的数量关系，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
11.已知：如图1，三条线段、、两两相交于点、、．

（1）求、、、、、的度数之和；
（2）如图2，四条线段两两相交于点、、、，求：、、、、、、、的度数之和；
（3）猜想：类比图1、图2的画法，条线段两两相交于点、、、……，那么________．
【答案】（1）解：，
，
，
；
（2）解：同理（1）得：，
，
；
（3）解：，
，
，
．
12.我们知道两直线的位置关系与角的数量关系存在联系．由角的数量关系可以判定直线的位置关系，反过来，直线的位置关系也决定着角的数量关系．根据你的学习经验解决下列问题．


（1）如图1，，，，则______°；
（2）如图2，，，，求证：；
（3）用无刻度真尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
①如图3，点为直线外一点，直线交于点，过点作直线，使．
②如图4，已知，点为直线外一点，过点作直线，使与所夹锐角为（作出一条符合条件的直线即可）．
【答案】（1）如图1中，过点E作．

∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案：；
（2）过点E作．

∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）①如图中，直线即为所求；

②如图中，直线即为所求．